颠覆数学大厦的52个思想实验[长期连更]

门外汉

(第20节）：对无限长线段（射线、直线）的逻辑分析
有人或许会疑惑：既然从这个所谓的第二个端点 P 还能够继续延长，那么原本以 A 为起点的射线 AP，是不是就不能称之为无限长，而应该是有限长的了呢？毕竟，有了可延伸的端点，似乎就有了某种边界。
但实际上，射线 AP 依旧是无限长的。在此之前，我们已经知道，在 P 点之前的任何一点，都能够找到与之对应的实数来表示它在线段上的位置。然而，P 点却极为特殊，没有任何实数能够与它对应。这就表明，P 点所对应的是无穷大，我们用符号 ω 来表示。正是因为这种特性，从 A 到 P 的射线 AP，其长度是无限的，并非有限。
而且，即便确定了 P 点，从 P 点出发仍然可以继续延伸。我们可以不断地在 P 的基础上进行加法运算，比如 P + 1，P + 2，P + 3…… 甚至可以延伸到射线 AP 长度的 2 倍，我们将这个超越了P的新的端点设为 Q，此时射线 AQ 的长度就变为了 2ω。按照这样的逻辑，还能够继续延伸到 3ω、4ω、5ω、6ω……
当我们将射线 AP 与有限长度的线段进行对比时，显然射线 AP 是无限长的。但如果将射线 AP 与长度为 2ω 的射线 AQ 放在一起比较，情况就发生了变化。此时，射线 AQ 成为了无限长的一方，而射线 AP 则不再是无限长，反而变成了有限长。同样的道理，当把射线 AQ 与长度为 3ω 的射线相比时，射线 AQ 也不再是无限长，而是有限长的。
由此可见，射线的长度究竟是有限还是无限，并非绝对的，而是相对而言的。在这个概念里，只存在相对的无限，并不存在绝对的无限。同样，有限与无限之间，也不存在一个绝对的、不可跨越的界限。
这种相对性的理念，正是《相对数学分析》与《相对几何》的核心思想。它打破了我们以往对数学概念中有限与无限的固有认知，让我们以一种全新的、相对的视角去审视和理解数学世界中的各种现象。

　　

门外汉

（第21节）思想实验（九）：用蜗牛与蚂蚁的旅行来解释《相对数学分析》与《相对几何》的核心思想
在数学与几何的奇妙世界里，相对性的概念犹如一把神奇的钥匙，能开启我们对世界全新认知的大门。现在，让我们走进一场别开生面的思想实验，通过蜗牛与蚂蚁的旅行，来深入理解《相对数学分析》与《相对几何》的核心思想。
想象一下，在北京这座繁华的城市里，生活着一只聪明的蜗牛。它虽从未踏出北京半步，却对远方的广州充满了向往。蜗牛家族世世代代都怀揣着去广州开拓眼界的梦想，也有不少成员付诸行动。然而，蜗牛的寿命短暂，爬行速度更是慢得可怜，它穷尽一生，可能连自己生活的村落都爬不出去，更别提跨越千山万水到达广州了。在蜗牛的世界里，北京到广州的距离遥不可及，等同于无穷大，这是它们凭借自身能力无法跨越的鸿沟。
同样生活在北京的蚂蚁家族，情况则有所不同。蚂蚁的寿命同样有限，单靠自己的力量，终其一生也难以爬出北京城。但蚂蚁比蜗牛更具智慧，它们知晓地球上有一种神奇的交通工具 —— 汽车。于是，聪明的蚂蚁会偷偷潜伏进汽车，开启一场免费的奇妙之旅。搭乘汽车，它们仅用 7 天时间就能从北京抵达广州。对于蚂蚁家族而言，北京到广州不再是遥不可及的无限长距离，而是实实在在的有限长。
蚂蚁们偶尔也会仰望夜空，看着天上的月亮，心中萌发出从地球到月球旅行的幻想。可地球到月球的距离，对于小小的蚂蚁来说，实在是太遥远了，那是它们无论如何都无法抵达的地方，就如同北京到广州对于蜗牛一样，是遥不可及的无限远。
回顾人类的历史，曾经，地球到月球的距离对于我们来说也是无穷远的。但随着科技的不断进步，人类发明了火箭，实现了登月的壮举，曾经遥不可及的距离如今已被征服。然而，宇宙广袤无垠，宇宙的边界在哪里呢？对于现在的人类而言，那依然是无穷远的未知领域。
我们不禁会思考，未来的某一天，人类是否能够突破宇宙的边界，走出宇宙之外呢？也许，当下的人类就如同当初的蜗牛和蚂蚁，面对浩瀚星空，只能感慨宇宙的无涯。但谁又能断言，人类永远探索不到宇宙的边界呢？就像蜗牛如果搭乘人类的列车，也能到达曾经被它们视为无穷远的广州，说不定在未来的某一天，人类也能借助某种神奇的 “工具”，跨越现在看来无穷远的宇宙边界。

