互素数对个数

yangchuanju

笔者对互素数曾进行了好长一段时间的探索，并写下数贴，今在本网页的搜索栏输入“互素数”继续搜索可以得到以下5贴：

（1）互素数对个数
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互素数对个数 用两个与2互素的正互素数（正奇数）相加可以合成全部正偶数， 对于正偶数2n共有n种合成法，2n=1+(2n-1)=3+(2n-3)+…+(2n-3)+(2n-1)+1；这里的n=1,2,3……（即n为正整数）； 以下在不至于混淆的情况 ...

2023-12-26 05:42 - yangchuanju - 哥猜等难题和猜想

（2）互素数 互素数对
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互素数 互素数对 如果两个整数没有大于1的公约数，则它们就是一对互素数。 下面仅讨论正偶数拆分成互素的两正整数和的问题，即互素数对问题。 2是唯一的一个偶素数，与2互素的整数为全体奇数， 任一个偶数都可 ...

2023-10-31 21:45 - yangchuanju - 哥猜等难题和猜想

（3）两互素数和
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二个与6互素的互素数和可涵盖全体偶数吗？ 该题目本身就有一个错误，应将“偶数”改为“正偶数”，负偶数和0也叫偶数。 谢谢时空伴随者老师及时指正！（见4楼贴） 下面各贴中的“偶数”皆指“正偶数”，不再一一 ...

2023-3-22 05:57 - yangchuanju - 哥猜等难题和猜想

（4）互素数和与哥德巴赫猜想
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互素数和与哥德巴赫猜想 两个与6互素的正整数5,7,11,13,17……之和可以遍历≥10的全部偶数。 仅用5和7同与6互素的5,7,11,13,17……一列正整数相加，即可得到大于等于10的全部偶数： 5+5=10,5+11=16,5+17=22，… ...

2021-10-19 21:25 - yangchuanju - 哥猜等难题和猜想

（5）两互素数和能否覆盖全体偶数问题探讨
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两素数和能否覆盖全体偶数问题探讨 素数有奇有偶，但偶素数只有一个2，其余全体素数都是奇数。 两个奇素数之和可以覆盖≥6的全体偶数，此乃哥德巴赫猜想的另一个表述方法，哥德巴赫猜想应该是成立的，但现有的 ...

2021-10-8 05:56 - yangchuanju - 哥猜等难题和猜想

这五个帖子，可供有兴趣的网页参考！
遗憾的是，搜索得到的帖子中还没有其他人的帖子！

重生888@

yangchuanju 发表于 2024-1-2 06:10
笔者对互素数曾进行了好长一段时间的探索，并写下数贴，今在本网页的搜索栏输入“互素数”继续搜索可以得到 ...

请杨先生把（2. 3. 4. 5）各贴顶上来，以便欣赏，谢谢！

yangchuanju

已经知道对于某偶数当用与p#互素的两互素数之和表示时，有互素数对数计算式：S=a*[N/p#]+b，系数a和常数b根据偶数N模p#的余数不同而各不同。

对于偶数N，当按模2的余数分只有1种余数（余2或0的），只可分成1类偶数（余2或0的），每类的系数a都相同（等于1）；
偶数N的（与2互素的）互素数对数等于a*[N/2]+b=1*N/2+0=N/2。
余数类        2
系数a        1
个数        1

对于偶数N，当按模6的余数分共3种余数（2,4,6），可分成2类偶数（余2,4的、余6或0的），每类的系数a都相同，同类之中当两余数和是6的两常数b的和等于系数a（余2的b=1，余6的b=0,1+0=1=a；余6的b=2,2自身相加还是2）；
偶数N的（与6互素的）互素数对数等于a*[N/6]+b，当余数是2和4时a=1，b=1和0；当余数是6时a=2，b=2，（或认为余数是0时a=2，b=0）。
余数类        2        6        前1个等于上一级的余数类数2，后1个等于上一级的余数类数2乘以素数3；
系数a        1        2        前1个等于上一级的系数a=1=3-2，后1个等于上一级的系数a乘以2=3-1；
个数        2        1        前1个等于上一级的个数乘以2=3-1，后1个等于上一级的个数。

