整数\(a＞1\)，\(c＞1\)，\(m＞1\)，方程\(a^2-a+1-c^m=0\)，没有正整数解

太阳

已知:\(a^2+ab^2+a^2b-a+1=c\)，\(m^2+mt^2+m^2t-m+1=c^2\)
整数\(a\ne0\)，\(b\ne0\)，\(m\ne0\)，\(t\ne0\)，奇数\(c＞0\)，素数\(p＞0\)
求证:\(c=p\)
例:\(c=7\)，\(c=127\)，\(c=2521\)
yangchuanju网友，此题是否能找到一个反例？能不能再挑战一下？找个反例？

yangchuanju

太阳 发表于 2024-11-8 15:03
已知:\(a^2+ab^2+a^2b-a+1=c\)，\(m^2+mt^2+m^2t-m+1=c^2\)
整数\(a\ne0\)，\(b\ne0\)，\(m\ne0\)，\(t\ne ...

a^2+a*b^2+a^2*b-a+1=c                       
m^2+m*t^2+m^2*t-m+1=c^2                       
a,m        b,t        c^2        c
-4        0        ——        21
-4        4        ——        21
1        -5        ——        21
1        4        ——        21
5        -5        ——        21
5        0        ——        21
-11        4        441        21
-11        7        441        21
5        -12        441        21
5        7        441        21
8        -12        441        21
8        4        441        21
-7        1        ——        99
-7        6        ——        99
2        -8        ——        99
2        6        ——        99
7        -8        ——        99
7        1        ——        99
-70        1        9801        99
-70        69        9801        99
-40        6        9801        99
-40        34        9801        99
2        -71        9801        99
2        69        9801        99
7        -41        9801        99
7        34        9801        99
35        -41        9801        99
35        6        9801        99
70        -71        9801        99
70        1        9801        99

太阳

yangchuanju，找反例高手，能不能找一个反例？条件c不是3的倍数，c不是5的倍数

yangchuanju

只规定c不能是3和5的倍数是不行的，必须规定c不能是任意素数的倍数，
只有这样规定啦，c才能是素数！
实际上规定c不能是5的倍数，好像是多余的，因为不定方程组的整数解中没有5及5的倍数数（至少尚未发现）。
下面的一些a,b,c;m,t,c^2是不是反例？

a^2+a*b^2+a^2*b-a+1=c                               
m^2+m*t^2+m^2*t-m+1=c^2                               
a,m        b,t        c^2        c        分解式
267        6        508369        713        23*31
116        5        83521        289        17*17
770        5        3575881        1891        31*61
594        9        3575881        1891        31*61
198        11        494209        703        19*37
831        10        7678441        2771        17*163
66        9        48841        221        13*17
78        9        67081        259        7*37
78        11        82369        287        7*41
54        7        25921        161        7*23

太阳

加条件c不是3的倍数，c不是5的倍数，没有任何意义，24楼，找到反例

太阳

加条件c不是3的倍数，c不是5的倍数，没有任何意义，24楼，找到反例

yangchuanju

24楼所给反例，是仅从第二个方程考虑的，有的不是第一个方程的整数解，下面是从方程组解出的正反例——
取定a=1--1000，b=1--100，带入太阳公式a^2+a*b^2+a^2*b-a+1进行计算，
代数式是完全平方数的有213个，开平方只取正即得一个正整数c，它就是不定方程
a^2+a*b^2+a^2*b-a+1=c^2的一组正整数解。
正整数解之中有素数，有3的倍数，但没有5的倍数；
其中素数95个，即太阳命题正例；3的倍数52个，非3倍数合数c66个，它们都是太阳命题的反例，太阳命题不成立！
严格的说，上述213个整数解不是太阳方程组的解，只是第二个"=c^2"方程的整数解；
考虑到上述取值范围内，多个c不是第一个方程的整数解，仅取那些同时是两方程整数解的c，
共有素数17个，3个倍数21个，非3倍数合数10个；
不管怎么说，3的倍数算不算反例，太阳的素数公式都是不成立的！

