梅森素数特别判定法

太阳 · 发表于 2024-9-6 23:45

已知:\(a^2b^2c^2=ct^2\)，\(abc=t\)，\(a＞c\)，\(c^5＞t\)，\(t\)的最小质因数是\(m\)
奇数\(a＞1\)，\(b＞1\)，\(c＞1\)，\(t＞1\)，奇数\(p＞0\)
求证:\(b=p\)

yangchuanju · 发表于 2024-9-7 01:06

本帖最后由 yangchuanju 于 2024-9-7 01:27 编辑

对于不定方程(r^4-4*r2+2)/(2^p-1)=c，不论指数p是素数，还是合数，r2（第一余数）之中总有两个0解——
例p=3，r=4或3时r2都是0,4+3=7；p=5，r=8或23时r2都是0,8+23=31；p=7，r=16或111时r2都是0,16+111=127；
又p=9，r=32或479时r2都是0,32+479=511；p=11，r=64或1983时r2都是0,64+1983=2047；p=13，r=128或8063时r2都是0,128+8063=8191；
p 2^p-1 第1个0解r 第2个0解r
3 7 4 3
5 31 8 23
7 127 16 111
9 511 32 479
11 2047 64 1983
13 8191 128 8063
15 32767 256 32511
17 131071 512 130559
19 524287 1024 523263
21 2097151 2048 2095103
23 8388607 4096 8384511
25 33554431 8192 33546239

这是因为，当r=2^(p+1)/2时，r^2-2=2^(p+1)-2=2*(2^p-1)，除以2^p-1总是等于2（整数）；
且r=2^(p+1)/2一定有另一个互补整数解r=(2^p-1)-2^(p+1)/2。

yangchuanju · 发表于 2024-9-7 01:08

当2^p-1是合数时，第1余数r2中的0解还要多一些，经计算知——
9有4个0解，11有4个0解，15有8个0解，21有8个0解，25有8个0解：
9 511
r1 r2
32 0
178 0
333 0
479 0

11 2047
r1 r2
64 0
915 0
1132 0
1983 0

15 32767
r1 r2
256 0
5541 0
8502 0
13787 0
18980 0
24265 0
27226 0
32511 0

21 2097151
r1 r2
2048 0
340344 0
873141 0
881618 0
1215533 0
1224010 0
1756807 0
2095103 0

25 33554431
r1 r2
8192 0
2855573 0
3255395 0
6102776 0
27451655 0
30299036 0
30698858 0
33546239 0

yangchuanju · 发表于 2024-9-7 01:14

对于梅森合数2^23-1不但第1余数r2中有4个0解，出尔反尔地在第2余数r3中出现了16个0解(不定方程(r^4-4*r2+2)/(2^23-1)=c的反例)；
太阳先生曾经给出了它的一个反例555182，不曾想一下子搜出了16个反例，4个一级0解数有各自引出4个二级0解——
r1 r2 r3
4096 0
3922486 0
4466121 0
8384511 0
2339992 4096 0
3053916 4096 0
5334691 4096 0
6048615 4096 0
3411827 3922486 0
4125751 3922486 0
4262856 3922486 0
4976780 3922486 0
555182 4466121 0
3549881 4466121 0
4838726 4466121 0
7833425 4466121 0
1627017 8384511 0
2478046 8384511 0
5910561 8384511 0
6761590 8384511 0

yangchuanju · 发表于 2024-9-7 01:15

如果存在一个整数x，使得x^2-2除以(2^3-1)=7等于某个正整数c，余数为2^(p+1)/2=4或7-4=3，
x^2-2=7c+4，x^2=7c+6；或x^2-2=7c+3，x^2=7c+5：
c 7c+6 x1 x2
0 6 2.449489743 2.236067977
1 13 3.605551275 3.464101615
2 20 4.472135955 4.358898944
3 27 5.196152423 5.099019514
4 34 5.830951895 5.744562647
5 41 6.403124237 6.32455532
6 48 6.92820323 6.8556546
7 55 7.416198487 7.348469228
不存在满足条件余数等于4或3的x。

yangchuanju · 发表于 2024-9-7 01:19

如果存在一个整数x，使得x^2-2除以(2^5-1)=31等于某个正整数c，余数为2^(p+1)/2=8或23，
x^2-2=31c+8，x^2=31c+10；或x^2-2=31c+23，x^2=31c+25：
c 31c+10 x1 x2
0 10 3.16227766 5
1 41 6.403124237 7.483314774
2 72 8.485281374 9.327379053
3 103 10.14889157 10.86278049
4 134 11.5758369 12.20655562
5 165 12.84523258 13.41640786
6 196 14 14.52583905
7 227 15.06651917 15.55634919
8 258 16.0623784 16.52271164
9 289 17 17.43559577
10 320 17.88854382 18.30300522
11 351 18.734994 19.13112647
12 382 19.54482029 19.92485885
13 413 20.32240143 20.68816087
14 444 21.07130751 21.42428529
15 475 21.79449472 22.13594362
16 506 22.49444376 22.82542442
17 537 23.17326045 23.49468025
18 568 23.83275058 24.14539294
19 599 24.4744765 24.77902339
20 630 25.0998008 25.3968502
21 661 25.70992026 26
22 692 26.30589288 26.5894716
23 723 26.88865932 27.16615541
24 754 27.45906044 27.73084925
25 785 28.01785145 28.28427125
26 816 28.56571371 28.82707061
27 847 29.10326442 29.35983651
28 878 29.63106478 29.88310559
29 909 30.14962686 30.39736831
30 940 30.65941943 30.90307428
31 971 31.1608729 31.40063694
65 2025 45
74 2304 48
满足余数8的x等于14和17，下一级x等于45和48；满足余数23的x等于5和26。

