素数出现率等于零的观点不符合无穷小量比较的极限基础理论

愚工688

大傻8888888 发表于 2019-12-15 13:12
我的依据是你引用的教科书“(1)若 lim u/v =0 ,这说明分子u趋于0的速度比分母v趋于0的速度要快得多 ...

“(1)若 lim u/v =0 ,这说明分子u趋于0的速度比分母v趋于0的速度要快得多，则称为u为比v高价的无穷小量，记为u=0(v);”
因此，你要举例在趋向无穷大的过程中，分子u趋于0的速度比分母v趋于0的速度要快得多，而不是什么“比如1/100要小于1/25,”

比如说：素数的发生率有两个形式：
1，基于艾氏筛法的连乘式得出的素数发生率：π[（p-1)/P]; p系自然数X内的√x内的最大素数。
在x→∞时，p也→∞；

那么你能够举出例子看看分子比分母趋于0的速度要快得多的例子吗？
π[（p-1)/P]=π（p-1)/π(p) =π[1/p]/π[1/(p-1)]

2,基于素数定理得出的素数发生率：π（x)/x ;
同样在x→∞时，π（x)→∞；
1/x、1/π(x)系两个无穷小量，它们的比[1/x]/[1/π(x)]=π(x)/x,
同样你能够举出分子比分母趋于0的速度要快得多的例子吗？

不要拍脑袋瞎说，要用数据来说话。

大傻8888888

愚工688 发表于 2019-12-16 22:45
“(1)若 lim u/v =0 ,这说明分子u趋于0的速度比分母v趋于0的速度要快得多，则称为u为比v高价的无穷小量， ...

     1/100要小于1/25。1/25是1/100的4倍.同时1/1000要小于1/168。1/168是1/1000的5.95238......倍。一直算下去1/π(n)则是1/n的任意倍(计算是先生的强项，我就不班门弄斧了)。也就等于在趋向无穷大的过程中，分子1/n趋于0的速度比分母1/π(n)趋于0的速度要快得多，难道不是很明显的吗？
     另外关于“基于艾氏筛法的连乘式得出的素数发生率：π[（p-1)/P]; p系自然数X内的√x内的最大素数。在x→∞时，p也→∞；”上面这个素数发生率公式不成立。正如π[（p-2)/P]也不是哥猜素数对的发生率一样。

lusishun

有人说愚工688是熊一兵先生，是吗？不可能吧。

愚工688

大傻8888888 发表于 2019-12-16 15:29
1/100要小于1/25。1/25是1/100的4倍.同时1/1000要小于1/168。1/168是1/1000的5.95238......倍。一直 ...

真实的x内的素数发生率是：π(x)/x ；《数论导引》（华罗庚编著）93页定理：x→∞时 π（X)/x →0；
而另外一种素数发生率：在x→∞时π(1-1/p)的极限值→0 。（见王元《谈谈素数》

但是这两种说法，都不符合无穷小量比较的极限基础理论。
先看看π(1-1/p)的极限值：
π(1-1/p)=π[（p-1)/P]=π（p-1)/π(p) =π[1/p]/π[1/(p-1)]
实验数据摘录：
p( 2 )= 3  , 1/π(p)= .3333333 , 1/π(p-1)= .5
p( 3 )= 5  , 1/π(p)= 6.667D-02 , 1/π(p-1)= .125
p( 4 )= 7  , 1/π(p)= 9.524D-03 , 1/π(p-1)= 2.083333E-02
p( 5 )= 11  , 1/π(p)= 8.658D-04 , 1/π(p-1)= 2.083333E-03
p( 6 )= 13  , 1/π(p)= 6.660007E-05 , 1/π(p-1)= 1.736111E-04
……
p( 135 )= 761  , 1/π(p)= 1.59E-318 , 1/π(p-1)= 9.469E-318
p( 136 )= 769  , 1/π(p)= 2.07E-321 , 1/π(p-1)= 1.233E-320
p( 137 )= 773  , 1/π(p)= 0 , 1/π(p-1)= 0

