不定方程a^4±bc^4+am=ab的整数解

yangchuanju · 发表于 2024-7-31 16:21

太阳先生的72组整数解重排序
序 a b a1增 a2增 a均增
1 -64560240 -64550400 —— —— ——
36 6560 -64550400
2 -21515706 -21505868 43044534 -2 21522266
35 6558 -21505868
3 -7167528 -7157696 14348178 -6 7174086
34 6552 -7157696
4 -4960116 -4950288 2207412 -4 1103704
33 6548 -4950288
5 -2384802 -2374988 2575314 -14 1287650
32 6534 -2374988
6 -1648998 -1639196 735804 -12 367896
31 6522 -1639196
7 -790560 -780800 858438 -42 429198
30 6480 -780800
8 -545292 -535568 245268 -36 122616
29 6444 -535568
9 -259146 -249548 286146 -126 143010
28 6318 -249548
10 -177390 -167900 81756 -108 40824
27 6210 -167900
11 -82008 -72896 95382 -378 47502
26 5832 -72896
12 -78732 -69648 3276 -28 1624
25 5804 -69648
13 -54756 -45968 23976 -296 11840
24 5508 -45968
14 -22962 -15308 31794 -1134 15330
23 4374 -15308
15 -21870 -14300 1092 -84 504
22 4290 -14300
16 -13878 -7196 7992 -888 3552
21 3402 -7196
17 -3280 0 10598 -3402 3598
20 0 0
18 -2916 112 364 -252 56
19 -252 112
54 13374 32692 16290 16290 16290
55 16038 32692
53 13122 32804 -252 364 56
56 16402 32804
52 9720 40000 -3402 10598 3598
57 27000 40000
51 8832 47104 -888 7992 3552
58 34992 47104
50 8748 48112 -84 1092 504
59 36084 48112
49 7614 78772 -1134 31794 15330
60 67878 78772
48 7318 102452 -296 23976 11840
61 91854 102452
47 7290 105700 -28 3276 1624
62 95130 105700
46 6912 200704 -378 95382 47502
63 190512 200704
45 6804 282352 -108 81756 40824
64 272268 282352
44 6678 568372 -126 286146 143010
65 558414 568372
43 6642 813604 -36 245268 122616
66 803682 813604
42 6600 1672000 -42 858438 429198
67 1662120 1672000
41 6588 2407792 -12 735804 367896
68 2397924 2407792
40 6574 4983092 -14 2575314 1287650
69 4973238 4983092
39 6570 7190500 -4 2207412 1103704
70 7180650 7190500
38 6564 21538672 -6 14348178 7174086
71 21528828 21538672
37 6562 64583204 -2 43044534 21522266
72 64573362 64583204

yangchuanju · 发表于 2024-7-31 16:21

将太阳先生提供的72组整数解重新分组和排序，容易看出——
1、每一个b对应两个a；
2、前后对应组的b增互相对称相等；
3、重排后原表序号和前半部都是37，后半部都是109；
4、a1增、a2增表现为前半部a1增=后半部a2增，前半部a2增=后半部a1增；
5、a均增与b增的前后对称关系相同；
6、……

yangchuanju · 发表于 2024-7-31 16:27

将不定方程中的参数c换成其它奇数，甚至某些偶数，也一定会有多组对称的整数解，只是组数有多有少，具体数字要大得多！

无法根据整数解组数或有无，判断参数c的素合性！即便加上一些限制条件也不可行！

yangchuanju · 发表于 2024-7-31 16:45

在不定方程2*a^2+2*bc^4+a*c^4-a-2ab=0中给定一个参数c，可能对应着有一组、几组或无穷多组整数解a和b。
图像应该是一个无穷大的开口向上的抛物曲面，谷底中间高两边低，谷底的制高点对应的b为对称点；
抛物曲面与高度为0的水平面（0平面）相交成两条平面曲线，其中的整数交点就是不定方程的整数解。

