四色定理证明新方法

LIUFU

[这个贴子最后由LIUFU在 2013/03/27 11:00am 第 2 次编辑]

《只有证明了平面图的色数不大于4 时，轮图的色数不大于4也才有基础，也才能成立。》
这么说轮图的色数定理就有问题了？它在离散数学中早就有了，在这之前，从来没有听说“谁”“证明了平面图的色数不大于4.”
    雷明下帖《但决不能说轮图的色数是小于等于4 的，就说明任意平面图的色数就是小于等于4 的》这是从何而来的问题呢？！
    请问，“轮图的色数定理”的存在是有目共睹的，您怎么解释？
   我今天正在学习您们的讨论，为使问题尽快澄清，仅提一点建议：尽量不使用生活用语，而是用必要条件、充分条件的定义；注意命题的逻辑关系。
   雷明在讨论梁增勇所谓的定理4问题有下面的话：另外按梁的意思就是说只有图是极大图，或者外圈色数≤3，即外圈的顶点数≥3时，四色猜测才是成立的；而当图是非极大的平面图，或者外圈的顶点数是不大于3的平面图时，四色猜测就不成立了；这么说，你还费这么大的力气在这里证明什么呢，这不就明明白白的说明了并不是对于所有的平面图来说四色猜测都是成立的了吗。
   上面有三句话：第一分号前是愿命题，第二分号前是原命题的否命题；雷明在这两个命题的基础上 推出最后那一句话的结论。
   显然，这个结论（本身）是错误的。如果您要用这个结论来说服梁，那梁肯定不服；因为梁不可能不懂这个道理！这里的误解是怎样产生的呢？原因就在使用那两个命题上。原来第二个命题是假命题！我建议我们都要注意这个问题，使讨论更有效。
   希望能起一个抛砖引玉的作用。

雷明85639720

正因为没有听见过谁证明了平面图的色数不大于4，大伙才都在寻找着证明的方法嘛。如果已经证明了，我们现在还在研究什么呢。我的那句话我也觉得不太妥，但决不能说轮图的色数是小于等于4 的，就说明任意平面图的色数就是小于等于4 的，这是要经过证明的。你也不要叫我举例，我也举不出来，但不能因为我举不出来色数大于4 的平面图，就说明四色猜测对于任意的平面图都是正确的。如果我能举出来，那不就是对猜测的否定吗。要证明猜测对于任意的平面图都是正确的，必须要从任意的平面图出发。

任在深

快说道点子上了！
    》》》要证明猜测对于任意的平面图都是正确的，必须要从任意的平面图出发。《《《
   

雷明85639720

如果说可以根据轮图的色数≤4，就能直接得出任意平面图的色数也是≤4的，那么也可以说可以根据圈图的色数≤3，也可以直接得出任意平面图的色数也是≤3的，或者再根据树图的色数是2，也可以直接得出任意平面图的色数也是2，甚至还可以根据平凡图K1的色数是1，也可以直接得出任意平面图的色数也是1，这是不可能的，也是错误的。只有证明了任意平面图的色数是≤4时，那么以上属于平面图的轮图，圈图，树图及平凡图的色数也都可以说是≤4的。这完全可以说明只适用于部分的东西，不一定都适用于全体，而对于适用于全体的东西也一定必然适用于部分。可现在的问题是适用于全体的结论还没有得到，即四色猜测还没有证明是正确还是错误。尽管有了适用于部分的东西，但它却是不一定能适用于全体的。因此，我们才费大力气在研究这个适用于全体的东西——四色猜测是否正确的问题。雷明