对于偶数N，当按模30的余数分共15种余数，可分成4类偶数（余2,4,8,14,16,22,26,28的、余6,12,18,24的，余10,20的，余30或0的），每类的系数a都相同，同类之中当两余数和是30的两常数b的和等于系数a；
偶数N的（与30互素的）互素数对数等于a*[N/30]+b，当余数是2,4,8,14,16,22,26,28时a=3；余数是6，12,18,24时a=6；余数是10,20时a=4，余数是30时a=8；常数b各不相同不再一一给出。
余数类        2        6        10        30        前2个等于上一级两余数类数，后2个等于上一级两余数类数乘以素数5；
系数a        3        6        4        8        前2个等于上一级两系数a乘以3=5-2，后2个等于上一级两系数a乘以4=5-1；
个数        8        4        2        1        前2个等于上一级两个数乘以4=5-1，后2个等于上一级两个数。

yangchuanju

对于偶数N，当按模210的余数分共105种余数，可分成8类偶数，每类的系数a都相同，同类之中当两余数和是210是两常数b的和等于系数a；常数b各不相同，没有一一给出：
余数类        系数a        个数
2        15        48
6        30        24
10        20        12
30        40        6
14        18        8
42        36        4
70        24        2
210        48        1
余数类列的：前4个等于上一级4余数类数，后4个等于上一级4余数类数乘以素数7；
系数a列的：前4个等于上一级4系数a乘以5=7-2，后4个等于上一级4系数a乘以6=7-1；
个数列的：前4个等于上一级4个数乘以6=7-1，后4个等于上一级4个数。

对于偶数N，当按模2310的余数分共1155种余数，可分成16类偶数，每类的系数a都相同，同类之中当两余数和是2310是两常数b的和等于系数a；常数b各不相同，没有一一给出：
余数类        系数a        个数
2        135        480
6        270        240
10        180        120
30        360        60
14        162        80
42        324        40
70        216        20
210        432        10
22        150        48
66        300        24
110        200        12
330        400        6
154        180        8
462        360        4
770        240        2
2310        480        1
余数类列的：前8个等于上一级8余数类数；后8个等于上一级8余数类数乘以素数11；
系数a列的：前8个等于上一级8系数a乘以9=11-2；后8个等于上一级8系数a乘以10=11-1；
个数列的：前8个等于上一级8个数乘以10=11-1；后8个等于上一级8个数。

yangchuanju

30030                                       
余数类1        系数a1        个数1        余数类2        系数a2        个数2
2        1485        5760        26        1620        480
6        2970        2880        78        3240        240
10        1980        1440        130        2160        120
30        3960        720        390        4320        60
14        1782        960        182        1944        80
42        3564        480        546        3888        40
70        2376        240        910        2592        20
210        4752        120        2730        5184        10
22        1650        576        286        1800        48
66        3300        288        858        3600        24
110        2200        144        1430        2400        12
330        4400        72        4290        4800        6
154        1980        96        2002        2160        8
462        3960        48        6006        4320        4
770        2640        24        10010        2880        2
2310        5280        12        30030        5760        1
余数类1列的16个余数等于上一级16余数类数；
系数a1列的16个系数等于上一级16系数a乘以11=13-2；
个数1列的16个个数等于上一级16个数乘以12=13-1；
余数类2列的16个余数等于上一级16余数类数乘以素数13；
系数a2列的16个系数等于上一级16系数a乘以12=13-1；
个数2列的16个个数等于上一级16个数。

yangchuanju

510510
余数类1        系数a1        个数1        余数类2        系数a2        个数2
2        22275        92160        34        23760        5760
6        44550        46080        102        47520        2880
10        29700        23040        170        31680        1440
30        59400        11520        510        63360        720
14        26730        15360        238        28512        960
42        53460        7680        714        57024        480
70        35640        3840        1190        38016        240
210        71280        1920        3570        76032        120
22        24750        9216        374        26400        576
66        49500        4608        1122        52800        288
110        33000        2304        1870        35200        144
330        66000        1152        5610        70400        72
154        29700        1536        2618        31680        96
462        59400        768        7854        63360        48
770        39600        384        13090        42240        24
2310        79200        192        39270        84480        12
余数类1列的16个余数等于上一级16余数类1；
系数a1列的16个系数等于上一级16系数a1乘以15=17-2；
个数1列的16个个数等于上一级16个数1乘以16=17-1；
余数类2列的16个余数等于上一级16余数类1乘以素数17；
系数a2列的16个系数等于上一级16系数a1乘以16=17-1；
个数2列的16个个数等于上一级16个数1。

