孬种搅而06\(\Huge\color{green}{\mathbb{N}\textbf{没有无穷元}}\)

春风晚霞

       现行教科书对\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n\)的定义都是明确自洽的 .如北大周民强《实变函数论》；吉林师大方嘉琳《集合论》；清华大学陈景良《近代分析数学概要》；复旦大学夏道行《实变函数与泛函分析》；…这些教材的定义都是明确一致的 。对于单调递增集列都有\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n=\)\(\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty}a_n\)这种唯一的表达式。特别的对于单增集列：\(A_1=\{1\}\)，\(A_2=\{1，2\}\)，\(A_3=\{1，2，3\}\)，……\(A_k=\{1,2,…k\}\)，……自然也有\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}A_n=\)\(\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n=\)\(\mathbb{N}\)。亦即\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\{1,2,…，n\}\)\(\color{red}{=}\mathbb{N}\) .红色等号表示“=”号两端的集合相等！根据两集合相等的充分必要条件，我们有\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}A_n\)\(\subseteq\mathbb{N}\)且\(\mathbb{N}\subseteq\displaystyle\lim_{n \to \infty}A_n\)。因为\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\{1,2,…n\}=\)\(\{1,2,…\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\}\)，所以\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\mathbb{N}\)。 从而再次证得\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n=\infty\)\(\in\mathbb{N}\)。
       根据上面的分析关注该板块的网友自然知道，究竟是哪个孬种不敢面对\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)的问题！

春风晚霞

elim，\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)的定义无需我再给出，任何一本《实变函数论》教科书中均有它的定义！也容不得你对这个定义作胡乱的注解！\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\)\(\{0，1，…，\)\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\}\)\(=\mathbb{N}\)有什么错？elim不能正确理无穷大与最大的区别。请elim明示你在哪家数学理论中发现有“无穷大就最大”的提法？在你证明【无穷交就是一种骤变】的“底层逻辑”中，不也给出了\(\{1，2，…，\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\}\)\(=\mathbb{N}\)吗？不管根据皮亚诺公理、康托尔实整数生成法则还是冯\(\cdot\)诺依曼自然数生成法都有\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}(n-j)=\)\(\infty\)(j是有限自然数)，若\(\mathbb{N}\)不含这些无穷元，还能说\(\mathbb{N}\)中的自然数有无穷多个吗？elim你自以为很得意的“底层逻辑”其实就是产生各种“臭便”的工具！至于\(\aleph_0=\)\(\aleph_0+250\)这是elim对康托尔“数\(\nu\)\((\nu=\displaystyle\lim_{n \to \infty}n)\)既表示把一个个单位放上去的确切计数，又表示它们汇集成的整体”的诋毁！学过《实变函数论》的网友都知道：\(\aleph_0\)是以可列集为单位的元素个数的计数（或可列集的势）！试问elim，你的\(\aleph_0=\aleph_0\)\(+250\)是个什么玩意？elim历来双标，你主张的观点由你说出来是正确的，由他人说岀来则是错误的。即便是对你认可的知识如\(\mathbb{N}=\)\(\displaystyle\bigcap_{n=1}^{\infty} n=\)\(\{1，2，…\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\}\)(参见elim关于【无穷交就是一种骤变】的各论证帖子）你都要运用你的“底层逻辑”去使之成为“臭便”！是此翻手云覆手雨的耍赖行为，蒙骗初学者或未学者或许有效。对于能够思考的数学人是行骗是没有可能力的！最后特列指出冯\(\cdot\)自然数生成法则中的\(n=\{0,1,…,(n-1)\}\)讲的自然数n是集合\(\{0,1,…,(n-1)\}\)中元素的个数！或者说n是集合\(\{0,1,…,(n-1)\}\)的后继，并非是说【自然数皆有限数】！其实，论正【\(\mathbb{N}\)中没有无穷元】的“底层逻辑”就是\(\mathbb{N}\)的元素只有有限多个！你的“底层逻辑”是如何化解\(\mathbb{N}\)中的元素个数既是无限又是有限这一矛盾的？