LIUFU

值得深思的命题：
《只有证明了任意平面图的色数是≤4时，那么以上属于平面图的轮图，圈图，树图及平凡图的色数也都可以说是≤4的》。

雷明85639720

以上这句话是否可以改成这样更好一些：“只有证明了任意平面图的色数是≤4时，也就包含了轮图，圈图，树图及平凡图的色数。”；或者说成“只有证明了任意平面图的色数是≤4时，轮图，圈图，树图及平凡图的色数也就在其其中了。”

zengyong

1、轮图的色数≤4在图论中已成定理。
“不难证明以下几条色数的性质：
......
(3)偶圈色数为2，奇圈色数为3，奇阶轮图的色数为3，偶阶轮图的色数为4。”
这是抄自《离散数学》（屈婉玲等著）一书。
《图论》（王树禾著）一书也有“奇轮色数为3，偶轮色数为4”的叙述（92页）。
其实证明确实不难(我是作为引理使用)，搞图论着色研究的人不会去质疑这种小case。
2、“极大平面图的色数≤4，外圈色数≤3，这也是四色定理成立的理论的必要条件。”
在本文中似乎没有这个说法，假如有是不妥的。
我的主导思想和提法是：
“三角形结构平面图的色数≤4，外圈色数≤3，这也是四色定理成立的理论的必要条件。”
这也一定是对的。假如做不到这样，也就是说非得三角形结构平面图的外圈色数 = 4 才是正确的，那么再在这个三角形结构平面图的外面增加一个顶点，该顶点与三角形结构平面图的外圈的顶点有邻接边，那么该图的色数就等于5了。那样就不是四色定理的证明了。
3、我没有说“证明轮图色数≤4，就已经证明平面图的色数≤4 。”
本文只证明了三角形结构平面图的不可避免构形集只有延伸结构和轮形结构，且它们的色数都≤4 。这是根据使用不可避免构形集的证明方法做了第一步和第二步。
我的观点是还差最后一步，证明以这两种构形为基础在组成复杂的三角形结构平面图G中可以使图G的色数≤4 ，不会产生颜色冲突，那么就大工告成了（这步是最难的，鉴于时间关系，同时也想把握论文的严谨性，所以第二篇论文还不能出笼）。
最后，谢谢各位给我那么多的评论，共同探讨寻找正确的四色定理证明的理论方法。

zengyong

“只有证明了任意平面图的色数是≤4时，也就包含了轮图，圈图，树图及平凡图的色数。”；或者说成“只有证明了任意平面图的色数是≤4时，轮图，圈图，树图及平凡图的色数也就在其其中了。”
这中说法是错的！

轮图，圈图，树图及平凡图是局部的结构，它本身的色数与全局无关！
例如三角形的色数就是3，你放到任意平面图（全局）它本身的色数还是3！
所以才有轮图色数≤4的定理。我们在说轮图的色数都是以一个轮图（单元）来说的。
当然，在平面图中，各个三角形的顶点颜色不一定相同，有的可能是（1，2，3），有的可能是（1，3，4），...。但就单个三角形结构的色数还是3！注意：色数与颜色的种类无关！