可以看到，这两个无穷小量趋于零的速度是差不多的；
依据(3)若 lim u/v =a (a≠0 ),这说明分子u与分母v趋于0的速度差不多，则称为u与v 为同阶的无穷小量；
它们之比应该是一个不为零的常数c 。

再看看实际素数发生率：π(x)/x 在x趋大过程中的变化情况：
看数x 每扩大10倍时实际素数数量π(x)的倍率变化【倍率k(x)=π(10x)/π(x)】：
x=10, π(10)=4;
x=10^2, π(10^2)=25;k(10)=6.25;
x=10^3,π(10^3)=168;k(10^2)=6.72;
x=10^4,π(10^4)=1229;k(10^3)≈7.315;
x=10^5,π(10^5)=9592;k(10^4)≈7.8047;
x=10^6,π(10^6)=78498,k(10^5)≈8.1837;
x=10^7,π(10^7)=664579,k(10^6)≈8.4662;
x=10^8,π(10^8)=5761455,k(10^7)≈8.6693;
x=10^9,π(10^9)=50847534,k(10^8)≈8.8255;
x=10^10,π(10^10)=455052511,k(10^9)≈8.925;
x=10^11,π(10^11)=4118054813,k(10^10)≈9.050;
x=10^12,π(10^12)=37607912018 ,k(10^11)≈9.132;
x=10^13,π(10^13)=346065536839 ,k(10^12)≈9.2019;
x=10^14,π(10^14)=3204941750802 ,k(10^13)≈9.261;
x=10^15,π(10^15)=29844570422669 ,k(10^14)≈9.312;
x=10^16,π(10^16)=279238341033925,k(10^15)≈9.356;
x=10^17,π(10^17)=2623557157654233,k(10^16)≈9.3954;
x=10^18,π(10^18)=24739954287740860,k(10^17)≈9.42993;
x=10^19,π(10^19)= 234057667276344607,k(10^18)≈9.4607
x=10^20,π(10^20)= 2220819602560918840,k(10^19)≈9.4883
x=10^21,π(10^21)= 21127269486018731928 ,k(10^20)≈9.5132
x=10^22,π(10^22)=201467286689315906290,k(10^21)≈9.5359;
x=10^23,π(10^23)=1925320391606803968923,k(10^22)≈9.5568
……
结论：
很明显的是：依据现有素数数据资料的分析，随数x的增大10^n倍，在n=1→n=23的过程中，素数数量比值K(10^n)逐渐的由6.25不断增大到9.55，
……
显然在指数n进一步增大的过程中，倍率值K(10^n)的趋向将逐渐接近于10。
显然素数发生率π(x)/x将趋于一个不为零的常数c .

同样也可以把素数发生率π(x)/x化成两个无穷小量之比：
π(x)/x=(1/x)/[1/π(x)]
那么怎么比较这两个无穷小量呢？
我们可以引入一个已知的无穷小量：1/√x ;
显然在x→∞时，√x→∞；但是√x是比x低阶的无穷大；
因此1/x是比1/√x高阶的无穷小量；这是已知的。

