证明 (-∞,+∞) 上的定积分 ∫(-∞,+∞)x^2 e^x/(e^x+1)^2 dx=π^2/3

永远

对于楼上的某些小细节（如下图所示）除了传统的凑微分来个分部积分法，还可以使用伽玛函数以及使用拉普拉斯变换，如下

jzkyllcjl

楼上几个帖子说明：楼主对现在数学分析学到家了。 但需要知道+∞是个数列的极限，因此你的（1）式的计算结果0，只是趋向于0，而不是真正等于0；同理你的（2）式的计算结果也只是趋向于1/k^2;你的（3）式的结果也只是趋向于π^2/12.总的来说，只得到逼近于 π^2/3.的数列。例如取前两项，得到1-1/4=0.75  与取π=3时，π^2/3.等于0.75 相当，是近似的 .，π^2/3 的绝对准十进小数表达式是得不到的。.  

elim

jzkyllcjl 的 0.3,0.33,0.333,...趋向 1/3 及 0.333.... 而无一等于 0.333....，表明 0.333.... = 1/3

jzkyllcjl

永远 发表于 2018-9-16 15:20
接楼上，下面是本人对主贴的学习心得

楼上几个帖子说明：楼主对现在数学分析学到家了。 但需要知道+∞是个数列的极限，因此你的（1）式的计算结果0，只是趋向于0，而不是真正等于0；同理你的（2）式的计算结果也只是趋向于1/k^2;你的（3）式的结果也只是趋向于π^2/12.总的来说，只得到逼近于 π^2/3.的数列。例如取前两项，得到1-1/4=0.75  与取π=3时，π^2/3.等于0.75 相当，是近似的 .，π^2/3 的绝对准十进小数表达式是得不到的。.  
还需知道，18楼用到了等式 1/1+x=1-x+x^2-……这个等式右端是无穷级数，它是在x=1处不收敛，因此将e^-x代入时，x不能为0.这说明使用这个等式时，积分下限0 需要改为大于0的变数ε，再取ε趋向于0的极限方法。 4楼的解题过程也没有注意到这个问题，他把无穷级数 ∑（-1）^(K+1)提到积分号前边的做法是行不通的，事实上这个级数是发散级数，所以他后来又把这个级数拿到积分号下。这个问题还说明： 做这个积分时，需要使用一致收敛性下的逐项积分。
总之，联系一切‘中介’的唯物辩证分析方法是必须的。最后必须把等式 ∑【（-1）^(K+1)】/k^2=π^2/3 改写为极限性等式或全能近似等式。
“无穷次相加的操作是无法进行的，必须使用达不到的极限性趋向方法”。 这就是我上网一万多次所说的中心思想。 对无尽小数0.333……的问题就是来源于这个思想。。

elim

jzkyllcjl 是说，主贴的问题的精确解他是没法得到的。人家得到的解与精确解的误差，他也是不知道的。

jzkyllcjl 的 0.3,0.33,0.333,...趋向 1/3 及 0.333.... 而无一等于 0.333....，表明 0.333.... = 1/3.

jzkyllcjl

elim 发表于 2018-9-17 02:06
jzkyllcjl 是说，主贴的问题的精确解他是没法得到的。人家得到的解与精确解的误差，他也是不知道的。

jz ...

无尽循环小数 的无尽是无有穷尽的，0.333……不是定数。它只能趋向于理想实数1/3, 但永远不等于1/3。它们之间差别是永远存在的。无穷不等于有穷。理想与现实、精确与近似、无限与有限之间具有对立统一的关系。

elim

jzkyllcjl 发表于 2018-9-16 19:33
无尽循环小数 的无尽是无有穷尽的，0.333……不是定数。它只能趋向于理想实数1/3, 但永远不等于1/3。它们 ...

无尽是无有穷尽，所以无尽循环小数不是会变的有限小数序列的项，而是定数。

jzkyllcjl 拿有限小数序列的项冒充无尽循环小数，得出了它是变数的谬论。

jzkyllcjl

需要知道+∞是个数列的极限，因此你的（1）式的计算结果0，只是趋向于0，而不是真正等于0；同理你的（2）式的计算结果也只是趋向于1/k^2;你的（3）式的结果也只是趋向于π^2/12.总的来说，只得到逼近于 π^2/3.的数列。例如取前两项，得到1-1/4=0.75  与取π=3时，π^2/3.等于0.75 相当，是近似的 .，π^2/3 的绝对准十进小数表达式是得不到的。.  
还需知道，18楼用到了等式 1/1+x=1-x+x^2-……这个等式右端是无穷级数，它是在x=1处不收敛，因此将e^-x代入时，x不能为0.这说明使用这个等式时，积分下限0 需要改为大于0的变数ε，再取ε趋向于0的极限方法。 4楼的解题过程也没有注意到这个问题，他把无穷级数 ∑（-1）^(K+1)提到积分号前边的做法是行不通的，事实上这个级数是发散级数，所以他后来又把这个级数拿到积分号下。这个问题还说明： 做这个积分时，需要使用一致收敛性下的逐项积分。
总之，联系一切‘中介’的唯物辩证分析方法是必须的。最后必须把等式 ∑【（-1）^(K+1)】/k^2=π^2/3 改写为极限性等式或全能近似等式。
“无穷次相加的操作是无法进行的，必须使用达不到的极限性趋向方法”。 这就是我上网一万多次所说的中心思想。 对无尽小数0.333……的问题就是来源于这个思想。。

elim

老学渣篡改了无尽小数的定义．他的拉圾小数就是窝囊

永远

18楼分析出现漏洞
还需知道，18楼用到了等式 1/1+x=1-x+x^2-……这个等式右端是无穷级数，它是在x=1处不收敛，因此将e^-x代入时，x不能为0.这说明使用这个等式时，积分下限0 需要改为大于0的变数ε，再取ε趋向于0的极限方法。
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同意jzkyllcjl老先生24楼这句话观点，至于24楼除了这句话，其他语段持强烈反对态度

主贴为广义暇积分，现修改过程如下