余数类3        系数a3        个数3        余数类4        系数a4        个数4
26        24300        7680        442        25920        480
78        48600        3840        1326        51840        240
130        32400        1920        2210        34560        120
390        64800        960        6630        69120        60
182        29160        1280        3094        31104        80
546        58320        640        9282        62208        40
910        38880        320        15470        41472        20
2730        77760        160        46410        82944        10
286        27000        768        4862        28800        48
858        54000        384        14586        57600        24
1430        36000        192        24310        38400        12
4290        72000        96        72930        76800        6
2002        32400        128        34034        34560        8
6006        64800        64        102102        69120        4
10010        43200        32        170170        46080        2
30030        86400        16        510510        92160        1
余数类3列的16个余数等于上一级16余数类2；
系数a3列的16个系数等于上一级16系数a2乘以15=17-2；
个数3列的16个个数等于上一级16个数2乘以16=17-1；
余数类4列的16个余数等于上一级16余数类2乘以素数17；
系数a4列的16个系数等于上一级16系数a2乘以16=17-1；
个数4列的16个个数等于上一级16个数2。

yangchuanju

与6互素系统偶数由2-6扩展到2-30时，2-30之a，b分别见下表，
改为与30互素时，原与6互素的互素数由10个（1,5,7,11,13,17,19,23,25,29）变成8个，少了5和25两个；
虽然只少了2个数（5和25），但对偶数6,10,12,16,18,22,24,26,28,30都有影响；
系数a，常数b，互素数对也都有改变。

偶数N        系数a6        常数b6        [N/6]        6互素对
2        1        1        0        1
4        1        0        0        0
6        2        0        1        2
8        1        1        1        2
10        1        0        1        1
12        2        0        2        4
14        1        1        2        3
16        1        0        2        2
18        2        0        3        6
20        1        1        3        4
22        1        0        3        3
24        2        0        4        8
26        1        1        4        5
28        1        0        4        4
30        2        0        5        10

偶数N        系数a30        常数b30        [N/30]        30互素对        6互-30互       
2        3        1        0        1        0       
4        3        0        0        0        0       
6        6        0        0        0        2        1+5
8        3        2        0        2        0       
10        4        0        0        0        1        5+5
12        6        2        0        2        2        5+7
14        3        3        0        3        0       
16        3        0        0        0        2        5+11
18        6        4        0        4        2        5+13
20        4        4        0        4        0       
22        3        1        0        1        2        5+17
24        6        6        0        6        2        5+19
26        3        3        0        3        2        1+25
28        3        2        0        2        2        5+23
30        8        8        1        8        2        5+25

代号        (1)        (2)        (3)        (4)        (2)=(1)-(3)*2-(4)
偶数        6互素        30互素        非互+30互        非互+非互        (1)=(2)+(3)*2+(4)
2        1        1        0        0        1
4        0        0        0        0        0
6        2        0        1        0        0
8        2        2        0        0        2
10        1        0        0        1        0
12        4        2        1        0        2
14        3        3        0        0        3
16        2        0        1        0        0
18        6        4        1        0        4
20        4        4        0        0        4
22        3        1        1        0        1
24        8        6        1        0        6
26        5        3        1        0        3
28        4        2        1        0        2
30        10        8        0        2        8

6互素数对=30互素数对+（30内6互素30不互素的5和25+30互素）对*2+（30内6互素30不互素的5和25+30内6互素30不互素的5和25）对；
或：30互素数对=6互素数对-（30内6互素30不互素的5和25+30互素）对*2-（30内6互素30不互素的5和25+30内6互素30不互素的5和25）对。

yangchuanju

推演
210互素数对=30互素数对-（210内30互素210不互素的8数+210互素）对*2-（210内30互素210不互素的8数+210内30互素210不互素的8数）对；