门外汉

(第22节）思想实验（十）：证明直线的长度是射线长度的2倍
在传统的欧氏几何中，直线是无限长的，射线也是无限长的，那么，在欧氏几何中，二者能比较长度吗？直线比射线长吗？还是二者是一样长的？
　　关于这个问题，第一种观点认为二者都是无限，没有长度的概念，所以无法比较长短。第二种观点是，按照集合论中“一一映射”的方法可以证明二者一样长（对比于全体正整数与全体偶数相等）。
　　但其实，这两种观点都是错误的，第一种观点认为二者无法比较那是因为没有找到比较的方法。
至于第二种观点认为直线与射线一样长，是明显反直觉的，或者说得更明白一点就是，这种观点本身就是错误的，包含着逻辑矛盾。但传统数学对于无穷中的矛盾，往往会以以“无限与有限不同”、“无限反直觉，但并不违反逻辑”等等苍白无力的词语来进行掩饰，但往往是“能饰人之口，却不能饰人之心”。
　　在前述实验中，已经用一种“无限等比缩放投影法”找到了射线的第二个端点，并且用同样的方法证明了存在不同长度的直线（射线），下面用相同的方法来证明直线的长度是射线长度的2倍。
　　设一条原点为0的数轴横轴X，正半轴可以看做是一条射线，负半轴也可以看做是一条射线，正半轴与负半轴合起来便是一条直线。
　　设另一条与数轴横轴Ⅹ平行的数轴横轴X′，Ⅹ′的原点为0′，现在用一种“等比缩放投影”的方法将正半轴射线整体投影到数轴Ⅹ′上，将正半轴射线从原点起始分成每段1米的无穷多段，设为L1，L2，L3，L4……Ln……然后，将L1按1：2的比例投影到Ⅹ′轴，设为L1′，L1′=1/2米；将L2按1：4的比例投影到Ⅹ′轴上，设为L2′，L2′=1/4米；将L3按1：8的比例投影到Ⅹ′轴上，设为L3′，L3′=1/8米……
　　按这种方法，正半轴射线的任何一段都能投影到Ⅹ′轴上，计算投影的长度，便是1/2+1/4+1/8+1/16……=1米。
　　如果觉得“投影”的概念难以理解，那么也可以这样理解：正半轴射线的L1段由1米缩短为1/2米，L2段由1米缩短为1/4米，L3段由1米缩短为1/8米……则收缩后的射线长度为1/2+1/4+1/8+1/16……=1米。
　　用同样的方法，Ⅹ轴的负半轴也投影到Ⅹ′轴上，投影之后的长度也是1米。
　　经过这种投影变换后便可以直观的看到：射线的投影长度为1米，而直线的投影长度为2米，所以直线长度是射线长度的2倍。
　　最后说明：为什么要用“投影”的方法来比较直线和射线长度大小？因为射线和直线是无限长的，无法直接比较，而通过“等比缩放投影”的方法，将无限长的直线和射线投影到有限长的线段上，便可以一目了然地看出直线长度是射线长度的2倍。

