[原创]素数个数的公式和第m个素数出现的范围的探索

ysr

没时间去图书馆,但通过其他朋友数据看,9616可能不对,公式x/(lnx*a)+2x^(1/2)/lnx,在x>=100000时,成了上限公式,题目不对了改了,常数a是变量要改,是随x的增大而增大的,就竟如何增大,是波动还是等比递增?待研究,感谢朋友批评指正!
欢迎探讨!

ysr

感谢doudou1先生送给我1个10万内的素数表！感谢朋友们纠正了我的错误！此公式只在10万内有效，是下限，10万以上成了上限且离实际远，没用！  

ysr

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感谢doudou1先生送给我1个10万内的素数表！感谢朋友们纠正了我的错误！此公式只在10万内有效，是下限，10万以上成了上限且离实际远，没用！  

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[这个贴子最后由ysr在 2011/11/11 01:48pm 第 4 次编辑]

第M个素数的估算公式调整如下:f=m*(lnm+1)+2*(m*(lnm+1))^(1/2),出现范围为f+-2f^(1/2),象老3的2哥必是老2一样,只要找到准确的素数个数公式,2者结合就会准确找到第M个素数,较接近实际的x内的素数个数公式下限调整为:m=x/lnx+2*x^(1/2)/lnx,以下为公式数据:
序号    x        公式值

