证明：方程 (x-1)^n+x^n+(x+1)^n=0（n∈N*）的每一个复根的实部都为 0

ccmmjj

我给个提议吧。作替换　x=yi　代入原式，然后证明新的多项式只有实数根。

malingxiao1984

llshs好石 发表于 2018-9-28 11:20
多项式的因式的奇偶性和多项式的奇偶性是相同的！
g(y)是f(y)的因式多项式，奇偶性相同！

就是这一步，我用我刚说的那种思路，也卡在了某一步，跟这个问题等价，还得再想想

llshs好石

ccmmjj 发表于 2018-9-28 17:49
我给个提议吧。作替换　x=yi　代入原式，然后证明新的多项式只有实数根。

请老师们看一下这个证法有没漏洞，谢谢

luyuanhong

谢谢楼上 llshs好石 的解答。我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

malingxiao1984

论坛终于可以上了吗？
我对这个问题已经有一个严格的证明，等有时间了发上来，最近实在有点忙。
我尝试了很多方法，最后得出的结论是这个问题只讨论奇偶性是行不通的，必须对具体系数进行讨论，
脱离具体系数去讨论这个问题，很有可能是不正确的。
比如23楼的证法，核心问题就是怎么根据代数基本定理得到gk(y)=gk(-y)，而不是gk(y)=gs(-y)？代数基本定理可不能得到这样的结论。
代数基本定理：任何复系数一元n次多项式 方程在复数域上至少有一根(n≥1)，由此推出，n次复系数多项式方程在复数域内有且只有n个根（重根按重数计算）。如何得到gk(y)=gk(-y)？

malingxiao1984

llshs好石 发表于 2018-11-3 14:03
请老师们看一下这个证法有没漏洞，谢谢

代数基本定理：任何复系数一元n次多项式 方程在复数域上至少有一根(n≥1)，由此推出，n次复系数多项式方程在复数域内有且只有n个根（重根按重数计算）。如何得到gk(y)=gk(-y)？

llshs好石

malingxiao1984 发表于 2018-11-3 23:01
代数基本定理：任何复系数一元n次多项式 方程在复数域上至少有一根(n≥1)，由此推出，n次复系数多项式方 ...

一元n次多项式 分解成一次因式的乘积的形式是唯一的！所以共轭因式必定相等！
虽然我的证法可能是错误 的，但你的质疑也是不对的，质疑不到要点上！
谢谢你！

malingxiao1984

llshs好石 发表于 2018-11-6 12:52
一元n次多项式 分解成一次因式的乘积的形式是唯一的！所以共轭因式必定相等！
虽然我的证法可能是错误 ...

因式分解唯一的确实没错，但哪本书上哪个定理说了形式唯一共轭因式必定相等？总得给个证明吧？数学是需要有理有据的，不是说必定就必定的

malingxiao1984

llshs好石 发表于 2018-11-6 12:52
一元n次多项式 分解成一次因式的乘积的形式是唯一的！所以共轭因式必定相等！
虽然我的证法可能是错误 ...

我举个简单的例子：
f(x)=x^4+4，满足f(x)=f(-x)吧
f(x)=x^4+4=[x-(1+i)][x-(1-i)][x-(-1+i)][x-(-1-i)]
f(-x)=(-x)^4+4=[-x-(1+i)][-x-(1-i)][-x-(-1+i)][-x-(-1-i)]
这满足你说的一切条件：f(x)=f(-x)，而且只有复数根，但是能有[x-(1+i)][x-(1-i)]=[-x-(1+i)][-x-(1-i)]吗？

你这个证明缺少最关键的也是最不好证的一步：要证明a+bi和-a+bi不可能同时是原方程的根！你必须证明这个才能有那一步而不是用代数基本定理，基本定理可推不出这一步。

llshs好石

malingxiao1984 发表于 2018-11-6 15:37
我举个简单的例子：
f(x)=x^4+4，满足f(x)=f(-x)吧
f(x)=x^4+4=[x-(1+i)][x-(1-i)][x-(-1+i)][x-(-1-i) ...

呵呵，知道了