考察一下x→∞的过程中，[1/π(x)] /(1/√x)、 (1/x)/(1/√x)=1/√x   以及π(x)/x 的值变化：

x=10^2, π(10^2)=25;                     √x/π(x) = 0.4 ;             (1/√x)=0.1；       π(x)/x = .25 ;
x=10^4,π(10^4)=1229;                  √x/π(x) ≈0.08137 ;      (1/√x)=1e-2；     π(x)/x = .1229;
x=10^8,π(10^8)=5761455,            √x/π(x) ≈0.001736 ;    (1/√x)=1e-4；     π(x)/x ≈ .0576146;
x=10^10,π(10^10)=455052511     √x/π(x) ≈0.0002198;   (1/√x)=1e-5；     π(x)/x ≈ .0455053;
x=10^12,π(10^12)=3760……；      √x/π(x) ≈2.659e-5 ;     (1/√x)=1e-6；     π(x)/x ≈ .0376079;
x=10^14,π(10^14)=3204……；      √x/π(x) ≈3.1202e-6;    (1/√x)=1e-7；     π(x)/x ≈ .0320494;
x=10^16,π(10^16)=2792……；      √x/π(x) ≈3.58e-7 ;       (1/√x)=1e-8；     π(x)/x ≈ .0279238;
x=10^18,π(10^18)=2473……；      √x/π(x) ≈4.042e-8 ;     (1/√x)=1e-9；     π(x)/x ≈ .02473995;
x=10^20,π(10^20)=2220……；      √x/π(x) ≈4.503e-9 ;     (1/√x)=1e-10；   π(x)/x ≈ .0222082;
x=10^22,π(10^22)=2014……；      √x/π(x) ≈4.964e-10;    (1/√x)=1e-11；   π(x)/x ≈ .0201467;

从实验比较的数据显示：
1，∵ x→∞时 lim √x/π(x)比值很快的趋小,趋近于0 ；
     ∴1/π(x) 是比1/√x高价的无穷小.

2，因为 1/x与1/π(x)都是比1/√x 高价的无穷小量，且 π(x)/x ≠ 1，故1/x与1/π(x)是同阶无穷小量。
     依据 α(x)与β(x)是同阶无穷小量的比较定理，得出
     x→∞时 lim π(x)/x = C ≠0 ，即具有一个不为0的常数值。

大傻8888888

      在x→∞时π(1-1/p)的极限值→0 。(见王元《谈谈素数》)是说p通过所有素数的无穷乘积等于0，而不是素数发生率。恰恰王元证明上面的极限值是为了证明素数出现的概率为0。
      你的“数x 每扩大10倍时实际素数数量π(x)的倍率变化【倍率k(x)=π(10x)/π(x)】”跟1/π(n)是1/n的倍数完全是两码事。虽然列举了一大堆数据，和我们讨论的问题一点也不相干。
       另外两个无穷小量之间阶的高低，跟第三个无穷小量无关。只是看这两个无穷小量u和v“lim u/v =0 ,这说明分子u趋于0的速度比分母v趋于0的速度要快得多，则称为u为比v高阶的无穷小量”就行了。别的都是诡辩。就好比咱们两个我比你高，你非要找一个比咱们都低的人，说我比那个人高，你也比那个人高，所以咱们两人一样高了，难道不荒唐吗？

愚工688

大傻8888888 发表于 2019-12-17 15:02
在x→∞时π(1-1/p)的极限值→0 。(见王元《谈谈素数》)是说p通过所有素数的无穷乘积等于0，而不是素 ...

见王元《谈谈素数》章节12的标题是：《 素数的出现概率为零》
素数发生率与素数出现率有什么原则区别？不就一回事？

我的帖子就是谈论素数在自然数中的发生率，与素数在自然数中的出现率有什么原则上的区别？
你在极限的判断依据的是什么？怎么总是言顾其他的？
∵ x→∞时 lim √x/π(x)比值很快的趋小,趋近于0 ；
∴1/π(x) 是比1/√x高阶的无穷小，1/x是比1/√x高阶的无穷小；有错吗？
因为1/π(x) 与1/x都是比1/√x高阶的无穷小，所以1/π(x) 与1/x是同阶的无穷小量。有错吗？
因为1/π(x) 与1/x是同阶的无穷小量，所以它们之比的极限limx→∞时，有π(x) /x=c,(c≠0),有错吗？

但是我说过1/π(x)与1/x是相同的无穷小量么？
若lim α(x)／β(x)= c ≠0, 则α(x)与β(x)是同阶无穷小.   
特别 lim α(x)／β(x) = 1 ，则α(x)是β(x)是等阶无穷小，记为 α~β
等阶无穷小与同阶无穷小的概念不要混同啊。

你号称证明了素数出现率等于零的理论，既然来此讨论这个问题，不妨把你的证明也贴出来给大家欣赏欣赏。

大傻8888888

愚工688 发表于 2019-12-18 12:59
见王元《谈谈素数》章节12的标题是：《 素数的出现概率为零》
素数发生率与素数出现率有什么原则区别 ...

