3生素数中项和的分布

白新岭

在它的逆三生素数中项的合成中只有3785个反例（这里不是用中项合成的，而是用最后一个素数），从倒数第二个反例7400396到最后一个反例12010148出现，跨越了将近460万，跨度之大罕见，正三生素数在1200万时也出现了反例，所以它们的分布不是均衡的（相对于模素数P的余数而言，不是指分布密度），但是总体上比正三生素数中项的合成要好的多，因为反例相对来说少了很多（主贴提到的三生素数中项合成结果中有4308个反例），绝对误差523个，反差很大，这从侧面说明，在小范围内，逆三生素数比正三生素数要多（或许对素数p的模余数种类的个数也较均衡）。
所以，一切与素数有关的线性方程解的有无只在小范围内出现（当然必须保证常数必须有合成方法，没有合成方法的，无论大小一律无解）。

白新岭

在2018年末就对三生素数（P，P+2，P+6）和三生素数（P，P+4，P+6）的中项和的分布做了详细分析，它说明了大于1200万以后基本上不再出现反例。对它们两组三生素数之间的间距也做了一定量的分析。在这素数王国永远有解不开的谜底。

白新岭

现在验证的结果是：用三生素数(P,P+2,P+6)的中项合成新的偶数（在能被合成的数中）有4320个无解，以前的计算结果是4308个，现在多出了12个，不知道哪个值准确。

yangchuanju

K生素数遍历偶数问题探讨

近期，白新岭、熊一兵等人多次发贴，声称：
一切二生素数皆可遍历全体偶数（在小范围内存在少量反例），意思是说仅用二生素数中的两个素数之和可以得到全体偶数，如孪生素数对（P,P+2）,二生素数(P,P+4),一般二生素数的表示形式(P,P+2N).
等差3生素数(6)可以遍历全体偶数，它是(P,P+6,P+12).
等差4生素数(30)可以遍历全体偶数，它是(P,P+30,P+60,P+90).
等差5生素数(210)可以遍历全体偶数，它是(P,P+210,P+420,P+630,P+840).
..........（摘自《熊一兵命名 白新岭K生素数哥德巴赫定理》三楼）
哥德巴赫猜想“大于等于6的偶数可以表示成两个素数之和”提出300多年来，至今仍然没有人真正证明。本人认为它肯定是正确的。

按白新岭先生的说法“一切二生素数皆可遍历全体偶数”，若二生素数中间含有其它素数，则一切二生素数便涵盖了所有素数，“一切二生素数”即是“所有素数”，问题回到了哥德巴赫猜想的原点，没有任何实际意义；若二生素数不计中间含有的其它素数，则“一切二生素数”也涵盖了所有素数。显然白新岭的想法不是如此。
推测白新岭先生可能是想说“任一类二生素数皆可遍历全体偶数”，若此猜想正确，则哥德巴赫猜想便得到证明，且比哥德巴赫猜想升了一个大大的台阶。

yangchuanju

已经被人验证，孪生素数可能覆盖（遍历）除94,96,98等30多个偶数以外的全体偶数，但只是验证，不是证明。
偶数按模6的余数可分成模6余0、余2、余4三类，孪生素数均为模6余1和模6余5的。若两个孪生素数（不是一对孪生素数）都模6余1，则其和便模6余2；都模6余5，则其和便模6余4；若两个孪生素数一个模6余1一个模6余5，则其和模6余0。覆盖了偶数模6的全体余数。
间距为4的二生素数（表兄弟素数）与孪生素数相似，也可能覆盖（遍历）除少数偶数以外的其它偶数。表兄弟素数模6的余数也是1和5，两个表兄弟素数模6余数之和也覆盖了偶数模6的全体余数。
间距为6的二生素数在其中间没有其它素数的有（23,29）、（31,37）、（53,59）等，要么都模6余1，要么都模6余5；其模6余数之和虽可覆盖偶数模6的全体余数，但两素数之和能否覆盖全体偶数需证明，起码要用大量素数验证。
若间距为6的二生素数中间（但不计入）还有其它素数的有（7,13）、（11,13）、（13，19）等，同样要么都模6余1，要么都模6余5；其模6余数之和同样可覆盖偶数模6的全体余数。这种二生素数涵盖了上一种二生素数，若上一种二生素数之和可遍历除少数偶数以外的全体偶数的话，自然这一种二生素数也可遍历除少数偶数以外的全体偶数。

