不定方程(a^2-m^2)/(2m+1)=c的整数解

太阳

已知整数a>1，n>1，奇数b>1，素数p≥3，b≠p^n，
不定方程[a^2-(b-1)^2]/b=c没有负整数解，
求证：b=p
[a^2-(203-1)^2]/203=c
a=57，a=146
[a^2-(221-1)^2]/221=c
a=103，a=118
[a^2-(8041-1)^2]/8041=c
a=560，a=2364，a=2925，a=5116，a=5677，a=7481
找到a是正整数解，难度也大，也没什么好的方法快速找到a正整数值

yangchuanju

太阳 发表于 2024-7-22 11:28
已知整数a>1，n>1，奇数b>1，素数p≥3，b≠p^n，
不定方程[a^2-(b-1)^2]/b=c没有负整数解，
求证：b=p

不定方程(m-a)/(2m+1)=c如果有正整数解，则2m+1是合数，否则是素数或单素数的幂数。
判定不定方程(m-a)/(2m+1)=c有没有正整数解，实质还是试除法。
依条件，参数a最小值取1，最大值取m-1，总取值个数是m-1个；
对于给定的待求素性的正整数b=2m+1，需要做m-1次减法和m-1次除法，总计算次数是2m-2，仅稍稍比待求素性的正整数b=2m+1小3。
（该法已经比太阳先生的原始不定方程简化了许多，依原不定方程(a^2-m^2)/(2m+1)=c，需先计算两数的平方，接着计算平方差，以后才是做除法。）
如果待求数是素数或单素数的幂数，则需要一直试除到底才能确定；
即便试除到底没有正整数解，也不能立刻判定它是素数，因为它还可能是幂数！

实际计算表明，简化的不定方程(m-a)/(2m+1)=c在a<m时统统没有整数解，必须用(a^2-m^2)/(2m+1)=c或(m^2-a^2)/(2m+1)=c才行；
如此说来，按照太阳先生的求整数解的方法，必须先平方，再求平方差，最后做除法才行！

yangchuanju

两千多年前的埃氏素数判断法则是——
最笨的试除法是：用待求数b=2m+1除以2,3,4……2m，共2m-1次试除，皆不整除，则b就是素数！
实际上没有人这样试除，仅用b以内的全部素数（约b/ln(b)个素数）试除即可，试除次数减少许多。
理论研究证明，试除法还可以大大减少，仅用b平方根内的全部素数（约√b/ln(√b)个素数）试除即可，试除次数又大大的减少了，
这就是公认的埃氏试除法！

对于一些特殊类型的正整数，尚可以仅用b平方根内的部分素数试除即可，或者采用其它更为简捷的判断方法！

另一个大的区别是——
埃氏试除法是用定数b除以小整数，大数除以小数比较容易得到商，若商是整数则立刻得到b不是素数；
太阳整数解法则是用小整数除以很大的定数b，不论是小数除以大数，还是大数除以大数，都很难得到正确的商数，
如果某数除以一个大数得不到正确的商数，如何判断那个商数是不是不定方程的整数解呢？

太阳先生的目标是寻找亿位大素数，请问太阳先生如何计算某个整数除以亿位大整数呢？

太阳

这个命题可能是正确的，正确概率极高，很难找到反例

太阳

例1:\(a=-1299497230788526\)，\(b=-1299497019051308\)
\(c=109\)，\(m=70579080\)，\(a=c^4d\)，\(d=-9205966\)
\(3\times109^4\times70579080＞|-1299497230788526|＞\frac{3\times109^4\times70579080}{108}\)
判断109是素数
例2:\(a=-283773943550649876\)，\(b=-283773941198291088\)
\(c=199\)，\(m=784119600\)，\(a=c^4d\)，\(d=-180950676 \)
\(3\times199^4\times784119600＞|-283773943550649876|＞\frac{3\times199^4\times784119600}{198}\)
判断199是素数
例3:\(a=-2126461065140485465476\)，\(b=-2126461064936853467088\)
\(c=199\)，\(m=67877332800\)，\(a=c^4d\)，\(d=-15663999876 \)
\(3\times607^4\times67877332800＞|-2126461065140485465476|＞\frac{3\times607^4\times67877332800}{606}\)
判断607是素数

太阳

，，，，，，，

太阳

已知:\(a^2+bc^5+am=ab\)，\(2m=c^5-1\)，\(c=t+1\)，\(a=c^5d\)，\(\sqrt[n]{c}\ne y\)
\(c\ne3u\)，\(c\ne5v\)，\(3c^5m＞|a|＞\frac{3c^5m}{t}\)，，整数\(a\ne0\)，\(b\ne0\)，\(d\ne0\)
\(m＞0\)，\(n＞1\)，\(t＞0\)，\(u＞0\)，\(v＞0\)，\(y＞0\)，奇数\(c＞0\)，素数\(p＞0\)
求证:\(c=p\)
找到一个反例，\(a=-2198004138798397622\)，\(b=-2198004134738221392\)，\(c=77\)

太阳

指数是4，\(c^4\)，没有找到反例，很难找到反例

太阳

23楼，命题是错误的，找到一个反例，a=-20577735824498028, b=-20577733990251696，c=187

yangchuanju

太阳 发表于 2024-7-22 22:11
例1:\(a=-1299497230788526\)，\(b=-1299497019051308\)
\(c=109\)，\(m=70579080\)，\(a=c^4d\)，\(d=-92 ...

例1：a=-1299497230788526，b=-1299497019051308，c=109，m=70579080，       
a=c^4*d，d=-9205966,       
3*109^4*70579080>|-1299497230788526|>3*109^4*70579080)/108       
判断109是素数       
a^2        1688693052827047606187733252676
b*c^4        -183434609434264601924588
am        -9171731901160183963608
三项和        1688692860220706270762947364480
ab        1688692777675119160321291692008
方程左右不相等，太阳的例1是虚假的。       


验算中数字计算有错误，太阳先生的例1是对的！
不知道太阳先生的例子和反例是如何求出的，16-18位数字如何得到的，