\(\huge^\star\;[0,1]\textbf{不可数的几种证明}\)

春风晚霞

        elim根本不知道什么是无穷？什么是趋向无穷？什么是无穷数？什么是超穷数？就根本不知道\(v=\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)、ω、\(\aleph_0\)、\(\aleph\)各自的定义以及它们与∞的区别与联系！你根本不知道单调集列极限集的定义的的自洽性(即与交并运算规律的兼容性)！你根本不知道你的“臭便”之法挂一漏万的荒谬性。你根本就不知道纯粹数学的对与错！像你这样连无穷数都不认可的民科领袖，还有谁能奢望你正确解读集合论和自然数理论呢？\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\mathbb{N}\)、\(\mathbb{N}_∞≠\phi\)这是数学界的共识.两年来你反对的不是春风晚霞，你反对的是威尔斯特拉斯的极限定义；你反对的是康托尔非负整数理论；你反对的皮亚诺公理体系；你反对的是单调极列集限集定义；……像你这样什么都反对的民科领袖，还好意思把被批烂批臭的宿帖、观点拿出来显摆，真是“人不要脸，所向无敌”哟！

春风晚霞

        elim根本不知道什么是无穷？什么是趋向无穷？什么是无穷数？什么是超穷数？就根本不知道\(v=\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)、ω、\(\aleph_0\)、\(\aleph\)各自的定义以及它们与∞的区别与联系！你根本不知道单调集列极限集的定义的的自洽性(即与交并运算规律的兼容性)！你根本不知道你的“臭便”之法挂一漏万的荒谬性。你根本就不知道纯粹数学的对与错！像你这样连无穷数都不认可的民科领袖，还有谁能奢望你正确解读集合论和自然数理论呢？\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\mathbb{N}\)、\(\mathbb{N}_∞≠\phi\)这是数学界的共识.两年来你反对的不是春风晚霞，你反对的是威尔斯特拉斯的极限定义；你反对的是康托尔非负整数理论；你反对的皮亚诺公理体系；你反对的是单调极列集限集定义；……像你这样什么都反对的民科领袖，还好意思把被批烂批臭的宿帖、观点拿出来显摆，真是“人不要脸，所向无敌”哟！

elim

吃狗屎活活吃傻的蠢可达是集论白痴:
孬种满地打滚见数学便反,丧心病狂！

【证法一】康托幂集定理加论证 \([0,1]\), \(\mathscr{P}(\mathbb{N})\) 对等：

令 \(\mathscr{L}(\mathbb{N}_+)=\{A\in\{B,B^c\}:\;B\subset\mathbb{N}_+,\;0< |B|\in\mathbb{N}_+\}\)
易见(\(\mathbb{N}_+\)的有限子集及其补集全体) \(\mathscr{L}(\mathbb{N_+})\) 可数.
\(\bigg(A\mapsto \displaystyle\sum_{n\in\mathbb{N}_+}2^n\chi_A(n) \) 是\(\mathbb{N}_+\)的有限子集到\(\mathbb{N}\) 的单射.\(\bigg)\)
令 \(C_0 =  \displaystyle\{{\small\sum_{k=1}^\infty\frac{\chi_A(k)}{2^k}}\mid A\in\mathscr{L}(\mathbb{N}_+)\},\;C=[0,1)-C_0\)
\(\quad\)对 \(\alpha\in C,\;\;a_k=\lfloor 2^k\alpha\rfloor -2\lfloor 2^{k-1}\alpha\rfloor,\;(k=1,2,3,\ldots)\),
\(\quad\)因 \(2^{n-1}\alpha-\lfloor 2^{n-1}\alpha\rfloor< 1,\;\lfloor 2^k\alpha\rfloor -2\lfloor 2^{k-1}\alpha\rfloor\in\{0,1\}\)
\(\therefore\quad\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{a_n}{2^{n}}=\lim_{m\to\infty}\sum_{n=1}^m\big(\frac{\lfloor 2^n\alpha\rfloor}{2^n}-\frac{\lfloor 2^{n-1}\alpha\rfloor}{2^{n-1}}\big)\)
\(\qquad\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\frac{\lfloor 2^n\alpha\rfloor}{2^n} =\lim_{n\to\infty}\frac{2^n\alpha-(2^n\alpha-\lfloor 2^n\alpha\rfloor) }{2^n} = \alpha\)
\(\therefore\quad \alpha\in C\) 与
\(A=\{n\in\mathbb{N}_+:\;\lfloor 2^n\alpha\rfloor -2\lfloor 2^{n-1}\alpha\rfloor = 1\}\in\small\mathscr{P}(\mathbb{N}_+)-\mathscr{L}(\mathbb{N}_+)\)
\(\qquad\)的关系是1-1对应.  故\(|\mathbb{R}|=|C|=|\mathscr{P}(\mathbb{N})-\mathscr{L}(\mathbb{N}_+)|=|\mathscr{P}(\mathbb{N})|=2^{\aleph_0}>\aleph_0\)