雷明85639720

梁增勇朋友：
1、轮图的色数是不大于4，圈图的色数是不大于3，圈图的色数等于2，平凡图的色数等于1，这都是对的，这些色数一定都是包含于任意平面图的色数之内的。但任意平面图的色数至今还未能得到证明是否是不大于4 的。不能说“轮图，圈图，树图及平凡图”只“是局部的结构，它本身的色数与全局无关！”而应该说他们的色数是决不会大于任意平面图的色数的。你在“所以才有轮图色数≤4的定理”一句后面补充说“我们在说轮图的色数都是以一个轮图（单元）来说的。”这是对的，就正是因为“轮图的色数都是以一个轮图（单元）来说的”，所以才很难保证在着色时能做到使每一个顶点的相邻顶点所构成的轮的轮沿顶点都只占用三种颜色，这就产生了着色到最后只剩下一个顶点未着色时，与其相邻的顶点有可能点用完了四种颜色的可能，这才要我们去证明能否把这四种颜色变成三种，空出来一种给未着色的一个顶点着上。
2、你的文章中是否说过“极大平面图的色数≤4，外圈色数≤3，这也是四色定理成立的理论的必要条件。”我没有注意，你贴中一说，我上翻了一下，的确你在一楼一开头是说过的。但我在这里的引用是从一棵小草那里来的。我认为“极大平面图”与你后来更正的“三角形结构平面图”应是一回事，因为极大平面图的各个面都是三边形面，而你这里说的“三角形结构”的各个面也是三边形面，二者应是一样的，望你想想是否是样。当然如果你认为你的“三角形结构平面图”里至少有一个面的边数是大于3的，我也就没必要再多说了。我不知你这里的“外圈色数≤3”是不是要说明：在这个外圈中增加一个顶点，使其与外圈各顶点构成一个轮，这个顶点的颜色就可以用四种颜色这一了。如果是这样的话，你上面的话应说成是“由于三角形结构平面图的色数≤4（这一结论如何证明的我没有不意看到你证明了没有），所以当图的外圈的色数≤3时，四色猜测是成立的。”这样就说明这是一个只适用于部分图的色数定理，但这个定理比轮图色数定理又要靠近任意图一些了。但还没有证明四色猜测就是正确的，因为你把它只是作为一种定理在应用，目的还是想得到解决四色问题的办法。祝你早日找到解决的办法，早日成功。但不能象有些人那样，认为轮图的色数不大于4，对一个任意图着色时，外圈的色数就一定也能不大于4，就把第四种颜色给V着上就可以了。这还要去证明什么呢。难道着色时，所谓的外圈的色数就只能≤3，而不能有大于3 的可能吗。遇到了这种情况又如何处理呢，这不还是要我们去证明吗。
3、看来你的文章我还得再好好的学一学，以后我们有机会再聊。

zengyong

1、我说的：“轮图，圈图，树图及平凡图是局部的结构，它本身的色数与全局无关！”
是针对你们说的
“《只有证明了任意平面图的色数是≤4时，那么以上属于平面图的轮图，圈图，树图及平凡图的色数也都可以说是≤4的》。”
而言。
“轮图，圈图，树图及平凡图是局部的结构，它本身的色数与全局无关！”这句话也没有错误！
你已经认为“轮图的色数是不大于4，圈图的色数是不大于3，圈图的色数等于2，平凡图的色数等于1，这都是对的”
但你应该好好学习色数的定义，轮图、圈图都已经确定结构类型的子图（对与复杂的平面图来说），它们的色数是固定的！不管你是否把它放在大图里面。所以说，“它本身的色数与全局无关！”
但在大图中色数是3的圈图（子图）也会用到第四色，这与它的色数永远是3根本是两码事。如果不看到这点你对色数 的定义还是不清楚。
2、“极大平面图的色数≤4，外圈色数≤3，这也是四色定理成立的理论的必要条件。”是不妥，但不错。
怎么理解？因为极大平面图的外圈顶点只有3个，那么外圈色数=3，不是≤3。
应该说：所有平面图的外圈色数都能等于3或等于2（看情况），那么才有可能所有平面图的色数≤4，四色定理才可以成立！
而我论文在讨论三角形结构平面图的色数中说：“三角形结构平面图的色数≤4，外圈色数≤3，这也是四色定理成立的理论的必要条件。”这也是对的。
还有即使说“极大平面图的色数≤4，外圈色数≤3，这也是四色定理成立的理论的必要条件。”也没有错。
为什么？？这就要复习必要条件与充分条件的定义和区别了，...（就说到此没有时间说太多了）。


[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 zengyong 在 时添加 -=-=-=-=-
补充：“极大平面图的色数≤4，外圈色数≤3，这也是四色定理成立的理论的必要条件。”是错的。因为它的外圈色数就是3，不可能小于3。从这个角度看是错的。
应该说“极大平面图的色数≤4，这也是四色定理成立的理论的必要条件。”才对。