1
10000
1107

2
20000
2048

3
30000
2943

4
40000
3812

5
50000
4662

6
60000
5498

7
70000
6321

8
80000
7136

9
90000
7942

10
100000
8740

11
110000
9533

12
120000
10319

13
130000
11101

14
140000
11878

15
150000
12650

16
160000
13419

17
170000
14183

18
180000
14945

19
190000
15703

20
200000
16458

21
210000
17210

22
220000
17960

23
230000
18707

24
240000
19452

25
250000
20194

26
260000
20934

27
270000
21672

28
280000
22408

29
290000
23142

30
300000
23874

31
310000
24604

32
320000
25333

33
330000
26060

34
340000
26786

35
350000
27509

36
360000
28232

37
370000
28953

38
380000
29672

39
390000
30390

40
400000
31107

41
410000
31823

42
420000
32537

43
430000
33250

44
440000
33962

45
450000
34673

46
460000
35382

47
470000
36091

48
480000
36798

49
490000
37505

50
500000
38210

51
510000
38915

52
520000
39618

53
530000
40320

54
540000
41022

55
550000
41723

56
560000
42422

57
570000
43121

58
580000
43819

59
590000
44516

60
600000
45213

61
610000
45908

62
620000
46603

63
630000
47297

64
640000
47990

65
650000
48683

66
660000
49375

67
670000
50066

68
680000
50756

69
690000
51445

70
700000
52134

71
710000
52822

72
720000
53510

73
730000
54197

74
740000
54883

75
750000
55569

76
760000
56254

77
770000
56938

78
780000
57622

79
790000
58305

80
800000
58988

81
810000
59670

82
820000
60351

83
830000
61032

84
840000
61712

85
850000
62392

86
860000
63071

87
870000
63750

88
880000
64428

89
890000
65106

90
900000
65783

91
910000
66459

92
920000
67135

93
930000
67811

94
940000
68486

95
950000
69161

96
960000
69835

97
970000
70508

98
980000
71182

99
990000
71854

100
1000000
72527

101
1010000
73199

102
1020000
73870

103
1030000
74541

104
1040000
75211

105
1050000
75881

106
1060000
76551

107
1070000
77220

108
1080000
77889

109
1090000
78557

110
1100000
79225

111
1110000
79893

112
1120000
80560

113
1130000
81227

114
1140000
81893

115
1150000
82559

116
1160000
83225

117
1170000
83890

118
1180000
84555

119
1190000
85219

120
1200000
85884

121
1210000
86547

122
1220000
87211

123
1230000
87874

124
1240000
88536

125
1250000
89199

126
1260000
89861

127
1270000
90522

128
1280000
91183

129
1290000
91844

130
1300000
92505

131
1310000
93165

132
1320000
93825

133
1330000
94485

134
1340000
95144

135
1350000
95803

136
1360000
96462

137
1370000
97120

138
1380000
97778

139
1390000
98435

140
1400000
99093

141
1410000
99750

142
1420000
100407

143
1430000
101063

144
1440000
101719

145
1450000
102375

146
1460000
103031

147
1470000
103686

148
1480000
104341

149
1490000
104995

150
1500000
105650

151
1510000
106304

152
1520000
106958

153
1530000
107611

154
1540000
108264

155
1550000
108917

156
1560000
109570

157
1570000
110223

158
1580000
110875

159
1590000
111527

160
1600000
112178

161
1610000
112830

162
1620000
113481

163
1630000
114131

164
1640000
114782

165
1650000
115432

166
1660000
116082

167
1670000
116732

168
1680000
117382

169
1690000
118031

170
1700000
118680

171
1710000
119329

172
1720000
119977

173
1730000
120626

174
1740000
121274

175
1750000
121922

176
1760000
122569

177
1770000
123217

178
1780000
123864

179
1790000
124511

180
1800000
125157

181
1810000
125804

182
1820000
126450

183
1830000
127096

184
1840000
127741

185
1850000
128387

186
1860000
129032

187
1870000
129677

188
1880000
130322

189
1890000
130967

190
1900000
131611

191
1910000
132255

192
1920000
132899

193
1930000
133543

194
1940000
134186

195
1950000
134830

196
1960000
135473

197
1970000
136116

198
1980000
136758

199
1990000
137401

200
2000000
138043

201
2010000
138685

202
2020000
139327

203
2030000
139969

204
2040000
140610

205
2050000
141251

206
2060000
141892

207
2070000
142533

208
2080000
143174

209
2090000
143814

210
2100000
144455

211
2110000
145095

212
2120000
145735

213
2130000
146374

214
2140000
147014

215
2150000
147653

216
2160000
148292

217
2170000
148931

218
2180000
149570

219
2190000
150208

220
2200000
150847

221
2210000
151485

222
2220000
152123

223
2230000
152761

224
2240000
153398

225
2250000
154036

226
2260000
154673

227
2270000
155310

228
2280000
155947

229
2290000
156584

230
2300000
157220

231
2310000
157856

232
2320000
158493

233
2330000
159129

234
2340000
159765

235
2350000
160400

236
2360000
161036

237
2370000
161671

238
2380000
162306

239
2390000
162941

240
2400000
163576

241
2410000
164211

242
2420000
164845

243
2430000
165479

244
2440000
166114

245
2450000
166748

246
2460000
167381

247
2470000
168015

248
2480000
168649

249
2490000
169282

250
2500000
169915

251
2510000
170548

252
2520000
171181

253
2530000
171814

254
2540000
172446

255
2550000
173079

256
2560000
173711

257
2570000
174343

258
2580000
174975

259
2590000
175607

260
2600000
176238

261
2610000
176870

262
2620000
177501

263
2630000
178132

264
2640000
178763

265
2650000
179394

266
2660000
180025

267
2670000
180655

268
2680000
181286

269
2690000
181916

270
2700000
182546

271
2710000
183176

272
2720000
183806

273
2730000
184435

274
2740000
185065

275
2750000
185694

276
2760000
186323

277
2770000
186953

278
2780000
187582

279
2790000
188210

280
2800000
188839

281
2810000
189468

282
2820000
190096

283
2830000
190724

284
2840000
191352

285
2850000
191980

286
2860000
192608

287
2870000
193236

288
2880000
193863

289
2890000
194491

290
2900000
195118

291
2910000
195745

292
2920000
196372

293
2930000
196999

294
2940000
197626

295
2950000
198252

296
2960000
198879

297
2970000
199505

298
2980000
200131

299
2990000
200757

300
3000000
201383

301
3010000
202009

302
3020000
202635

303
3030000
203260

304
3040000
203886

305
3050000
204511

306
3060000
205136

307
3070000
205761

308
3080000
206386

309
3090000
207011

310
3100000
207636

311
3110000
208260

312
3120000
208885

313
3130000
209509

314
3140000
210133

315
3150000
210757

316
3160000
211381

317
3170000
212005

318
3180000
212629

319
3190000
213252

320
3200000
213876

321
3210000
214499

322
3220000
215122

323
3230000
215745

324
3240000
216368

325
3250000
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327
3270000
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3280000
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329
3290000
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3300000
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3310000
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3320000
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3330000
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3340000
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3360000
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3680000
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3890000
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3940000
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3960000
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397
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398
3980000
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399
3990000
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4000000
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402
4020000
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404
4040000
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4070000
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4080000
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4100000
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4110000
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4140000
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4150000
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4160000
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4180000
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4200000
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4210000
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4220000
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4290000
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4300000
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4340000
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4440000
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4450000
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4460000
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459
4590000
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460
4600000
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461
4610000
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462
4620000
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4630000
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4640000
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525
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5380000
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539
5390000
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540
5400000
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555
5550000
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556
5560000
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559
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577
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#NUM!

0
0
#NUM!

00#NUM!