yangchuanju · 发表于 2024-9-7 01:21

本帖最后由 yangchuanju 于 2024-9-7 01:46 编辑

如果存在一个整数x，使得x^2-2除以(2^7-1)=127等于某个正整数c，余数为2^(p+1)/2=16或111，
x^2-2=127c+16，x^2=127c+18；或x^2-2=127c+111，x^2=127c+113：
c 127c+18 x1 127c+113 x2
0 18 4.242640687 113 10.63014581
1 145 12.04159458 240 15.49193338
2 272 16.4924225 367 19.15724406
3 399 19.97498436 494 22.22611077
4 526 22.93468988 621 24.91987159
5 653 25.55386468 748 27.34958866
6 780 27.92848009 875 29.58039892
7 907 30.11644069 1002 31.65438358
8 1034 32.15587038 1129 33.60059523
9 1161 34.07345007 1256 35.44009029
10 1288 35.88871689 1383 37.18870796
11 1415 37.61648575 1510 38.85871846
12 1542 39.26830783 1637 40.45985665
13 1669 40.85339643 1764 42
14 1796 42.3792402 1891 43.48562981
15 1923 43.8520239 2018 44.92215489
16 2050 45.27692569 2145 46.31414471
17 2177 46.65833259 2272 47.66550115
18 2304 48 2399 48.97958759

49 6241 79 6336 79.59899497
50 6368 79.79974937 6463 80.39278575
51 6495 80.59156283 6590 81.17881497
52 6622 81.37567204 6717 81.95730596
53 6749 82.15229759 6844 82.72847152
54 6876 82.92164977 6971 83.49251463
55 7003 83.68392916 7098 84.24962908
56 7130 84.43932733 7225 85

126 16020 126.5701387 16115 126.9448699
127 16147 127.0708464 16242 127.4441054
241 30625 175 30720 175.2712184
334 42436 206 42531 206.2304536
满足余数等于16的x等于48和79，下一级x等于175和206；满足余数等于111的x等于42和85。

yangchuanju · 发表于 2024-9-7 01:23

如果存在一个整数x，使得x^2-2除以(2^9-1)=511等于某个正整数c，余数为2^(p+1)/2=32或479，
x^2-2=511c+32，x^2=511c+34；或x^2-2=511c+479，x^2=511c+481；
试算表明不存在满足余数等于32或479的x，即32和479之前没有满足条件的x，或32和479不会是2^9-1的第一余数r2，但当r1=32或479时，它的r2=0。

如果存在一个整数x，使得x^2-2除以(2^11-1)=2047等于某个正整数c，余数为2^(p+1)/2=64或1983，
x^2-2=2047c+64，x^2=2047c+66；或x^2-2=2047c+1983，x^2=2047c+1985；
试算表明不存在满足余数等于64或1983的x，即64和1983之前没有满足条件的x，或64和1983不会是2^11-1的第一余数r2，但当r1=64或1983时，它的r2=0。

yangchuanju · 发表于 2024-9-7 01:24

不定方程(r^2-2)/(2^p-1)=c对于各个p都有至少2个正整数解，其中p是大于等于3的奇数，r取值范围为1至2^p-1；
不定方程((r^2-2)^2-2)/(2^p-1)=(r^4-4*r^2+2)/(2^p-1)=c对于各个p不一定都有正整数解，其中p是大于等于3的奇数，r取值范围为1至2^p-1；
当2^p-1是梅森素数（不含2^3-1=7）时，都有2个正整数解；当2^p-1不是梅森素数时不定方程一般是没有正整数解，但已知2^23-1存在正整数解4个（反例）；

yangchuanju · 发表于 2024-9-7 01:24

((r^2-2)^2-2)=(r^4-4*r^2+2)
((r^2-2)^2-2)^2-2=(r^4-4*r^2+2)^2-2=r^8+16*r^4+4-8*r^6+4*r^4-16*r^2-2=r^8-8*r^6+20*r^4-16*r^2+2
三级不定方程(r^8-8*r^6+20*r^4-16*r^2+2)/(2^p-1)=c对于哪些p有正整数解呢？
一级不定方程(r^2-2)/(2^p-1)=c当p≥3时都有至少2个正整数解，已知p=9,11,23时有4个整数解，p=15,21,25时有8个整数解；
二级不定方程(r^4-4*r^2+2)/(2^p-1)=c对于p≥5的梅森素数都有4个正整数解，其余的合数2^p-1一般无整数解，但p=23时有16个整数解；
三级不定方程(r^8-8*r^6+20*r^4-16*r^2+2)/(2^p-1)=c对于p≥7的梅森素数都有8个正整数解，其余的合数2^p-1中尚未发现有正整数解的。

二级不定方程(r^4-4*r^2+2)/(2^p-1)=c，有正整数解时2^p-1是素数，无正整数解时2^p-1是合数，因为2^23-1中有反例没有成立；
三级不定方程(r^8-8*r^6+20*r^4-16*r^2+2)/(2^p-1)=c，有正整数解时2^p-1是素数，无正整数解时2^p-1是合数，总该成立了吧？2^23-1中是没有三级余数r4=0的。

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