太阳素数公式剖析

yangchuanju

太阳先生求证素数公式方程组中的整数解个数（对数）
太阳先生求证素数公式的方程组有六个，这里仅按方程组（一）进行分析；
其余方程组大致相同，但涉及的具体素数及合数肯定各不相同。

方程组（一）中的奇素数共分4类：两方程都无解，方程1无解方程2有解；方程1有解方程2无解；两方程都有解。
两无解        1无2有        1有2无        两有解
17        3        5        19
23        7        11        31
47        13        29        61
53        37        41        79
83        43        59        109
107        67        71        139
……        ……        ……        ……
素数3在m=1-3中有1个整数解，以后m每增大3又有1个整数解；素数5在m=1-5中有1个整数解，以后m每增大5又有1个整数解；
其余素数p如果有解，则在m=1-p以中就有2个整数解，或4个整数解（仅“两有解”素数）；整数解总是成对出现，且各个j1+j2=p；以后m每增大p又出现2个或4个整数解。

方程组（一）中的素数及素数幂的整数解个数：
3——方程2有1个，3^n——无
5——方程1有1个，5^n——无
7——方程2有2个，7^n——2个
49——2个，343——2个，2401——2个
11——方程1有2个，11^n——2个
13——方程2有2个，13^n——2个
17——无解，17^n——无解
19——方程12各2个，19^n——各2个
23——无解，23^n——无解
29——方程1有2个，11^n——2个
31——方程12各2个，31^n——各2个
……

方程组（一）中的合数的整数解
（1）合数的素因子只要含有“两无解”素数，就无解；
（2）合数的素因子跨越一有一无两类素数的就无解；
（3）合数的素因子仅为“1有2无”或”1无2有“的有一个方程有解；
（4）合数的素因子仅为“两有解”的两个方程都有解。
（5）合数的素因子为“两有解”及一有一无的一个方程有解。

方程组（一）中的仅用一类素因子合数的整数解个数
7或3*7——方程2有2个整数解，将7换成13,37,43,67……依然；
7*13或3*7*13——方程2有4个整数解，将7*13换成7*37,7*43,13*37,13*43,37*43……依然；
7*13*37或3*7*13*37——一方程2有8组解；将7*13*37换成7*13*43,7*37*43,13*37*43……依然；
将合数素因子3,7,13……换成9,27,81；49,343；169等幂数，方程2的整数解个数不变。
……

5或5*11——方程1有2个整数解，将11换成29,41,59,71……依然；
11*29或5*11*29——方程1有4个整数解，将11*29换成11*41,11*59,29*41,29*59,41*59……依然；
11*29*41或5*11*29*41——一方程1有8组解；将11*29*41换成11*29*59,11*41*59,29*41*59……依然；
将合数素因子5,11,29……换成25,125,625；121,1331；841等幂数，方程1的整数解个数不变。
……
19*19,31*31,61*61——两个方程各有2个整数解；
19*31,19*61,31*61——两个方程各有4个整数解；
19*31*61——两个方程各有8个整数解；
……

太阳

素数公式大难题，找不到