已知内心到三角形三个顶点的距离分别为x,y,z，求三角形周长表达式

ataorj

你那个f(r),输入和输出同时变，这个是
用变量r求r，循环论证了，无价值。只能求值用。
其实右边有r不表示它不能由abc表达出来，无论你是否循环。
abc是完全能唯一确定三角形的

ataorj

解方程时右边不能再有未知数，，，

ataorj

我们设未知数一般并非它就是源头，实是结果，我们假设知道了而已，方便把控，如同辅助线。

ataorj

更正，r并非变量。

天山草

最终得到了下面这个求周长的公式：

已知三角形内心到各顶点的距离为 x、y、z，则该三角形的周长按下式计算：



例如：
当 x = 1.15;  y = 2.42;  z = 1.79 时，周长 L = 9.420760102266801166259878261449852116876131665720340018292104929755573752472972181367151556781556612。  
当 x = 1.25;  y = 3.42;  z = 2.79 时，周长 L = 13.28975658638353901041526711872246778742418899616882665551865718064638077780880537526275481421361560。
当 x = 4.25;  y = 0.42;  z = 0.79 时，周长 L = 10.32062627408660595005197102685394287942493510046645362219261136580737861365312545443669170130161183。
当 x = 5.25;  y = 80.42; z = 0.29 时，周长 L = 171.3570492152826277983366307234776362038913998155439748953238205323541584606456877996154784599222167。

注意：如果你有 mathematica 这个计算软件，用它按上述公式进行计算是没有问题的。如果你非要手工计算，遇到复数开立方时，三个开方结果只能取其主值，不能任取其中的某一个。

另外，也可以用 mathematica 这个计算软件使用下面这条解方程指令由已知的 x、y、z 来计算周长 L，解方程的结果是两个正值，要取其中较大者为结果，较小的那个舍弃不用。为了得到任意精度， x、y、z 要化成分数，不能使用小数。
例如 x = 1.15 要换成 x = 115/100。
NSolve[{L^6/16  x^2 y^2 z^2 + L^4/16 (x^4 y^4 - 10 x^4 y^2 z^2 + x^4 z^4 - 10 x^2 y^4 z^2 - 10 x^2 y^2 z^4 + y^4 z^4) + L^2/4 (-2 x^6 y^4 + 8 x^6 y^2 z^2 - 2 x^6 z^4 - 2 x^4 y^6 -
       4 x^4 y^4 z^2 - 4 x^4 y^2 z^4 - 2 x^4 z^6 + 8 x^2 y^6 z^2 - 4 x^2 y^4 z^4 + 8 x^2 y^2 z^6 - 2 y^6 z^4 - 2 y^4 z^6) + x^8 y^4 - 2 x^8 y^2 z^2 + x^8 z^4 - 2 x^6 y^6 + 2 x^6 y^4 z^2 +
    2 x^6 y^2 z^4 - 2 x^6 z^6 + x^4 y^8 + 2 x^4 y^6 z^2 - 6 x^4 y^4 z^4 + 2 x^4 y^2 z^6 + x^4 z^8 - 2 x^2 y^8 z^2 + 2 x^2 y^6 z^4 + 2 x^2 y^4 z^6 - 2 x^2 y^2 z^8 + y^8 z^4 -
    2 y^6 z^6 + y^4 z^8 == 0, L > 0}, {L}, 100]
上面这指令可直接由下面复制：

1. NSolve[{L^6/16  x^2 y^2 z^2 +
   
2.     L^4/16 (x^4 y^4 - 10 x^4 y^2 z^2 + x^4 z^4 - 10 x^2 y^4 z^2 -
   
3.        10 x^2 y^2 z^4 + y^4 z^4) +
   
4.     L^2/4 (-2 x^6 y^4 + 8 x^6 y^2 z^2 - 2 x^6 z^4 - 2 x^4 y^6 -
   
5.        4 x^4 y^4 z^2 - 4 x^4 y^2 z^4 - 2 x^4 z^6 + 8 x^2 y^6 z^2 -
   
6.        4 x^2 y^4 z^4 + 8 x^2 y^2 z^6 - 2 y^6 z^4 - 2 y^4 z^6) +
   
7.     x^8 y^4 - 2 x^8 y^2 z^2 + x^8 z^4 - 2 x^6 y^6 + 2 x^6 y^4 z^2 +
   
8.     2 x^6 y^2 z^4 - 2 x^6 z^6 + x^4 y^8 + 2 x^4 y^6 z^2 -
   
9.     6 x^4 y^4 z^4 + 2 x^4 y^2 z^6 + x^4 z^8 - 2 x^2 y^8 z^2 +
   
10.     2 x^2 y^6 z^4 + 2 x^2 y^4 z^6 - 2 x^2 y^2 z^8 + y^8 z^4 -
    
11.     2 y^6 z^6 + y^4 z^8 == 0, L > 0}, {L}, 100]

复制代码

ataorj

天山草，你这种最好实际举例验证下。原因是，首先排查I，有些I，明显表明整个多项式实际结果里含有非0虚数，有些不是，特别是多项式两个“共轭”情形的，不一定结果是虚数。
Mathematica直接求解三倍角公式中的d值,为何'出错'
http://www.mathchina.com/bbs/for ... =2061894&extra=

ataorj

请你检验一下
x,y,z:2,3,5
我用动态画图解题，得到：
r和切线长：1.41982，4.79417，2.64275，1.38995

宇宙无理数

如果换成外心, 垂心, 旁心, 布洛卡点, 内心和外心的中点呢? 是不是又要重新建立方程? 重新求解? 这样又陷入了欧氏几何学的一题一策的尴尬境地, 缺点是方法过于个性化, 不可复制, 缺少通用性, 难以程序化. 还是张代远定理11.2(见11楼)给出的非线性方程组是通用的方程组, 只要将顶汇距和标架分量看成已知量, 三角形的各个边长看成未知量即可. 如果真的能求解出这个非线性方程组, 那将解决一大类问题. 很多点的标架分量在汇心几何学中都计算了出来, 只要直接代入即可. 前面提到的外心, 垂心, 旁心, 布洛卡点,  内心和外心的中点等等都是小菜一碟. 由于求解的是三角形各条边的边长, 因此周长, 面积等等和该三角形相关的参数都将迎刃而解. 只是张代远定理11.2中给出的非线性方程组难以求解, 我曾经尝试过, 无功而返. 我有一种猜测, 这个非线性方程组没有一般意义上的根式解, 但是对于某些特殊点(如重心等)存在根式解. 哪位大神能验证我的猜测?

宇宙无理数

天山草好. 你可以下载原著, 下载网址是arxiv.org/abs/2107.08388 和 https://www.researchgate.net/profile/Daiyuan-Zhang. 后面的是中文网址. 你可以下载最新的第11版. 其中的有些内容早期版本没有.

宇宙无理数

天山草好! 我原本也想把公式抄上去, 多写一些, 无奈网页打开较慢, 所以只能言简意赅. 你可以下载原著, 下载网址是arxiv.org/abs/2107.08388 和 https://www.researchgate.net/profile/Daiyuan-Zhang. 后面的是中文版的下载网址. 你可以下载最新的第11版. 其中的有些内容早期版本没有.