可能是一个素数公式

太阳

yangchuanju 发表于 2024-3-30 11:29
再补两个，在a=138985时，(a^2+3)/4中含有复合因子2^19-1=524287，比值等于9211=61*151（不是1，两代数式 ...

是否能找到一个整除式子？
\(\frac{a^2+3}{2^{37}-1}\)整除，这个式子能找到吗？

yangchuanju

2^k-1的素因子类型
只考虑指数k是奇数时的素因子类型。
k=3,5,7,13,17,19等素数时，2^k-1都是模6余1的素数；
k=37,67等素数时，2^k-1自身是模6余1的合数，其素因子都是模6余1的；
k=11,23等素数时，2^k-1自身是模6余1的合数，其素因子都是模6余5的（成对出现）；
k=29,43等素数时，2^k-1自身是模6余1的合数，其素因子模6余1、余5的都有（模6余5的素因子成对出现）。

k=9,25,49等素数平方时，2^k-1的素因子都是模6余1的，但k=169时它的素因子模6余1、余5的都有；
2^169-1=(2^13)^13-1=(2^13-1)*(2^13+1)=8191*(4057×6740339310641<13>×3340762283952395329506327023033<31>)，素因子为1155型。
k=15,21,39,57；65,85时素因子都是模6余1的；k=35=5*7又不是111型的了，变成1515型；
k=33,55,77；69,115,161时素因子模6余1、余5的都有，因为它们之中含有素因子11,23；
k=105，105=3*5*7，虽然2^3-1,2^5-1,2^7-1都是模6余1的，但2^105-1的素因子类型是1115111151，模6余1、余5的都有。
更多的素因子类型请自行总结！

a^2+3,(a^2+3)/4的自身即各个素因子都是模6余1的（素因子2,3除外），
不可能整除含有模6余5因子的2^k-1型整数；
即便是2^k-1自身合它的素因子都是模6余1的，也不一定能整除！

wlc1

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yangchuanju

在k=6300万以内，(63000000^2+3)/4已经达到10的15次方，没有找到能够整除2^31-1的(a^2+3)/4的数字，尽管2^31-1是模6余1的素数。
2^33-1、2^35-1分别是模6余1551、1515型数字，不可能被模6余1型数字(a^2+3)/4整除。

太阳

有没有一种可能，所有梅森素数\(2^k-1\)被\(a^2+3\)整除

yangchuanju

2^p-1及分解式的因子类型
模6余数共两种（余1或余5，第一个3除外），余5的都是双数；2^p-1自身都是模6余1的；两个模6余5的因子乘积是一个模6余1的复合因子；
模8余数也是两种（余1或余7，第一个3除外），余7的都是单数；2^p-1自身都是模8余7的；模8余7、余1的因子乘积是一个模8余7的复合因子；奇数个模8余7的因子乘积是一个模8余7的复合因子。
同一个2^p-1的两类模余数之间没有相互关系。
p        2^p-1及分解式        模6余数类型        模8余数类型
2        3=3        3        3
3        7=7        1        7
5        31=31        1        7
7        127=127        1        7
11        2047=23×89        55        71
13        8191=8191        1        7
17        131071=131071        1        7
19        524287=524287        1        7
23        8388607=47×178481        55        71
29        536870911=233×1103×2089        551        171
31        2147483647<10>=2147483647<10>        1        7
37        137438953471<12>=223×616318177        11        71
41        2199023255551<13>=13367×164511353        55        71
43        8796093022207<13>=431×9719×2099863        551        777
47        140737488355327<15>=2351×4513×13264529        515        711
53        9007199254740991<16>=6361×69431×20394401        155        171
59        576460752303423487<18>=179951×3203431780337<13>        551        71
61        2305843009213693951<19>=2305843009213693951<19>        1        7
67        147573952589676412927<21>=193707721×761838257287<12>        11        17
71        2361183241434822606847<22>=228479×48544121×212885833        551        711
73        9444732965739290427391<22>=439×2298041×9361973132609<13>        155        711
79        604462909807314587353087<24>=2687×202029703×1113491139767<13>        511        777
83        9671406556917033397649407<25>=167×57912614113275649087721<23>        55        71
89        618970019642690137449562111<27>=618970019642690137449562111<27>        1        7
97        158456325028528675187087900671<30>=
11447×13842607235828485645766393<26>        55        71