春风晚霞

       现行教科书对\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n\)的定义都是明确自洽的，无论是数列限\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n=a\)；还是数项级数和\(s= \displaystyle\lim_{n \to \infty}S_n=\) \(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\) \(\displaystyle\sum_{k=1}^n  u_n\)；或者单调集列极限集的定义中的\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}A_n=\) \(\displaystyle\bigcap_{n=1}^{ \infty}A_n\)或\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}A_n=\)\(\displaystyle\bigcap_{n=1}^{ \infty}A_n\)无不暗含或明示\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n=\infty\in\mathbb{N}\)！表达式\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n=\infty\)中的\(\infty\)或被解读成“非正常实数”（参见华东师大《数学分析》上册P65页或被解读成“为论述方便和统一，允许函数取值\( \pm\infty\)”(参见周民强《实变函数论》P121页第13行)。所以无论是在分析数学还是在《集合论》中，或测度论中表达式\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n=\infty\)都是合法的。尤其在皮亚诺自然数理论中，自然数n的基数和序数是一致的。所以\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)就是序号为\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)且取值也是\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)的那个确定的自然数。如果说分析数学中的\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n\)只是暗含\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)是自然数的话（否则表示\(\{a_n\}\)的项数的数n\(n\to\infty\)也就没有任何数学意义！）那么《集合论》或自然数理论中的\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)就是明示\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)是自然数了！
       为反对\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)是自然数（即\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\infty\)，elim提出如下“歪理”：
       ①、【因无穷操作无法用有限操作定义, 用无穷操作定义极限必导致无穷递归, 循环定义.一般地说,  极限的定义本质上不能是构造、计算性的, 只能是非构造、分析性。】
       用有限操作定义无限操作这是现代数学（或称现行数学）最基本的操作。如求数项级数的和的操作，我们总是先求数项级数的前n项和：\(S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n\)，再根据极限理论，用有限操作定义无限操作\(s=u_1+u_2+u_3+…+u_k+…\)\(=\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle\sum_{k=1}^n\)；又如在求无穷递减集列的极限集的无限操作过程中，我们总是先求有限递减集列的有限集\(\displaystyle\bigcap_{n=1}^{\infty}a_n\)，再用有限操作的定义无限操作\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n=\)\(\displaystyle\bigcap_{n=1}{\infty}a_n\)的；再如在皮亚诺自然数理论中，我们也是先用有限操作定义确定的有限自然数k的后继k+1是自然数，再根据有限操作定义无限自然数\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n=\)\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}（n-1）+1\)的；注意在皮亚诺公理中用有限操作定义无限操作的逻辑根据是皮亚诺公理的第二条“每个\(\color{red}{确定的自然a都有一个确定的后新a’=a+1,,a’也是自然数}\)的。春风晚霞的逆用皮亚诺公理：因为\(v=\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\notin\mathbb{N}\)，所以\((v-1)\notin\mathbb{N}\)(否则v\in\mathbb{N}，Peano axiom第二条)并非用无限操作定义无限操作，故elim把逆用皮亚诺公理说成是【用无穷操作定义极限必导致无穷递归, 循环定义】是故意装疯卖傻。
       ②【冯努依曼自然数构造，每个自然数皆为\(\mathbb{N}\)的子集, 若\(\mathbb{N}\)是自然数, 则其后继\(U\)也是自然数. 于是得矛盾\(\mathbb{N} \subsetneq U=\mathbb{N}\)】
       elim的这段陈述是对冯\(\cdot\)诺依曼自然数定义屈解：冯\(\cdot\)诺依曼自然数定义中的\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)\(=\{0,1,2,…(\displaystyle\lim_{n\to\infty}n-1)\}\)的“=”两端要么同时是数，要么同时是集合。“=”左边的“数”（或集合）是右边的“数”（或集合）的后继。若两两同时为“数”，则表明无穷自然数\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)是无穷自然数\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n=1\)的后继，若两边同时为集合，则表示\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n=\)\(\displaystyle\bigcup_{n=0}^{\infty}n\)是集合\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n-1=\)\(\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty}（n-1）\)的后继！故此elim的【每个自然数皆为\(\mathbb{N}\)的子集】是对冯(\cdot\)诺依曼的亵渎。而\(\mathbb{N} \subsetneq U=\mathbb{N}\)或\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n=\)\(\mathbb{N}=\)\(sup\mathbb[n]\)\(\notin\mathbb{N}\)便是亵渎冯(\cdot\)诺依曼自然数定义造成的恶果！
       ③、因为【\(\mathbb{N}\)没有最大元】，所以【\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\notin\mathbb{N}\)!】
       很明显elim的这段陈述是错误的。其“底层逻辑”的错误在于根本混淆无穷大与最大的区别。一般地讲\(\infty\)满足\(\infty=\infty\pm j\)这一性质，而“最大”没有这一性质！所以，所以用【\(\mathbb{N}\)没有最大元】来论证\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\notin\mathbb{N}\)的“底层逻辑”确实是“混帐逻辑！
       总之elim回避明确定义 lim n.，不敢面对 lim n 的问题的事例还多，其混帐的“底层逻辑”是他歪解\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n\)的底气。产生的各种“臭便”是其“底层逻辑”造成的恶果！