门外汉

（第23节）关于直线长度是射线长度2倍的证明，对“传统数学派”的质疑的回应（一）
“传统数学派”是现今的正统数学学派，他们秉持欧氏几何及集合论的观点，坚定认为直线与射线的长度是一样长的，因此对于直线长度是射线长度2倍的证明，会视为是异端邪说，势必会不遗余力的加以打压。
对于直线长度是射线长度2倍的惊人证明，他们会提出如下的质疑：假如按照证明方法，从数轴的原点出发向负半轴找到射线的另一个端点，设这个端点为Ｇ，然后，以Ｇ点做为射线的端点向数轴的正半轴方向延伸，延伸到原点时，即为一条无限长的射线，而从原点继续向正半轴方向延长，延长至正半轴的端点Ｐ，此时，以Ｇ为端点的射线ＧＰ就相当于是原来射线ＯＰ长度的2倍。
也就是ＯＰ可以看做是一条射线，但ＧＰ也同样可以看做是一条射线，并且ＧＰ的长度是ＯＰ长度的2倍。
此时再运用“无限等比缩放投影法”，则ＧＰ的投影长度为1米，OP的投影长度也是1米，这岂不是又证明了ＧＰ的长度与ＯＰ的长度相等？
（注：这里的ＧＰ实际上就是负半轴与正半轴合起来的整条直线，而ＯＰ是正半轴射线，似乎又证明了直线与射线一样长）
实际上，上述证明方法是错误的，这是因为：以Ｇ点出发，运用“无限等比缩放投影法”，缩放至原点Ｏ点时，便已经完成了全部的缩放过程。
更进一步的说明：假设ＧＰ以Ｇ点为起点划分为长度为1米的无穷多段，第一段缩放为1/2米，第二段缩放为1/4米，第三段缩放为1/8米……，在Ｏ点之前，每一段的缩放长度皆大于0，而至Ｏ点便已达到其缩放的极限0，这便说明当ＧＰ缩放到Ｏ点时便已完成了缩放的全部过程，如果Ｏ点之后的无穷多段再继续缩放，则每一段缩放后的长度皆为0。
而无穷多段的每一段都缩放为0说明不了任何问题，这就如同说：一条4米长的线段（4个1米线段相加）和一条8米长的线段（8个1米线段相加），每一个1米段都缩放为0，则两条线段的长度皆为0，由此证明4米＝8米，这是明显错误的逻辑。
再进一步的说明就是：当ＧＰ运用“无限等比缩放投影法”，缩放至其中点Ｏ点时，Ｏ点之前的无穷多长期要线段的缩放皆是有定义的，而Ｏ点之后的无穷多条线段的缩放是无定义的，如果将Ｏ点之后的无穷多条线段的缩放皆定义为0，则是无意义的，或者说是证明不了任何问题。

门外汉

（第24节）关于直线长度是射线长度2倍的证明，对“传统数学派”的质疑的回应（二）
传统数学学派对“直线长度是射线长度2倍”证明的另一个反击是：假设一条以Ａ为端点的射线，划分为长度为1米的无穷多段，即该射线的长度为1+1+1+1……＝∞，此时将每一个1米的小段都划分为两个1/2米小段，即划分后的射线长度为1/2+1/2+1/2+1/2……＝∞。
实际上，射线还是相同的射线，虽然划分方法不同，但射线本身不会有任何变化。
此时再用“无限等比缩放法”，则第一段缩放为1/4米，第二段缩放为1/8米，第三段缩放为1/16米,第四段缩放为1/32米……则无限等比缩放后的射线长度为1/4+1/8+1/16+1/32……＝1/2米。但如前所述，当射线为每段1米的无穷多段时，等比缩放后的射线长度为1米，但相同的射线不变，缩放后的长度却变成了1/2米，这岂不是说明“无限等比缩放法”是无效的？
实际上，这里犯了与（23）节所述相同的逻辑错误，即：当射线为每段1米的无穷多段时，运用“无限等比缩放法”，至Ｐ点（射线的第二个端点）时完成全部的缩放过程，而将该射线划分为每段1/2米的无穷多段（虽然射线本身没有任何变化），再运用“无限等比缩放法”，至Ｐ/2点时即已完成全部的缩放过程，此时缩放后的射线长度并不是1/2米，而是1/2米+Ｐ/2米，因为未完成全部的缩放过程，所以它的长度仍然是无限长的，但并不能说明任何问题。
因此，只要是严格遵守“无限等比缩放”的规则，是不会出现任何逻辑上的矛盾的。因此也说明了“无限等比缩放法”是一种行之有效的数学工具。

