\(C_{ai}\)问题之\(AI\)证明

蔡家雄

定义：孪生素数(p, p+2)的中项(p+1)，叫：孪中数。

孪中比猜想：正有理数Q 均可表为两个孪中数之比。

https://www.doubao.com/thread/wa34a5748077d74f1

蔡家雄

定义：若 15k±2 和 15k±4 是 四生素数，则称 15k 为 双中数。

奇数双中比猜想：一奇数均可表为两个双中数之比。

3 = 83226465 /27742155,
5 = 335769525 /67153905,
7 = 105 /15,
9 = 163690065 /18187785,
11 = 167563935 /15233085,

蔡氏8生素数猜想：设 (2n+1) 为任一奇数，

8生素数 p, p+2, p+6, p+8, (2n+1)p+8n, (2n+1)p+8n+2, (2n+1)p+8n+6, (2n+1)p+8n+8 均有解。

奇数双中比猜想与此蔡氏8生素数猜想是等价命题。

https://www.doubao.com/thread/w812c00cf21f75f53

蔡家雄

求证：(8r+3)*(8t+3)=u^2+v^2+w^2，均可表为三个非零平方数之和。

https://www.doubao.com/thread/w544855a85ec4ac93

蔡家雄

蔡氏原根问题及其证明

设 k , r 为非负整数，

若 30k+7 与 (30k+7)^(4r+1)*4+1 都是素数，

则 2, 3, 10, 15 是素数 (30k+7)^(4r+1)*4+1 的原根。

https://www.doubao.com/thread/w1f93c8a7840fc47e

蔡家雄

蔡氏偶数分拆

设 2n >=64，且 p1, p2=2n -p1, p3=2n -p1 -30 , p4=p1+30 都是素数，

则 2n -30=p1+p3 , 2n=p1+p2=p3+p4 , 2n+30=p2+p4 至少有一组素数(p1, p2, p3, p4)解。

https://www.doubao.com/thread/w9d82dc9b89b2f8a6

蔡家雄

蔡氏原根问题及其证明

若 3^(2n)+2^(2n+1) 是素数，

则 5, 10 是素数 3^(2n)+2^(2n+1) 的原根。

https://www.doubao.com/thread/we9ed498d059bc77f

蔡家雄

模 173 的平方剩余奇质数 p= 13, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 67, 73, 83, 89, 109, 113,

及连续的 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167 .

蔡家雄

公式化的广义原根及其证明

设 d, k 为非负整数，

设 g1= 2^(2d+1)， g2= 3^(2d+1)， g3= 5*3^(2d)，

设 g4= 6*g1 或 6*g2 或 6*g3，g5= 10*g1 或 10*g2 或 10*g3，

设 P >= 5，
设 P 和 4P+1 都是素数，

若 4P+1  ≡ 13 或 37 （mod  40），

且 g^4  ≠  1  （mod  (4P+1)） ，

则 g1, g2, g3, g4, g5 是 4P+1 的广义原根。

https://www.doubao.com/thread/wc6cca11211a27e98

蔡家雄

公式化的广义原根及其证明

设 d, k 为非负整数，

设 g1= 2^(2d+1)=2, 8, 32, 128, 512, ...

设 g2= 3^(2d+1)=3, 27, 243, 2187, .....

设 g3= 5*g1=10, 40, 160,, 640, 2560, ...

设 g4= 5*g2=15, 135, 1215, 10935, ......

若 30k+7 和 120k+29 同为素数，

且 g^4  ≠ 1 （mod  (120k+29)） ，

则 g1, g2, g3, g4 都是 120k+29 的广义原根。

https://www.doubao.com/thread/w6ecf6ceb62b9f9ae

蔡家雄

公式化的广义原根及其证明

设 d, k 为非负整数，

设 g1= 3^(2d+1)=3, 27, 243, 2187, ......

设 g2= 5^(2d+1)=5, 125, 3125, 78125, ......

设 g3= 3*2^d= 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384, ......   

设 g4= 5*2^d= 10, 20, 40, 80, 160, 320, 640, ......

设 n>=3,  P>= 5，

设 P 和 (2^n)*P+1 都是素数，

若 (2^n)*P+1  ≡ 17 或 33（ mod  40），

且 g^(2^n)  ≠  1 （ mod  ((2^n)*P+1)） ，

则 g1, g2, g3, g4  是 (2^n)*P+1 的广义原根。

https://www.doubao.com/thread/w0c5132500e6c8daa