用公式法求解特殊佩尔方程

蔡家雄

设 \(t>=0\) , \(d=4^{t+2}+3\) ,

求 \(x^2 - d*y^2=1\) 的最小解，

设 \(x=d*r^2 -1\) , 求 最小的 \(r= ?\)

使 \(y=((d*r^2)*(d*r^2 -2)/d)^{1/2}\) 是整数。

蔡家雄

设 \(t>=0\) , \(d=4^{t+2}+7\) ,

求 \(x^2 - d*y^2=1\) 的最小解，

设 \(x=d*r^2+1\) , 求 最小的 \(r= ?\)

使 \(y=((d*r^2)*(d*r^2+2)/d)^{1/2}\) 是整数。

Treenewbee

蔡家雄 发表于 2023-3-17 07:15
设 \(t>=0\) , \(d=4^{t+2}+7\) ,

求 \(x^2 - d*y^2=1\) 的最小解，

0 (23, [24, 5])
1 (71, [3480, 413])
2 (263, [139128, 8579])
3 (1031, [651737448664200, 20297537082877])
4 (4103, [36076932, 563221])
5 (16391, [52472886125273249168576935, 409856877328651972146708])
6 (65543, [41780761229710759094849505962993865917706803726191499359145061011994559849082511321952117034371527885710237688, 163197383105723735856182252498452836185524714027012978030385027507904070465599631685229749329039036679421949])
7 (262151, [72919501603120923013270672024141768578706836731811057353841647799969090234358400005317356344197149147239301670533135933749679112145897442497905988746497586725820191966341208118863314358760, 142419000082493600157839034265172632792305052672094541862089637471232086383865308126948109745798108066784404636850506703442647442173796351018334532948853648798894885826723428723794562307])
8 (1048583, [418229444023502271361812404617873926746992317871256949587464210764596500805651130752157377718599287500969695548929536492357103050025530995451192612782974155158251130179318873881058564997395623111811664356164877077981455623488750429751206076422161607460692253488914657675151863967623958352674686098942388140029808502995477518988282157821379091543923746773312815140290495995102220328, 408425828163197962003832720560210417423586434034709599430402144473753992372140369540717657424064448265632501677112941950805810763684256393223756058397515042741908003309627714276604060934296253320289390884127450710539654042120642168558451580131953471841986579370509209368405079585980274711779811151691110790037070509897410512742552098517092232184815889988689044506228933231818499])
9 (4194311, [51177054942435006277229234536620832079444803721125541132021470455820858871814804794857324858228402746532292339295515713235199790870528664021032810391685783026504588734199209057085306058647981957842238967078368667128165377355648672803222147567944156720419449185256655797769215055178564765985227094358168236975681995839991327487079917829920872375810321019832137169884560607208961828411383883914582356557322270066580657182774406297808991338679202909994511114671232104409331590335330835903373122527635746167780, 24988775506360319141826550074426223136987102897607547179104530942622750976201631646786329811140689212765079836744732351129725319420842450572656257702441606875729687408639638340611805165566960030674676979535174702602425251628674213251143161381403282727563043351599695274933985418257973274185624894371898795501862187860896736106867593870932741384823998126520338238497521194509632197513334484152395781003888156585302734563446428778824202320580122873260868579459893393948197917193337027663923215160591349397])
10 (16777223, [3352794142606776554737283396545455877813836162704255416005798405010451840621496841467507112294049620163554858705779009781925131361764415613114860399109051987646983019114153032902195590259008902005124786195991201925356749188180604386663455448808967965603181185620401171730273085591330497829237152, 818553086708894498533150539407674059525330169184097833631896269142138216535942857956080806385820036837989137822853140264221488514005189740716793850834153613502827027947737843684168670016020634664318345945443367495486986629629040276212942493832107589655351652267594369708052478558593705632669])

Treenewbee

蔡家雄 发表于 2023-3-17 07:12
设 \(t>=0\) , \(d=4^{t+2}+3\) ,

求 \(x^2 - d*y^2=1\) 的最小解，

0 (19, [170, 39])
1 (67, [48842, 5967])
2 (259, [847225, 52644])
3 (1027, [133150393, 4154868])
4 (4099, [6290679704195680536253612607008970662569749959960678667690, 98255894580947570793022586715791022877883393268276434001])
5 (16387, [11413027877434405409306870876631302, 89156118179665453435575511820337])
6 (65539, [6626987825251499940163644435438427657285605581778805650604671321439032704650227419569798702986515177884092626923423746897824217909664252366878028116392925544302544564813604764312894508009793862769489442946848410, 25886078713846848077540951727476971048660042171394841096343736446933897961080712295438431388466376567441157759365264502952910937004522407589434559131549013776596141391286134866897248681517810343464137085201679])
7 (262147, [461824715334079741401519303469504108330873412595592379829070562602875729178271042587960795189884479307292999341798093671040889345880714782458533465979666854073891767873038415959346557561109813822844640447229155501280451825605904774502577690098914740105088441699938619497758257893185226, 901996235887778937057743017583816500902733916131179182975046645499562912967305336150598729595983745922905890921818634606381383310249439070803040676565484234897617020025864775061633330791260216497072863048513377755273583285544543505939632797367764427395085022540331278012923129671185])
8 (1048579, [29776562622206178677730301142172546168291680332575443613253737607023929466971985325370114852698324417371451354347021086491467628966574696503298021764323853197195987312312976427633035743421980526040891707884185731169885041010222716536916751344923695073488237907927706327511181595881545468470585, 29078632838460032672666403050034204085460299673474260078426358718677635257573796496235301168927215703715536805459846463870144135282884727833097966936851168466377694310989456524746214821453380704124450764599593272341211324167432854315242930574639751471817538820290318871993958129089261314516])
9 (4194307, [25117668700757563653335457424693186499343253477468658168439843983648792643078346871742185090650829273128220192287509997202739528105193307898223534107084812545193085970193081959010079271378513867355783149228660891615201876345643100234555174885698, 12264482284171904013989712412289501754938887650714341377823346440598175567868634964373211558180631462153143335767287279311805837025346887031087964999355087525229310401332966841853143651995408496582378346852444671530903857372029317908160695423])
10 (16777219, [165538855338538541294520542671406644531477493498893623619963986289283279108371357103275177798948570988234668100614373256599076525178579541017528601789196799, 40414755990774785816699650975371229136677753557318861712986530079888102157828602884103566909987591921158096123624204149502584894033348180791836050488160])