门外汉

（第25节）相对几何体系对比于传统欧氏几何的优势
如前所述，在欧氏几何中，直线和射线的长度都是无限长的，虽然射线是直线的一部分，但直线与射线的长度相等，即所谓的“部分等于整体”，这对于人类的大脑来说是明显是反直觉的。举个形象的例子就是：一个人的身高2米，他的腿长1米，显然他的腿是身体的一部分，理所当然有身高>腿长,但如果你说他的腿他的身高一样长,那就是一个天大的笑话了。
但是这种“部分等于整体”的笑话在欧氏几何乃至于现代数学中却是司空见惯的，这说明以欧氏几何为基础的现代数学是暗藏逻辑矛盾的，两千多年以来，人们对这种逻辑矛盾无可奈何，找不出其矛盾的根源究竟在哪里，久而久之，也就默默的接受了，不再认为它是一个矛盾了，只能以类似于这种“无限是反直觉的”“不能以有限的思维来理解无限”等等苍白无力的语言来对这种现象进行掩饰。
如今，相对几何提出直线长度是射线长度2倍的证明方法，属于数学中的拨乱反正，纠正“部分等于整体”的荒谬错误，但因为欧氏几何埋下的逻辑隐患已历经两千多年，甚至可以说是在人们的心目中已经根深蒂固，想要彻底纠正这个错误也是异常艰难的，但是，只要相对几何逻辑正确，找不出其中的逻辑矛盾，也就能经受住任何质疑和挑战。
因此，相对几何和相对数学建立的初衷就是：构建出一个无矛盾的、逻辑自洽的全新数学理论体系，以此终结现代数学中层出不穷的逻辑矛盾和数学悖论。

门外汉

（第26节）用《相对几何》解答思想实验（一）
首先回顾一下思想实验（一）的内容：无限旅行的蜗牛：永恒的跋涉与未完成的抵达
思想实验设定：
一只蜗牛在一条无限长的理想化直线上爬行，起点标记为0米。假设蜗牛的生命是无限长的，时间以自然数序列（第1天、第2天、…）无限延伸。蜗牛每天严格爬行1米，方向始终向前。
问题：在“无限天”过去后，蜗牛能否抵达这条直线的“尽头”？
对于思想实验（一），现代数学对于此类问题会陷入于左右摇摆自相矛盾之中，潜无穷学派认为蜗牛永远都在爬行之中，永远也没有终止的时候，意为这条无限长的道路永远都爬不完。
但是如果你问潜无穷论者：有哪一个点是蜗牛永远都爬不到的吗？潜无穷论者会说：任何一个点都能爬到，但就是永远都爬不完。
总之，这种解答方法就是模棱两可，让人觉得莫名其妙又让人找不到他的错误究竟在哪里。
实无穷论者认为蜗牛能爬完全程，理由是：这条道路上的任何一个点蜗牛早晚都能经历到，即然如此，那蜗牛当然能爬完全程。但是如果你问当蜗牛爬完全程时，蜗牛在什么位置上？实无穷论者又回答不上来了
总之，潜无穷论者与实无穷论者在这个问题上都有难以自圆其说的地方。
非标准分析学派会认为蜗牛会爬到一个无穷大的地点ω，但蜗牛爬到ω处以后，再往前走ω+1、ω+2……基本上等同于原地踏步。
《相对几何》对于此问题的解答是：当时间为无穷大P天时，蜗牛会爬到理想直线的无穷远点Ｐ点处，而且，蜗牛到达Ｐ点后，依然可以继续往前爬行Ｐ+1、Ｐ+2、Ｐ+3……而且会越爬越远，直至爬到2Ｐ、3Ｐ、4Ｐ……所不同的是：Ｐ点之前，为有限的部分，Ｐ点之后，为超限的部分。
经过《相对几何》的技术性处理，此问题不存在逻辑矛盾之处。