春风晚霞

       现行教科书对\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n\)的定义都是明确自洽的，无论是数列限\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n=a\)；还是数项级数和\(s= \displaystyle\lim_{n \to \infty}S_n=\) \(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\) \(\displaystyle\sum_{k=1}^n  u_n\)；或者单调集列极限集的定义中的\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}A_n=\) \(\displaystyle\bigcap_{n=1}^{ \infty}A_n\)或\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}A_n=\)\(\displaystyle\bigcup_{n=1}^{ \infty}A_n\)无不暗含或明示\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n=\infty\in\mathbb{N}\)！表达式\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n=\infty\)中的\(\infty\)或被解读成“非正常实数”（参见华东师大《数学分析》上册P65页或被解读成“为论述方便和统一，允许函数取值\( \pm\infty\)”(参见周民强《实变函数论》P121页第13行)。所以无论是在分析数学还是在《集合论》中，或测度论中表达式\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n=\infty\)都是合法的。尤其在皮亚诺自然数理论中，自然数n的基数和序数是一致的。所以\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)就是序号为\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)且取值也是\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)的那个确定的自然数。如果说分析数学中的\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n\)只是暗含\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)是自然数的话（否则表示\(\{a_n\}\)的项数的数\(n\to\infty\)也就没有任何数学意义！）那么《集合论》或自然数理论中的\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)就是明示\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)是自然数了！
       为反对\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)是自然数（即\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\mathbb{N})\)，elim提出如下“歪理”：
       ①、【因无穷操作无法用有限操作定义, 用无穷操作定义极限必导致无穷递归, 循环定义.一般地说,  极限的定义本质上不能是构造、计算性的, 只能是非构造、分析性。】
       用有限操作定义无限操作这是现代数学（或称现行数学）最基本的操作。如求数项级数的和的操作，我们总是先求数项级数的前n项和：\(S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n u_k\)，再根据极限理论，用有限操作来定义无限操作\(s=u_1+u_2+u_3+…+u_k+…\)\(=\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle\sum_{k=1}^n u_k\)；又如在求无穷递减集列的极限集的无限操作过程中，我们总是先求有限递减集列的有限集\(\displaystyle\bigcap_{k=1}^n a_k\)，再用有限操作的定义无限操作\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n=\)\(\displaystyle\bigcap_{n=1}^{\infty}a_n\)的；再如在皮亚诺自然数理论中，我们也是先用有限操作定义确定的有限自然数k的后继k+1是自然数，再根据有限操作定义无限自然数\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n=\)\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}(n-1)+1\)的；注意在皮亚诺公理中用有限操作定义无限操作的逻辑根据是皮亚诺公理的第二条“每个\(\color{red}{确定的自然a都有一个确定的后继a’=a+1,}\)\(\color{red}{a’也是自然数}\)。春风晚霞逆用皮亚诺公理：因为\(v=\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\notin\mathbb{N}\)(已知)，所以\((v-1)\notin\mathbb{N}\)(否则\(v\in\mathbb{N}\)，Peano axiom第二条)并非用无限操作定义无限操作。故elim把逆用皮亚诺公理说成是【用无穷操作定义极限必导致无穷递归, 循环定义】是故意装疯卖傻。你不知如何从\(v-3到k+1\)的爱徒倒是有可能没有弄懂(或根本不知道)皮亚诺公理！
       ②【冯\(\cdot\)依曼自然数构造，每个自然数皆为\(\mathbb{N}\)的子集, 若\(\mathbb{N}\)是自然数, 则其后继\(U\)也是自然数. 于是得矛盾\(\mathbb{N} \subsetneq U=\mathbb{N}\)】
       elim的这段陈述是对冯\(\cdot\)诺依曼自然数定义屈解：冯\(\cdot\)诺依曼自然数定义中的\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)\(=\{0,1,2,…(\displaystyle\lim_{n\to\infty}n-1)\}\)的“=”两端要么同时是数，要么同时是集合。“=”左边的“数”（或集合）是右边的“数”（或集合）的后继。若两边同时为“数”，则表明无穷自然数\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)是无穷自然数\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n=1\)的后继，若两边同时为集合，则表示\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n=\)\(\displaystyle\bigcup_{n=0}^{\infty}n\)是集合\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}(n-1)=\)\(\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty}\{n-1\}\)的后继！故此elim的【每个自然数皆为\(\mathbb{N}\)的子集】是对冯\(\cdot\)诺依曼的亵渎。而\(\mathbb{N} \subsetneq U=\mathbb{N}\)或\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n=\)\(\mathbb{N}=\)\(sup\mathbb{N}\)\(\notin\mathbb{N}\)便是亵渎冯\(\cdot\)诺依曼自然数定义造成的恶果！
       ③、因为【\(\mathbb{N}\)没有最大元】，所以【\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\notin\mathbb{N}\)!】
       很明显elim的这段陈述是错误的。其“底层逻辑”的错误在于根本混淆无穷大与最大的区别。一般地讲\(\infty\)满足\(\infty=\infty\pm j\)这一性质，而“最大”没有“最大=最大\(\pm j\)这一性质！所以，所以用【\(\mathbb{N}\)没有最大元】来论证\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\notin\mathbb{N}\)的“底层逻辑”确实是“混帐逻辑”！
       总之elim回避明确定义 lim n，不敢面对 lim n 的问题的事例还多，其混帐的“底层逻辑”是他歪解\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n\)的底气。产生的各种“臭便”是其“底层逻辑”造成的恶果！行文至此关注该话题的网友自然知道，究竟是哪个孬种不敢面对\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)的问题了！