a        b        c        分解式
2        1        3        prime
7        2        13        prime
3        6        13        prime
6        5        19        prime
42        7        127        prime
32        11        127        prime
12        31        127        prime
8        41        127        prime
408        1        577        prime
168        54        1429        prime
951        10        3169        prime
328        83        3361        prime
558        71        5023        prime
532        81        5167        prime
573        76        5347        prime
759        79        7129        prime
952        77        8737        prime
116        5        289        17*17
198        11        703        19*37
117        79        1351        7*193
115        95        1519        7*7*31
770        5        1891        31*61
594        9        1891        31*61
525        28        2899        13*223
406        45        2899        13*223
544        57        4351        19*229
794        89        7939        17*467
8        4        21        3*7
5        7        21        3*7
70        1        99        3*3*11
35        6        99        3*3*11
7        34        99        3*3*11
2        69        99        3*3*11
26        15        129        3*43
16        25        129        3*43
80        13        321        3*107
14        79        321        3*107
88        13        351        3*3*3*13
70        19        351        3*3*3*13
20        69        351        3*3*3*13
14        87        351        3*3*3*13
236        69        2241        3*3*3*83
403        46        2913        3*971
313        79        3129        3*7*149
368        76        3543        3*1181
506        69        4509        3*3*3*167
410        97        4509        3*3*3*167
629        87        6291        3*3*3*233

yangchuanju

a^2+a*b^2+a^2*b-a+1=c^k整数解个数
令k=1，在给定一对正整数a和b后，不定方程总有正整数解；
给定a=1--1000，b=1--100，共得到1000*100=100000组整数解，其中c不大于1000的正整数解154组。
令k=2，在给定一对正整数a和b后，相当多不定方程有正整数解；
给定a=1--1000，b=1--100，共得到正整数解213组。
令k=3，在给定一对正整数a=1--1000和b=1--1200后，不定方程a^2+a*b^2+a^2*b-a+1=c^3仅得到为数不多的10个正整数解——
a        b        c^3        c
1        18        343        7
8        6        729        9
7        7        729        9
60        38        226981        61
39        59        226981        61
19        468        4330747        163
469        18        4330747        163
416        258        72511713        417
259        415        72511713        417
35        1142        47045881        361
（附注：c=7的另一组整数解是a=19，b=0；
c=361的另一组整数解是a=1143，b=34。）

令k=4，在给定一对正整数a=1--1000和b=1--1000后，不定方程a^2+a*b^2+a^2*b-a+1=c^4仅得到为数不多的8个正整数解——
a        b        c^4        c
10        11        2401        7
12        9        2401        7
6        115        83521        17
116        5        83521        17
250        115        10556001        57
116        249        10556001        57
115        751        74805201        93
752        114        74805201        93

联解k=1和k=2的不定方程组共得到48组整数解；
联解k=1和k=3的不定方程组共得到c=7,9=3*3,163,361=19*19四对整数解；
联解k=2和k=3的不定方程组共得到c=417=3*7*17一对整数解；
联解k=1和k=4的不定方程组共得到c=7一对整数解；
联解k=2和k=4的不定方程组无整数解；
联解k=3和k=4的不定方程组共得到c=7一对整数解；……
所有整数解c都是素数吗？

yangchuanju

在5000*5000以内又找到3对3次整数解——                               
a        b        c^3        c       
945        3672        16022066761        2521        素数
3673        944        16022066761        2521       
1893        1111        6321363049        1849        43*43
1112        1892        6321363049        1849       
1767        2855        23320116793        2857        素数
2856        1766        23320116793        2857       

在4000*4000以内又找到4对4次方整数解——                               
161        2560        1121513121        183        3*61
505        3576        7370050801        293        素数
2561        160        1121513121        183       
3577        504        7370050801        293       
1392        1924        8882874001        307        素数
1925        1391        8882874001        307       
1100        3205        15178486401        351        3*3*3*13
3206        1099        15178486401        351       

yangchuanju

a        b        a^2+a*b^2+a^2*b-a+1
1        1        3
2        1        9
3        1        19
4        1        33
1        2        7
2        2        19
3        2        37
4        2        61
1        3        13
2        3        33
3        3        61
4        3        97
1        4        21
2        4        51
3        4        91
4        4        141
不论a,b是偶还是奇，a^2+a*b^2+a^2*b-a+1都是奇数，
这些奇数之中既有素数，也有合数；
这些奇数之中幂数是有的，平方数较多；
3次幂、4次幂也一定有，但数量越来越少；
更高次幂也会有，但更为少了！