蔡家雄

若 30k+7 与 120k+29 都是素数，

则 2, 3, 10 是素数 120k+29 的三个原根。

若 30k+7 与 (30k+7)^(4r+1)*4+1 都是素数，

则 2, 3, 10 是素数 (30k+7)^(4r+1)*4+1 的三个原根。

蔡家雄

设 k 为正整数，t, r 为非负整数，

若 30k+17 和 2^(4t+3)*(30k+17)^(4r+1)+1 都是素数，

则 3, 5, 6, 10 是素数 2^(4t+3)*(30k+17)^(4r+1)+1 的四个原根。

若 30k+29 和 2^(4t+3)*(30k+29)^(4r+1)+1 都是素数，

则 3, 5, 6, 10 是素数 2^(4t+3)*(30k+29)^(4r+1)+1 的四个原根。


设 k 为正整数，t, r 为非负整数，

若 30k+1 和 2^(4t+4)*(30k+1)^(4r+1)+1 都是素数，

则 3, 5, 6, 10 是素数 2^(4t+4)*(30k+1)^(4r+1)+1 的四个原根。

若 30k+7 和 2^(4t+4)*(30k+7)^(4r+1)+1 都是素数，

则 3, 5, 6, 10 是素数 2^(4t+4)*(30k+7)^(4r+1)+1 的四个原根。


设 k 为正整数，t, r 为非负整数，

若 30k+11 和 2^(4t+5)*(30k+11)^(4r+1)+1 都是素数，

则 3, 5, 6, 10 是素数 2^(4t+5)*(30k+11)^(4r+1)+1 的四个原根。

若 30k+23 和 2^(4t+5)*(30k+23)^(4r+1)+1 都是素数，

则 3, 5, 6, 10 是素数 2^(4t+5)*(30k+23)^(4r+1)+1 的四个原根。


设 k 为正整数，t, r 为非负整数，

若 30k+13 和 2^(4t+6)*(30k+13)^(4r+1)+1 都是素数，

则 3, 5, 6, 10 是素数 2^(4t+6)*(30k+13)^(4r+1)+1 的四个原根。

若 30k+19 和 2^(4t+6)*(30k+19)^(4r+1)+1 都是素数，

则 3, 5, 6, 10 是素数 2^(4t+6)*(30k+19)^(4r+1)+1 的四个原根。

蔡家雄

B类具有完全循环节的一条龙素数可能成立，

若 (2*10^n - 23)/3 是素数，则 10 是这个素数的原根。

请 Treenewbee，王守恩 判断，

已知：10是素数 659 的原根，

已证：10是素数 6659 的原根，

已证：10是素数 66666666666666666666666659 的原根，

已证：10是素数 66666666666666666666666666666666666666666659 的原根，

已证：10是素数 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666659 的原根，

已证：10是素数 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666659 的原根，

判断：10是素数 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666659 的原根，

判断：10是素数 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666659 的原根，

判断：10是素数 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666659 的原根，

蔡家雄

B类具有完全循环节的一条龙素数可能成立，

若 (2*10^n - 59)/3 是素数，则 10 是这个素数的原根。

已知：10 是素数 47 的原根，

已证：10 是素数 647 的原根，

已证：10 是素数 666647 的原根，

判断：10 是素数 666666647 的原根，

判断：10 是素数 6666666647 的原根，

判断：10 是素数 66666666666647 的原根，

判断：10 是素数 666666666666647 的原根，

判断：10 是素数 6666666666666666666666666666666647 的原根，

判断：10 是素数 66666666666666666666666666666666666666666666666666666647 的原根，

蔡家雄

设 30k+11 是素数，

且 (30k+11)^29*2^25+1 是素数，

则 10 是素数 (30k+11)^29*2^25+1 的原根。

谢谢 时空伴随者 计算出 30k+11 =491, 521, 1571, 2621, 5861, 32441, 36011, 36131,

41411, 52121, 64301, 75611, 82301, ......

蔡家雄

设 30k+23 是素数，

且 (30k+23)^29*2^25+1 是素数，

则 10 是素数 (30k+23)^29*2^25+1 的原根。

谢谢 时空伴随者 计算出 30k+23 =12503, 13313, 15413, 17093, 19583, 22283, 29633,

37253, 47513, 54713, 62303, 65423, 85703, 99563, ......