春风晚霞

       因为我们多次证明\(v=\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)是一个确定的自然数，所以\(v\)的前趋\((v-1)\)和后继\((v+1)\)都是自然数(皮亚诺公理第二条)。另一方面如果仅从取值看\((v-1)=\)\(\infty-1=\infty\)，\((v+1)=\infty+1=\infty\).所以\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n=\infty=\infty\pm 1\)。同理我们还可证得\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n=\infty=\infty\pm j\)(j为有限自然数）！
       elim先生认为\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)反皮亚诺公理，这是故意装疯卖傻。我相信elim先生还是读得懂“每个确定的自然数\(a\)，都有确定的后继\(a＇\)，\(a＇\)也是自然数！所以\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)\(=\infty=\infty\pm 1\)并不反皮亚诺公理，真正反皮亚诺公理的是elim先生的“底层逻辑”！

春风晚霞

       因为\(v=\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\mathbb{N}\)(否则\(\mathbb{N}=\phi\))！所以\(v\)是一个确定的自然数，所以\(v\)的前趋\((v-1)\)和\(v\)的后继\((v+1)\)也是自然数(皮亚诺公理第二条)。另一方面如果\(\color{red}{仅从取值看}\)\((v-1)=\)\(\infty-1=\infty\)，\((v+1)\)\(=\infty+1=\infty\).所以\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n=\infty=\infty\pm 1\)并不违反皮亚诺公理！根据皮亚诺公理我们还可从\(\color{red}{取值上}\)证得\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)\(=\infty=\infty\pm j\)(j为有限自然数）！
       elim先生认为\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)反皮亚诺公理，这是故意装疯卖傻。我相信elim先生还是读得懂〖每个\(\color{red}{确定}\)的自然数\(a\)，都有\(\color{red}{确定}\)的后继\(a＇\)，\(a＇\)也是自然数〗的！
       然而\(\color{red}{从序数}\)的角度看\(v-1\)、\(v\)、\(v+1\)又是三个不同的\(\infty\)。皮亚诺公理是从基数和序数的一致性来陈述自然数的。elim先生割裂自然数基数和序数的一致性认为【\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)\(=\infty=\infty\pm 1\)反皮亚诺公理】是极其错误的。其实，真正反皮亚诺公理的是elim先生你自己！

春风晚霞

命题：若\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\notin\mathbb{N}\)，则\(\mathbb{N}=\phi\)