以下为第M素数范围的数据:
序号 f  2f^(1/2) 上限 下限
1 100 607 49 656 558
2 200 1329 72 1401 1257
3 300 2100 91 2191 2009
4 400 2901 107 3008 2794
5 500 3727 122 3849 3605
6 600 4571 135 4706 4436
7 700 5430 147 5577 5283
8 800 6303 158 6461 6145
9 900 7189 169 7358 7020
10 1000 8084 179 8263 7905
11 1100 8990 189 9179 8801
12 1200 9905 199 10104 9706
13 1300 10827 208 11035 10619
14 1400 11755 216 11971 11539
15 1500 12692 225 12917 12467
16 1600 13635 233 13868 13402
17 1700 14584 241 14825 14343
18 1800 15538 249 15787 15289
19 1900 16498 256 16754 16242
20 2000 17463 264 17727 17199
21 2100 18433 271 18704 18162
22 2200 19407 278 19685 19129
23 2300 20386 285 20671 20101
24 2400 21369 292 21661 21077
25 2500 22357 299 22656 22058
26 2600 23347 305 23652 23042
27 2700 24342 312 24654 24030
28 2800 25340 318 25658 25022
29 2900 26342 324 26666 26018
30 3000 27347 330 27677 27017
31 3100 28355 336 28691 28019
32 3200 29366 342 29708 29024
33 3300 30381 348 30729 30033
34 3400 31399 354 31753 31045
35 3500 32419 360 32779 32059
36 3600 33442 365 33807 33077
37 3700 34468 371 34839 34097
38 3800 35496 376 35872 35120
39 3900 36528 382 36910 36146
40 4000 37561 387 37948 37174
41 4100 38596 392 38988 38204
42 4200 39635 398 40033 39237
43 4300 40676 403 41079 40273
44 4400 41719 408 42127 41311
45 4500 42764 413 43177 42351
46 4600 43811 418 44229 43393
47 4700 44860 423 45283 44437
48 4800 45912 428 46340 45484
49 4900 46966 433 47399 46533
50 5000 48021 438 48459 47583
51 5100 49079 443 49522 48636
52 5200 50138 447 50585 49691
53 5300 51199 452 51651 50747
54 5400 52263 457 52720 51806
55 5500 53327 461 53788 52866
56 5600 54394 466 54860 53928
57 5700 55463 471 55934 54992
58 5800 56533 475 57008 56058
59 5900 57605 480 58085 57125
60 6000 58679 484 59163 58195
61 6100 59753 488 60241 59265
62 6200 60831 493 61324 60338
63 6300 61909 497 62406 61412
64 6400 62988 501 63489 62487
65 6500 64071 506 64577 63565
66 6600 65153 510 65663 64643
67 6700 66238 514 66752 65724
68 6800 67323 518 67841 66805
69 6900 68412 523 68935 67889
70 7000 69500 527 70027 68973
71 7100 70590 531 71121 70059
72 7200 71682 535 72217 71147
0 0 #NUM! #NUM! #NUM! #NUM!
0 0 #NUM! #NUM! #NUM! #NUM!
0 0 #NUM! #NUM! #NUM! #NUM!
0 0 #NUM! #NUM! #NUM! #NUM
欢迎探讨!

任在深

精确的是：
                N"+12(N';-1';)
    （1）π（N）=--------------
                     An
               N"+12(N';-1';)
    （2）An=----------------
                 π（X）
所以：
   （3）π（N）≡（N"+12(N';-1)）/（N"+12(N';-1)）/π（X）
              ≡π（X）（实际素数单位个数）。

zhujingshen

素数个数的精确公式，教科书上就有，就是容斥原理公式，容斥原理公式可以看成由公式“X*Π(1-1/P)”推导出来的。没有任何误差。
容斥原理公式看起来复杂，数学界对容斥原理公式似乎不屑一顾，其实，编程计算，用容斥原理公式计算，奇快，一般方法望尘莫及。
我以前编过容斥原理公式计算素数数量，只计算到几千万的素数数量，几乎瞬间完成。后来由于电脑崩溃，程序丢失了。
说这些，仅供你参考。

任在深

下面引用由zhujingshen在 2011/11/11 07:27pm 发表的内容：
素数个数的精确公式，教科书上就有，就是容斥原理公式，容斥原理公式可以看成由公式“X*Π(1-1/P)”推导出来的。没有任何误差。
容斥原理公式看起来复杂，数学界对容斥原理公式似乎不屑一顾，其实，编程计算，用 ...

    哈哈！
    崩溃了吧？？？？？？？？？？？？？？？？？？？
    就是世界上最大容量的计算机也得崩溃！！！！！！

zhujingshen

下面引用由任在深在 2011/11/11 07:46pm 发表的内容：
    哈哈！
    崩溃了吧？？？？？？？？？？？？？？？？？？？
    就是世界上最大容量的计算机也得崩溃！！！！！！

你对编程可能是外行，
容斥原理的计算是可以大量的简化，当分子小于分母后，后面的大量计算就可以不用计算。
你可以看看具体的计算 ，实际需要计算的分数数值并不多。
崩溃是因为后来病毒造成的，和计算没有关系。