      “因为1/π(x) 与1/x是同阶的无穷小量，所以它们之比的极限limx→∞时，有π(x) /x=c,(c≠0),有错吗？”当然有错。
       第一：说1/π(x) 与1/x是同阶的无穷小量是错误的，因为1/π(x) 与1/x不是同阶的无穷小量，1/x是比1/π(x) 高阶的无穷小量。随着x趋近无限大，1/π(x) 是1/x的任意倍，也就是[1/x]/[1/π(x)]→0。我在22楼举了x=100和x=1000的例子，你在24楼不遵循我的例子计算[1/x]/[1/π(x)]，反而计算与这个问题毫不相关的π(10x)/π(x)，所以得出错误的结论。
       第二：“1/π(x) 与1/x它们之比的极限limx→∞时，有π(x) /x=c,(c≠0)”也是错误的，“1/π(x) 与1/x它们之比的极限limx→∞时，有[1/π(x)]/[1/x]→∞。另外π(x) /x=c,(c≠0)它们之比不可能是常数c，不论这个常数多么小，[1/x]/[1/π(x)]也就π(x) /x是随着x增大都可以小于这个确定的常数。所以你也不可能确定这个常数的实际值是多少，如不相信你可以计算，我确定你找不到这个常数。
       素数出现率等于零，我的证明很简单，根据素数定理素数的出现率π(x) /x=[x/lnx]/x=1/lnx，很明显当x→∞，则有lnx→∞，所以1/lnx→1/∞→0，也就是π(x) /x→0。
      

愚工688

大傻8888888 发表于 2019-12-18 14:44
“因为1/π(x) 与1/x是同阶的无穷小量，所以它们之比的极限limx→∞时，有π(x) /x=c,(c≠0),有错 ...

1/x是比1/π(x) 高阶的无穷小量。——这是你想当然得出的结论，而经不起实际的验证的。
24#的[1/π(x)] /(1/√x)、π(x)/x 的比值变化显示：
在x→∞的过程中，
无穷小量[1/π(x)] 比无穷小量(1/√x)高阶；
没有显示出无穷小量1/x比无穷小量[1/π(x)] 高阶。

你举的例子：随着x趋近无限大，1/π(x) 是1/x的任意倍，（22楼举了x=100和x=1000的例子）——这么小的数能够说明什么？

素数出现率等于零，我的证明很简单，根据素数定理素数的出现率π(x) /x=[x/lnx]/x=1/lnx，很明显当x→∞，则有lnx→∞，所以1/lnx→1/∞→0，也就是π(x) /x→0。 —— 这就是我的帖子的题目所说的：不符合无穷小量比较的极限基础理论 。

大傻8888888

愚工688 发表于 2019-12-19 22:12
1/x是比1/π(x) 高阶的无穷小量。——这是你想当然得出的结论，而经不起实际的验证的。
24#的[1/π(x)]  ...

你说不符合无穷小量比较的极限基础理论就不符合了吗？你的本事都超过数学专家了，咱们之间在这个问题上没有共同语言再讨论下去也没有什么意义，就此打住吧。

愚工688

大傻8888888 发表于 2019-12-20 01:54
你说不符合无穷小量比较的极限基础理论就不符合了吗？你的本事都超过数学专家了，咱们之间在这个问题上没 ...

素数的发生率π(x)/x 本来就是两个无穷大之比，也就是两个无穷小量（1/x)/[1/π(x)]之比。
极限基础理论已经就两个无穷小量之比的结果做了明确的定义。
你要来找错，欢迎。但是请按照极限基础理论讨论。
违反极限基础理论，自以为聪明的证明素数发生率趋于零的证明，不仅方法不符合极限理论，也不符合事实——素数趋于无穷多。