101        2535301200456458802993406410751<31>=
7432339208719<13>×341117531003194129<18>        11        71

103        10141204801825835211973625643007<32>=
2550183799<10>×3976656429941438590393<22>        11        71

107        162259276829213363391578010288127<33>=
162259276829213363391578010288127<33>        1        7

109        649037107316853453566312041152511<33>=
745988807×870035986098720987332873<24>        55        71

113        10384593717069655257060992658440191<35>=
3391×23279×65993×1868569×1066818132868207<16>        15511        77117

127        170141183460469231731687303715884105727<39>=
170141183460469231731687303715884105727<39>        1        7

yangchuanju

a^2+7自身及其素因子、复合因子模8余数如何？
a^2+7可以整除2^p-1吗？

x^2+7之中只有素因子2,7,11,23,29,37,43,53,67,71,79等，模8余3,5,7的都有，没有模8余1的，之中没有素因子5,13,17,19,31,41,47,59,61,73,83,89,97等；

太阳

(849^2+7)/(2^13-1)=88

yangchuanju

给定一个高位整数k，它是不是素数都无法知道；
在不知道k的素合性的情况下，2^k-1是不是梅森数无法知道的；
即便k是素数，梅森数2^k-1是不是素数更无法知道，梅森素数几率极低。

对于2^k-1，除非它是梅森素数模6余1外，其余2^k-1都含有多个因子（梅森合数）；
这些因子或者模6余1，或者模6余5；各个素因子都是模6余1的有一些，但数量不会很多；
况且能够被仅含模6余1的a^2+3整除的2^k-1的数字为数不多；
想靠能不能整除判断2^k-1的素合性——是不是大海捞针？
须知，能整除的不一定是素数，是素数的多不能整除；
是素数又恰好能整除的确实有一些，但整除商等于1的确少之又少（据太阳统计分析仅发现4个，p=17,19都不是），
第5个是什么？P=31吗？P=37吗？P=67吗？天知道！（p=11,23,29,41,43,47,53,59的都含有模6余5素因子，不可能整除）

梅森素数有几种有效判断法——
最基本的方法是试除法，这也是判断其它素数的基本方法；
其次是LL检验法，对指数不是太大的梅森数非常有用；
因子分解法；
其它方法肯定还不多，笔者研究不多，略去不谈。
但太阳先生您的“整除法”肯定不是一个好法！

yangchuanju

给定一个高位整数k，它是不是素数都无法知道；
在不知道k的素合性的情况下，2^k-1是不是梅森数无法知道的；
即便k是素数，梅森数2^k-1是不是素数更无法知道，梅森素数几率极低。

对于2^k-1，除非它是梅森素数模6余1外，其余2^k-1都含有多个因子（梅森合数）；
这些因子或者模6余1，或者模6余5；各个素因子都是模6余1的有一些，但数量不会很多；
况且能够被仅含模6余1的a^2+3整除的2^k-1的数字为数不多；
想靠能不能整除判断2^k-1的素合性——是不是大海捞针？
须知，能整除的不一定是素数，是素数的多不能整除；
是素数又恰好能整除的确实有一些，但整除商等于1的确少之又少（据太阳统计分析仅发现4个，p=17,19都不是），
第5个是什么？P=31吗？P=37吗？P=67吗？天知道！（p=11,23,29,41,43,47,53,59的都含有模6余5素因子，不可能整除）

梅森素数有几种有效判断法——
最基本的方法是试除法，这也是判断其它素数的基本方法；
其次是LL检验法，对指数不是太大的梅森数非常有用；
因子分解法；
其它方法肯定还不多，笔者研究不多，略去不谈。
但太阳先生您的“整除法”肯定不是一个好法！