【证明:】
\begin{split}
&\because\quad v=\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\notin\mathbb{N}\quad(已知) \\
&\therefore\quad (v-1)\notin\mathbb{N}\quad(否则v\in\mathbb{N}，Peano axiom第二条)\\
&\therefore\quad (v-2)\notin\mathbb{N}\quad(否则(v-1)\in\mathbb{N}，Peano axioms第二条)\\
&\therefore\quad (v-3)\notin\mathbb{N}\quad(否则(v-2)\in\mathbb{N}，Peano axioms第二条)\\
&\quad\quad\vdots\quad\quad\quad\quad\vdots \\
&\therefore\quad (k+1)\notin\mathbb{N}\quad(否则(k+2)\in\mathbb{N}，Peano axioms第二条)\\
&\therefore\quad k\notin\mathbb{N}\quad(否则(k+1)\in\mathbb{N}，Peano axioms第二条)\\
&\quad\quad\vdots\quad\quad\quad \quad\vdots \\
&\therefore\quad 2\notin\mathbb{N}\quad(否则3\in\mathbb{N}，Peano axioms第二条)\\
&\therefore\quad 1\notin\mathbb{N}\quad(否则2\in\mathbb{N}，Peano axioms第二条)\\
&\therefore\quad 0\notin\mathbb{N}\quad(否则1\in\mathbb{N，}Peano axioms第二条)\\
&\therefore\quad \mathbb{N}=\phi\quad(因任意自然数都不属于\mathbb{N})
\end{split}
【证毕】
         因为在自然数理论中，\(v\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)是一个确切的数，所以\(v减有限数k\)也是确切的数。因此有限数k是\(v\)的\(v-k\)代前趋，即\(v-(v-k)=k\)！

春风晚霞

       因为\(v=\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\mathbb{N}\)(否则\(\mathbb{N}=\phi\))！所以\(v\)是一个确定的自然数，所以\(v\)的前趋\((v-1)\)和\(v\)的后继\((v+1)\)也是自然数(皮亚诺公理第二条)。另一方面如果\(\color{red}{仅从取值看}\)\((v-1)=\)\(\infty-1=\infty\)，\((v+1)\)\(=\infty+1=\infty\).所以\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n=\infty=\infty\pm 1\)并不违反皮亚诺公理！根据皮亚诺公理我们还可从\(\color{red}{取值上}\)证得\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)\(=\infty=\infty\pm j\)(j为有限自然数）！
       elim先生认为\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)反皮亚诺公理，这是故意装疯卖傻。我相信elim先生还是读得懂〖每个\(\color{red}{确定}\)的自然数\(a\)，都有\(\color{red}{确定}\)的后继\(a＇\)，\(a＇\)也是自然数〗的！
       然而\(\color{red}{从序数}\)的角度看\(v-1\)、\(v\)、\(v+1\)又是三个不同的\(\infty\)。皮亚诺公理是从基数和序数的一致性来陈述自然数的。elim先生割裂自然数基数和序数的一致性，认为【\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)\(=\infty=\infty\pm 1\)反皮亚诺公理】是极其错误的。其实，真正反皮亚诺公理的是elim先生你自己！

春风晚霞

elim 发表于 2025-5-27 16:57
孬种被迫承认教科书 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}n=\infty=\infty\pm 1\)
即\(\color{red}{\displ ...

       因为\(v=\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\mathbb{N}\)(否则\(\mathbb{N}=\phi\))！所以\(v\)是一个确定的自然数，所以\(v\)的前趋\((v-1)\)和\(v\)的后继\((v+1)\)也是自然数(皮亚诺公理第二条)。另一方面如果\(\color{red}{仅从取值看}\)\((v-1)=\)\(\infty-1=\infty\)，\((v+1)\)\(=\infty+1=\infty\).所以\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n=\infty=\infty\pm 1\)并不违反皮亚诺公理！根据皮亚诺公理我们还可从\(\color{red}{取值上}\)证得\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)\(=\infty=\infty\pm j\)(j为有限自然数）！
       elim先生认为\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)反皮亚诺公理，这是故意装疯卖傻。我相信elim先生还是读得懂〖每个\(\color{red}{确定}\)的自然数\(a\)，都有\(\color{red}{确定}\)的后继\(a＇\)，\(a＇\)也是自然数〗的！
       然而\(\color{red}{从序数}\)的角度看\(v-1\)、\(v\)、\(v+1\)又是三个不同的\(\infty\)。皮亚诺公理是从基数和序数的一致性来陈述自然数的。elim先生割裂自然数基数和序数的一致性，认为【\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)\(=\infty=\infty\pm 1\)反皮亚诺公理】是极其错误的。其实，真正反皮亚诺公理的是elim先生你自己！

elim

春风晚霞 发表于 2025-5-24 16:36
elim，\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)的定义无需我再给出，任何一本《实变函数论》教科书中均有它 ...

孬种被迫承认教科书 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}n=\infty=\infty\pm 1\)
即\(\color{red}{\displaystyle\lim_{n\to\infty}n}\) 前趋=后继反皮亚诺, 它不是自然数．
以上区区二行驱使孬种重返臭长反数学驴滚:
蠢疯白痴真身被坐实，孬种船漏不打一处来