门外汉

（第27节）用《相对几何》解答思想实验（二）
首先回顾一下思想实验（二）的具体内容：超光速狂奔的蚂蚁：假设有一只神奇的蚂蚁，它的爬行速度超乎想象。在第1/2分钟时，它爬到了距离起点 1 米的位置；在第3/4分钟时，它爬到了 2 米处；在第7/8分钟，它到达 了3 米处；在第15/16分钟时，它爬到 了 4 米处…… 以此类推，随着时间越来越接近 1 分钟，蚂蚁爬行的距离不断增加。问：当时间为1分钟时，蚂蚁爬到了哪里？
思想实验（二）与思想实验（一）都是对无限远的疑问，所不同的是，蜗牛的例子中，时间是一天一天无限延长永无终止的，所以似乎永远也看不到结果。而思想实验（二）要在1分钟的时间里结束蚂蚁所有的旅程，所以当时间到达1分钟时，似乎很快就能看到结果。
但这个问题在现代数学的处理中也是矛盾重重，潜无穷学派认为时间按1/2、3/4、7/8、15/16……分子永远都小于分母，所以时间永远也不能等于1，即：时间永远都走不到1分钟。
这就落入了芝诺悖论的陷阱里，因为2000年前芝诺正是用这种方法证明时间永远走不到1分钟，人永远都走不到1米的距离。没想到2000多年过去了，数学家们依然还是陷在芝诺悖论的陷阱里拔不出来。
潜无穷学派的另一个典型处理方法是：当时间小于1分钟时，蚂蚁爬行的点都是有定义的，都能找到对应的点，但是当时间为1分钟时，蚂蚁爬行的点是没有定义的，既然没有定义，那就不要再问时间为1分钟时蚂蚁在哪里了，这个问题没有意义。
潜台词就是：当时间为1分钟时，蚂蚁究竟在哪里，我不知道。第二个潜台词是：你问了一个蠢问题，我拒绝回答。
实无穷论者承认时间可以到达1分钟（否则他就是潜无穷论者），但当时间为1分钟时，蚂蚁究竟在哪里，不知道。所以现代数学对于此类问题是无能为力的，无法准确回答，只能模棱两可，解答也是似是而非。
《相对几何》对于这个实验的解答是：当时间为1分钟时，蚂蚁在距离起点的无穷大点Ｐ点处，而且Ｐ点也并不是所有路程的终点，Ｐ点之前皆为有限数，Ｐ点之后为超限数，而且蚂蚁在到达Ｐ点后，仍然可以根据定义的不同继续往前爬。
所以《相对几何》对于思想实验（二）的解答是：当时间为1分钟时，蚂蚁处于无穷远点Ｐ处。

门外汉

（第28节）用相对几何解答思想实验（三）
首先回顾一下思想实验（三）的具体内容：射线与铁环悖论。
想象一根从地球延伸向宇宙深处的激光射线，从起点A处套着一个会瞬移的铁环。当时间为1/2分钟时，铁环移动到射线的1米处，当时间为3/4分钟时，铁环移动到射线的2米处，当时间为7/8分钟时，铁环移动到射线的3米处，......每过(2ⁿ⁻¹)/2ⁿ分钟，铁环就出现在n米处，那么，当钟表指向1分钟整时，这个铁环在射线的什么位置上？
思想实验（三）与思想实验（二）极为相似，但思想实验（三）更能深刻的揭示出现代数学中存在的难以解决的逻辑矛盾。
首先，潜无穷论者依然会认为时间永远也走不到1分钟，无形之中又落入到芝诺悖论的陷阱里拔不出来，或者潜无穷论者会用“无定义法”拒绝回答问题，即他们认为当时间小于1分钟的任何一个时间节点，铁环在射线上的位置都是有定义的，而当时间为1分钟时，铁环在射线上的位置是无定义的，所以问1分钟时铁环在哪里，是一个没有意义的问题。
实际上就是对此类问题无能为力，无法做答。
而实无穷论者认为时间可以到达1分钟，当时间为1分钟时，铁环移动到射线的无穷远处。但这里却又暴露出更大的逻辑矛盾，因为射线上任何一点都可以与唯一的一个实数相对应，而所有的实数全都是有限的，不存在无穷大的实数，所以当回答说铁环在射线的无穷远处时，则说明铁环已经不在射线之上，它已经滑出了射线之外。
这个在数学上就无法合理解释了，因为在欧氏几何中，射线是无限延长，永无终点的，既然如此，铁环又怎么能滑出射线之外？如果说铁环没有滑出射线之外，但射线上任何一点与端点的距离都是有限的，则铁环不在射线的任何一个点上，说明铁环确实已经滑出了射线之外。
综上所述，现代数学对于此类问题，无论怎么解答，都是自相矛盾，难以自圆其说。
下面用《相对几何》来解答这个问题：
当时间为1分钟时，铁环在射线的无穷远点Ｐ处，Ｐ大于任何一个有限的实数，所以铁环与端点的距离无限远。
但铁环仍然还在射线上，因为Ｐ点并不是射线的终点，射线自无穷远点Ｐ点处依然可以无限延长，所不同的是：小于Ｐ点的所有点是射线的有限部分，而大于Ｐ点的部分是射线的超限部分，所以铁环即便是滑到了无穷远处，也依然还是在射线上，跑不出射线之外。
如此，完美的解开了思想实验（三）的疑惑，并且没有产生任何逻辑矛盾，这就体现出了《相对几何》相比较于以欧氏几何为基础的现代数学而言，具有巨大的优势和无矛盾性。