2310互素数对=210互素数对-（2310内210互素2310不互素的48数+2310互素）对*2-（2310内210互素2310不互素的48数+2310内210互素2310不互素的48数）对；

30030互素数对=2310互素数对-（30030内2310互素30030不互素的480数+30030互素）对*2-（30030内2310互素30030不互素的480数+30030内2310互素30030不互素的480数）对；
……

yangchuanju

不同互素系统中各余数的常数b
已经知道对于某偶数当用与p#互素的两互素数之和表示时，有互素数对数计算式：S=a*[N/p#]+b，系数a和常数b根据偶数N模p#的余数不同而各不同。
给定偶数N，在用与2互素的互素系统（奇数系统）中，只有1种余数0，故只有1个常数b=0，1个系数a=1；互素数对数S=1*[N/2]+0=N/2。
给定偶数N，在用与6互素的互素系统中，有3种余数0,2,4，故有3个常数b=0,1,0，3个系数a=2,1,1。
余数        系数a        常数b
0        2        0
2        1        1
4        1        0
6        2        2
表中的第1行和第4行是对6倍数之偶数的两种不同的处理方法。

给定偶数N，在用与30互素的互素系统中，有15种余数（分4类），有15个常数b，15个系数a（分4类，余数类相同的a相等）。
余数        系数a        常数b        余数        系数a        常数b        b+b=a
0        8        0        30        8        8        8
2        3        1        28        3        2        3
4        3        0        26        3        3        3
6        6        0        24        6        6        6
8        3        2        22        3        1        2
10        4        0        20        4        4        4
12        6        2        18        6        4        6
14        3        3        16        3        0        3
表中的第1行两套数据是对30倍数之偶数的两种不同的处理方法；
当把余数的前一半与后一半（后序）排列是，两互补余数的b+b等于a。

yangchuanju

给定偶数N，在用与210互素的互素系统中，有105种余数（分8类），有105个常数b，105个系数a（分8类，余数类相同的a相等）。
余数        系数a        常数b        余数        系数a        常数b        余数类
0        48        0        210        48        48        8
2        15        1        208        15        14        1
4        15        0        206        15        15        1
6        30        0        204        30        30        2
8        15        0        202        15        15        1
10        20        0        200        20        20        3
12        30        2        198        30        28        2
14        18        2        196        18        16        5
16        15        0        194        15        15        1
18        30        2        192        30        28        2
20        20        2        190        20        18        3
22        15        1        188        15        14        1
24        30        4        186        30        26        2
26        15        1        184        15        14        1
28        18        2        182        18        16        5
30        40        6        180        40        34        4
32        15        4        178        15        11        1
34        15        3        176        15        12        1
36        30        4        174        30        26        2
38        15        3        172        15        12        1
40        20        4        170        20        16        3
42        36        8        168        36        28        6
44        15        4        166        15        11        1
46        15        3        164        15        12        1
48        30        8        162        30        22        2
50        20        4        160        20        16        3
52        15        4        158        15        11        1
54        30        10        156        30        20        2
56        18        4        154        18        14        5
58        15        5        152        15        10        1
60        40        12        150        40        28        4
62        15        5        148        15        10        1
64        15        6        146        15        9        1
66        30        8        144        30        22        2
68        15        4        142        15        11        1
70        24        8        140        24        16        7
72        30        12        138        30        18        2
74        15        7        136        15        8        1
76        15        6        134        15        9        1
78        30        10        132        30        20        2
80        20        8        130        20        12        3
82        15        7        128        15        8        1
84        36        16        126        36        20        6
86        15        5        124        15        10        1
88        15        6        122        15        9        1
90        40        18        120        40        22        4
92        15        6        118        15        9        1
94        15        7        116        15        8        1
96        30        12        114        30        18        2
98        18        8        112        18        10        5
100        20        10        110        20        10        3
102        30        16        108        30        14        2
104        15        8        106        15        7        1

表中的第1行两套数据是对210倍数之偶数的两种不同的处理方法；
当把余数的前一半与后一半（后序）排列是，两互补余数的b+b等于a。