【证法二】(反证法) 设序列\(\{a_n\}\)是\(\mathbb{N}_+\)与\([0,1]\)的一一对应.
\(\qquad\)引入映射\(\quad\rho([a,b],\xi)=\begin{cases}[a,\frac{2a+b}{3}],& \xi>\frac{2a+b}{3}\\ [\frac{2a+b}{3},\frac{a+2b}{3}], & \xi >\frac{a+2b}{3}\\ [\frac{a+2b}{3},b] & \xi\le\frac{a+2b}{3}\end{cases}\)

令\(I_0=[0,1],I_1=\rho(I_0,a_1),\ldots,I_n=\rho(I_{n-1},a_n),\ldots.\) 易见
\((1)\;I_{k+1}\subset I_k,\;(2)\;a_k\not\in I_k,\;(3)\; \max(I_k)-\min(I_k)\to 0\)
据区间套定理, \(E=\bigcap\{I_n\mid n\in\mathbb{N}_+\}\ne\varnothing\). 但据\(\{I_n\}\)的定义,
\(a_n\not\in E\,(\forall n\in\mathbb{N}_+)\) 必有\(E=\varnothing\). 这个矛盾证明所论一一对应
不存在. 即\([0,1]\)不可数.

春风晚霞

     对于〖试问elim，\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)与\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}2n\)谁大？！\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)与\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}10^n\)谁大？！由单增集列\(\{A_n=\{m|m\le n\in\mathbb{N}\}\)，得\(\mathbb{N}=\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n=\)\(\{1，2，3，…，\)\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}（n-1)\)，\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\}\)\(\implies\)\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\)\(\mathbb{N}\)\(\color{red}{错在哪里}?\)\(\color{red}{为什么是错的}?\)若elim说不出个子午卯酉，elim就是反数学，就是畜牲不如!〗
        elim对上面问题作出了如下回答：
     【 \(\{2n\}\)、\(\{10^n\}\)等都是自然数列\(\{n\}\)的子列.它们的极限都是\(Sup\mathbb{N}\)即分析中的\(+\infty\)..定义\(A_n=\{m|n<m\in\mathbb{N}\}\)\((n\in\mathbb{N})\)，则\(\mathbb{N}= \displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\ne\)\(\{1,2,3,…\)\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\}\)因为无穷大\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)不是有限集的基数\((\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\notin A_k\)\((\forall k\in\mathbb{N}))\)】
        然而，这个回答elim仍没有说出个子午卯酉,首先\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}2n\)、\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}10^n\)和\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)是可以比较大小的。因为\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\tfrac{2n}{n}=2\), \(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\tfrac{10^n}{n}=\infty\),所以\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}2n\)和\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)是同阶无穷大，\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}10^n\)是\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)的高阶无穷大！elim对无穷大的认知还停留在3000多年印度人的对无穷大认知的程度上。所以你无法理解\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}(n-1)\)、\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)、\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}(n+1)\)是三个不同的自然数。当然你也就不明白你错没错，错在哪里了。
        其次elim的【因为无穷大\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)不是有限集的基数\((\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\notin A_k\)\((\forall k\in\mathbb{N}))\)】的说法是错误的。有限集的基数是可以生成\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)的，具体生成过程可参看余希元等著《初等代数研究》P4页定义1：有限集的基数叫做自然数；也可参看张峰陶然著《集合论基础教程》P83页冯\(\cdot\)诺依曼自然数生成法的解读。余希元、张峰他们研究的自然数体系都是由\(\phi\)这个特殊的有限集生成的。康托尔的幂集定理（即连续统假设）不也说明由基数为\(\aleph_0\)生成的自然数有\(2^{\aleph_0}\)个吗？elim,周民强《实变函数论》定义1.8与1.9是自洽的，你由周民强《实变函数论》定义1.8得不到\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\mathbb{N}\)只能说明你没有弄懂〖有限集的基数是自然数〗的真正含意！所以你虽然作出了牵强的解释，但你仍没有说出个子午卯酉，所以你仍是畜生不如！