门外汉

（第29节）相对几何对于思想实验（四）的解释
首先回顾一下思想实验（四）的具体内容：将一条无限长的直线划分为每段1米的无穷多段，将每一段由1米缩短为1/2米，原本以为整条直线的长度也会相应的缩短一半，但执行缩短操作后的直线长度没有任何变化，依然还是无限长，没有变短；将每一段缩短至1/4米、1/8米、1/16米……无论怎么执行缩短操作命令，直线的长度都不会有任何变化，当每段的长度缩短为0时，则整条直线的长度缩短为0，收缩为一个点。
上述操作过程是反直觉的，但请记住一件事情：当你觉得这件事情反直觉时，也许并不是你的直觉错了，可能你的直觉是没错的，直正错的也许是数学本身。
也许数学本身就是暗含逻辑矛盾的，但是数学家找不到矛盾的根源究竟在哪里，所以只会用一句“无限是反直觉的”来掩饰对此类问题的无能为力。
但，也有可能，久而久之之下，数学家可能会真的认为是人类的直觉错了。
下面用相对几何中的论点来解释思想实验（四）的内容。
一条无限长的直线划分为每段1米的无穷多段，当将每一段都缩短为1/2米时，欧氏几何会认为直线的长度不会相应变短，但相对几何会认为直线的长度会相应缩短一半。
这一观点，在相对几何的具体论点中即有体现，相对几何可以证明直线的长度是射线长度的2倍，相对几何也可以证明存在不同长度的直线（射线）。
所以，执行缩短操作命令的直线，尽管依然是无限长的，但它的长度是原线段长度的1/2。
同样的道理，如果将直线的每一段都缩短为1/4米，则缩短后的直线长度为原直线长度的1/4。
这里面有一个技术性的细节问题，那就是：原直线是无限长的，当直线缩短为原直线长度的1/2时，依然是无限长，当缩短为原直线长度的1/4，依然是无限长的……但在这一过程中，直线的长度不能总是无限长的，必然会变为有限长，但是哪一步时直线的长度会变成有限长，并没有一个固定的标准。
这就是前文中所提到的相对几何的一个重要推论：有限与无限是相对的（所以才称为相对几何），有限与无限之间并不存在一个绝对的界限。
这就正如前文所述：北京到广州的距离对于蜗牛来说是无限长的，但对于人类来说是有限长的。
又或者：1公里相对于1微米来说是无限长的，但1公里相对于500公里来说是有限长的。
又或者：原直线是无限长的，缩短为原直线长度的1/2后，它可以说依然是无限长的，但相对于原直线长度来说，它是有限长的。
或者说：原直线长度是无限长的，但是相对于另一条比它更长的直线而言，它是有限长的。
这便是相对几何中“相对性”的原理。
继续上述操作就是:这条直线在不断的“缩短操作命令”下，长度会越来越短，越来越短，最后收缩为0，这一过程是渐进式的。
而对比于欧氏几何对此问题的解释，在“缩短操作命令”下，直线的长度始终保持不变，没有任何变化，只有当所有无穷多段全都缩短为0时，整条直线的长度忽然之间缩短为0，显得极为突兀，这不单是反直觉，简直是匪夷所思，如魔术师施展幻术一般，让人不可思义。
数学不是魔术，更不是幻术，之所以出现这种反常的现象，其根本原因在于数学中暗含的逻辑矛盾。