整系数不定方程的整数解

太阳

已知:\(4ac^2-2a^2c-4ac+4c^2=2ct\)，\(c\ne t\)，\(c=my\)，整数\(a\ne0\)
奇数\(c＞1\)，\(m＞1\)，\(t＞1\)，\(y＞1\)，素数\(p＞1\)
求证:\(t=p\)
已知:\(4ac^2-2a^2c-4ac+4c^2=4ct\)，\(c\ne t\)，\(c=my\)，整数\(a\ne0\)
奇数\(c＞1\)，\(m＞1\)，\(t＞1\)，\(y＞1\)，素数\(p＞1\)
求证:\(t=p\)
命题是错误的，反例如下
a=151，c=77，t=305
a=108，c=77，t=2453

yangchuanju

太阳 发表于 2025-5-12 12:17
已知:\(4ac^2-2a^2c-4ac+4c^2=2ct\)，\(c\ne t\)，\(c=my\)，整数\(a\ne0\)
奇数\(c＞1\)，\(m＞1\)，\(t ...

太阳先生这两天不知被哪个软件忽悠啦，先生被忽悠后立即倒转枪头又用它忽悠别人！
太阳先生今日用来忽悠别人的命题冒是复杂，实则非常简单——
各项都含有参数c，消去一次c后不定方程变成c的一次方程；
各项系数含有公约数2，可约分；
不定方程本身就是t的一次方程。
解出c的表达式（分式）或t的表达式（整式），c或t的表达式中的a可以任意取值，试想c或t能会都是素数吗？

yangchuanju

“求证”、“求证”、还是“求证”，
太阳先生莫再拿这些“求证”忽悠别人！

如先生真心想求证，请自己先证明一番，就像程中战（费尔马1）先生那样，出题后接着给出他的解；而不是“他出题，令别人解题”！

yangchuanju

已知：4ac^2-2a^2*c-4ac+4c^2=2ct，
整数a≠0，奇数c>1，素数t>2，p>0，
求证：c=p
暂且视给定不定方程是一个关于c的二次方程，
(4a+4)*c^2-(2a^2+4a+2t)*c=0
给定不定方程的参数c不等于0，可消去2c有——
2(a+1)*c=(a^2+2a+t)
c=(a^2+2a+t)/(2a+2)

给定3-997之间的167个奇素数t，给定a=1-300之间的300个正整数，
列一个167*300的二维计算表，计算表中共有443个整数c，这些c中既有素数也有合数！

yangchuanju

已知：4ac^2-2a^2*c-4ac+4c^2=2ct，
求证：当c=77时没有整数解
视给定不定方程是一个关于a的二次方程，
-2c*a^2+(4c^2-4c)*a+(4c^2-2ct)=0
a^2-(2c-2)*a-(2c-t)=0
a=(2c-2)/2±[(2c-2)^2+4*(2c-t)]^0.5/2=(c-1)±[(c-1)^2+(2c-t)]^0.5=(c-1)±[c^2+1-t]^0.5
a=(c-1)±[c^2+1-t]^0.5

给定3-977之间的167个奇素数t，给定a=1-300之间的300个正整数，
列两个167*300的二维计算表，计算表中共有480个整数a，这些a中既有素数也有合数！
其中c=77，t=601时有两个整数a——3和149，否定了太阳先生给出的“没有整数解”的结论！

太阳

已知:\(4ac^2-2a^2c-4ac+4c^2=4ct\)，\(t＞c\)，\(t\ne cm\)
整数\(a＞0\)，\(m＞0\)，奇数\(t＞1\)，素数\(c＞2\)，\(p＞0\)
求证:\(t=p\)
注意条件\(c\)取素数，没有找到反例
请教yangchuanju，是否能找到一个反例？

太阳

26楼命题分析，c=t，c是素数，c是合数，命题都是成立的
当c取素数，t≠cm，t有没有可能必定是素数？
26楼命题，yangchuanju，是否能找到一个反例？

yangchuanju

太阳 发表于 2025-5-12 19:51
已知:\(4ac^2-2a^2c-4ac+4c^2=4ct\)，\(t＞c\)，\(t\ne cm\)
整数\(a＞0\)，\(m＞0\)，奇数\(t＞1\)，素数 ...

先生的大作（命题）究竟值几个钱？
说改就改，条件随手加，还“注意条件c取素数”，你干脆规定“t取素数（t≠cm），求证：t是素数”得了！

方程系数42444为什么不变成21222？
c的方次21121为什么不改成10010？

系数小了，次数低了，没法忽悠人了吗？

yangchuanju

已知：4ac^2-2a^2*c-4ac+4c^2=4ct，
整数a≠0，c取素数，t不含因子c，p>0，
求证：t是素数

方程消元并约分
t=(2ac-a^2-2a+2c)/2

给定3-997之间的167个奇素数c，给定a=2-600之间的300个偶数，
列一个167*300的二维计算表，计算表中共有40012个正整数t，10088个负整数t，
几乎所有的正整数t都大于c，这些t中既有素数也有合数！
合数之中不含素因子c的大有人在！(a=2,c=13,t=35);(4,29,133);(2,41,119)……

a        c        t        左        右
2        13        35        1820        1820
4        29        133        15428        15428
2        41        119        19516        19516

yangchuanju

请先生再把命题中的a改为正奇数，1-600之中的300个奇数中没有一个整数解t，这样t就必定是素数啦！
无解即素数公式呀！