请证明mk是梅森素数

太阳

二级不定方程
(r^4-4*r^2+2)/(2^k-1)=c，k=23，37，47，113，181
k=181，r=11754786762829628679002995785179614424172077044400501
c=6229164584088967835618366927664003214219942275720363542576595558333547605190004091384727909500131861933657822132414313727754561037629274851186941399004849

太阳

三级不定方程
((r^4-4*r^2+2)^2-2)/(2^k-1)=c，k=37，167，197，199，281，373，881
有正数解，2^k-1是合数，2^k-1是二合数乘积，2^k-1分成两个素数乘积，可能是真命题
没有找到2^k-1分成三个素数乘积

太阳

k取素数，2^k-1是合数
方程a^2+ab+b^2-2^k+1＝0，有正整数解
三级不定方程，((r^4-4*r^2+2)^2-2)/(2^k-1)=c，有整数解
2^k-1等于两个素数乘积，如果这两个命题是真命题
确定方程有正整数解，容易找到2^k-1最大的素因子，找到方程有正整数解难度大

yangchuanju

太阳 发表于 2024-10-25 10:15
二级不定方程
(r^4-4*r^2+2)/(2^k-1)=c，k=23，37，47，113，181
k=181，r=117547867628296286790029957 ...

已经查知，2^113-1=10384593717069655257060992658440191<35> = 3391 · 23279 · 65993 · 1868569 · 1066818132868207<16>，
三个小素因子的整数解级数和个数分别为
指数        小素因子        1级        2级        3级        4级        5级
113        3391        2        4        8        16        0
113        23279        2        4        0        0        0
113        65993        2        0        0        0        0
另两个大素因子的整数解级数和个数不详，
由于素因子65993只有一级整数解2个，故梅森合数2^113-1只会有一级整数解，不可能再有二级、三级整数解了。

yangchuanju

对于一级不定方程(r^2-2)/p=c，式中r和c都是正整数，p=p1*p2*p3*…*pn是n合数，
如果p的n个素因子都有2个一级整数解，则一级不定方程(r^2-2)/p=c有2^n个整数解。
只要有一个素因子无一级整数解，则不定方程就没有一级整数解。
二合数2047=23*89，素因子23和89各有2个一级整数解，2047有4个一级整数解；
三合数2^29-1的3个素因子各有2个一级整数解，2^29-1有8个一级整数解。

对于二级不定方程(r^4-4*r^2+2)/p=c，式中r和c都是正整数，p=p1*p2*p3*…*pn是n合数，
如果p的n个素因子都有4个二级整数解，则二级不定方程(r^4-4*r^2+2)/p=c有4^n个整数解。
只要有一个素因子无二级整数解，则不定方程就没有二级整数解。
二合数2^23-1的素因子各有4个二级整数解，2^23-1有16个二级整数解；
四合数2^181-1的4个素因子各有4个二级整数解，2^181-1应有256个二级整数解。
五合数2^113-1的5个素因子中第3素因子65993没有二级整数解，2^113-1就没有二级整数解。

对于三级不定方程((r^4-4*r^2+2)^2-2)/p=c，式中r和c都是正整数，p=p1*p2*p3*…*pn是n合数，
如果p的n个素因子都有8个三级整数解，则三级不定方程((r^4-4*r^2+2)^2-2)/p=c有8^n个整数解。
只要有一个素因子无三级整数解，则不定方程就没有三级整数解。
二合数2^37-1的素因子各有8个三级整数解，2^37-1有64个三级整数解。

yangchuanju

对于三级不定方程((r^4-4*r^2+2)^2-2)/p=c，式中r和c都是正整数，p是素数（不一定非是梅森素数），
素数p在r=1-p范围内如果有整数解，则一定有8个；
如果素数p有三级整数解，则它一定有4个二级整数解，2个一级整数解。
反之不成立，即
如果素数p有2个一级整数解，则它不一定有二级整数解，如果它没有二级整数解，就一定不会有二级以上的整数解；
如果素数p有4个二级整数解，则它不一定有三级整数解，如果它没有三级整数解，就一定不会有三级以上的整数解。

太阳

21楼，写错误，k=113，没有整数解
二级不定方程，
(r^4-4*r^2+2)/(2^113-1)=c，没有整数解

太阳

三级不定方程((r^4-4*r^2+2)^2-2)/(2^p-1)=c，p取素数
有正整数解，(2^p-1)分成3个素因子乘积，可能是不存在

yangchuanju

3素因子2^47-1的简化一级整数解8组：       
1        16777216
2        155907761179
3        22232786685819
4        22388711224214
5        118348777131113
6        118504701669508
7        140581580594148
8        140737471578111

yangchuanju

3素因子2^47-1的简化二级整数解64组：       
1        749297081777
2        4627798498150
3        7303897363401
4        8027504350490
5        10741134763171
6        11464741750260
7        13484312278986
8        18019342031884
9        19688981021061
10        20412588008150
11        23396437611811
12        26967188289774
13        30404425689544
14        32252951392647
15        32344283869701
16        38457620134722
17        39181227121811
18        41200797650537
19        42336121551095
20        43059728538184
21        45735827403435
22        49173064803205
23        51112922983362
24        51192635331931
25        51916242319020
26        58120911061095
27        59969436764198
28        61104760664756
29        61828367651845
30        63847938180571
31        69961274445592
32        70052606922646
33        70684881432681
34        70776213909735
35        76889550174756
36        78909120703482
37        79632727690571
38        80768051591129
39        82616577294232
40        88821246036307
41        89544853023396
42        89624565371965
43        91564423552122
44        95001660951892
45        97677759817143
46        98401366804232
47        99536690704790
48        101556261233516
49        102279868220605
50        108393204485626
51        108484536962680
52        110333062665783
53        113770300065553
54        117341050743516
55        120324900347177
56        121048507334266
57        122718146323443
58        127253176076341
59        129272746605067
60        129996353592156
61        132709984004837
62        133433590991926
63        136109689857177
64        139988191273550

无3级整数解