再给定参数b，用b立面（垂直平面）截抛物曲面，可得一条平面型抛物线，抛物线可能与0平面有2个、1个或0个交点；当交点的坐标a和b都是整数时，它就是不定方程的整数解。
故对应于某个特定的b，整数解往往是成对出现的！

yangchuanju · 发表于 2024-8-1 06:27

马鞍形抛物曲面的对称中心应在b=(112+32692)/2=16402，
b=112，0，-7196到b=16402分别为16290,16402,23598；
b=32692，32804，40000到b=16402分别为16290,16402,23598；
b=32692,32804相距112；b=40000的对称组是b=-7196。

yangchuanju · 发表于 2024-8-1 15:50

yangchuanju 发表于 2024-7-30 21:10
对不定方程2*a^2+2*bc^4+a*c^4-a-2ab=0，已得到8组c=5的整数解，整数解成对成双出现，互相对称：
a b c
...

对于c=5，除先前找到的4*2=8组整数解以外，今在b=±100万以内又找到6*2=12组整数解；
20组（10对）整数解互相对称，b增前后相等；对称中心点在b=（0+3124）/2=1562处，位于马鞍面的高点处，这里方程左端的数值f没有负数和0。
与c=9的72组整数解类同，c=5的20组整数解中的b为负数的对应a值都是一正一负的：
b a1 a2 b增
-584064 624 -585000 ——
-115568 620 -116500 468496
-21888 600 -22800 93680
-3248 500 -4060 18640
0 0 -312 3248
3124 1562 1250 3124
6372 5310 750 3248
25012 24050 650 18640
118692 117750 630 93680
587188 586250 626 468496

若用太阳先生的计算软件，一定能找到更多组c=5的整数解！

太阳 · 发表于 2024-8-1 16:12

2*a^2+2*b*5^4+a*5^4-a-2ab=0
20整数解
a = -585000, b = -584064
a = -116500, b = -115568
a = -22800, b = -21888
a = -4060, b = -3248
a = -312, b = 0
a = 0, b = 0
a = 500, b = -3248
a = 600, b = -21888
a = 620, b = -115568
a = 624, b = -584064
a = 626, b = 587188
a = 630, b = 118692
a = 650, b = 25012
a = 750, b = 6372
a = 1250, b = 3124
a = 1562, b = 3124
a = 5310, b = 6372
a = 24050, b = 25012
a = 117750, b = 118692
a = 586250, b = 587188

yangchuanju · 发表于 2024-8-1 21:13

36组c=7的整数解
b a1 a2
-1229148 2394 -1232742
-659088 2388 -662676
-170496 2352 -174048
-89100 2310 -92610
-25488 2124 -28812
-19548 2058 -22806
-8208 1764 -11172
-396 462 -2058
0 0 -1200
12004 6002 4802
12400 6860 4340
20212 15974 3038
31552 27608 2744
37492 33614 2678
101104 97412 2492
182500 178850 2450
671092 667478 2414
1241152 1237544 2408

太阳 · 发表于 2024-8-1 22:30

2*a^2+2*b*7^4+a*7^4-a-2ab=0
40整数解
a = -8643600, b = -8640000
a = 2400, b = -8640000
a = 2402, b = 8652004
a = 8648402, b = 8652004

yangchuanju · 发表于 2024-8-2 05:47

太阳发表于 2024-8-1 22:30
2*a^2+2*b*7^4+a*7^4-a-2ab=0
40整数解
a = -8643600, b = -8640000

c=11和c=21的整数解各4组，其中c=21的第4组整数解是根据对称原则求得的！
c b a1 a2
11 -206300 13310 -226930
11 0 0 -7320
11 73204 36602 29282
11 279504 256212 15972
21 -453788 129654 -680682
21 0 0 -97240
21 972404 486202 388962
21 1426192 1069644 259308

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不定方程a^4±bc^4+am=ab的整数解

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