“等差3生素数(6)可以遍历全体偶数，它是(P,P+6,P+12).”可分割成两个间距为6个二生素数，但数量上肯定要比间距6的二生素数少一些。
若两个间距为6的二生素数之和可遍历全体偶数，则自然两个等差三生素数（6）之和可遍历全体偶数。它实际上是上一工况的降级。

yangchuanju

白新岭先生在其《3生素数中项和的分布》中试图验证最密三生素数（0 2 6）或（0 4 6）也可遍历除少数偶数以外的全体偶数。
“用3生素数中的素数做两个素数的加法，其结果是只有模30余14，18，20的三类偶数没有素数分拆，其余的12种余数都有。这样全体偶数有80%的能用3生素数中的两个素数表示，只有20%的偶数不能用3生素数中的素数表示。”
若不用三生素数中项，则问题回到“间距为6的二生素数”能否遍历全体偶数的问题。
（0 2 6）型三生素数有（11,13,17）和（17,19,23）两类，分别模30余11,13,17和17,19,23，取含5种不同余数的两个三生素数两两相加，所得偶数模30的余数有12种。
已知全体偶数模30的余数共15种（0 2 4 ……28），（0 2 6）型两个三生素数和模30余数中没有14,18和20三种。
（0 2 6）型两个三生素数和能否遍历模30除余数等于14,18,20以外的其它全体偶数？白新岭先生认为除3000多个偶数外皆可，并在文中给出了大于100万的428个具体数字，并说大于900万以后再也没有反例了，试图说明猜想是正确的。
经本人复核，白新岭先生所给“反例”不正确，反例一1001458就可表示成11对不同的两三生素数之和。
又经本人计算，得知在100万至110万间的5万个偶数中仅有39854个偶数可拆分成两个（0 2 6）型三生素数之和，除去1万个模30余14,18,20的偶数以外，还缺146个偶数不能拆分成两个（0 2 6）型三生素数之和，较小的三个分别是1001452,1001454,1001456。

等差4生素数(30)能否遍历全体偶数，等差5生素数(210)能否遍历全体偶数，不再论及。
反例太大，不宜当作“定理”使用！

以上观点正确否，敬请白新岭老师和熊一兵老师指正！

白新岭

3生素数有两种形式，一种是（P,P+2,P+6),另一种是（P,P+4,P+6)，这里的三生素数是第一种形式，中项即P+3.其公式D3中（N）=17.2986185466273*∏\({P_i-4}\over{P_i-6}\)∏\({P_j-5}\over{P_j-6}\)*\(N\over(ln(N))^6\),\(P_i\)≥7,N≡-2，0，4mod\(P_i\)；\(P_j\)≥7,N≡-6，2，6mod\(P_j\)；当N≡4MOD5时，还需要乘2.
这是对主楼做了公式编译。

yangchuanju

已经查清，跨距6的最密三生素数可分2种4类：模6余1的（046型）有7+11+13和13+17+19；模6余5的（026型）有11+13+17和17+19+23各2类。
在10^12以内最密三生素数和10^8以内两种最密三生素数数量为：
A055737        026型        046型
1 0        0        0
2 8        4        4
3 30        15        15
4 112        55        57
5 507        259        248
6 2837        1393        1444
7 17220        8543        8677
8 111156        55600        55556
9 759256        ——        ——
10 5425573        ——        ——
11 40174725        ——        ——
12 305689269        ——        ——
白新岭先生有意计算出100亿（10^10）以内全部三生素数表，须知总数量有542万5573个之多。
笔者仅计算出1200万以内两种三生素数各10000多个，不打算再计算更大更多的啦。

yangchuanju

已经查清，仅用026或046型三生素数中的一种是不能覆盖全体偶数的，仅含模30的8类素数中的5种，
至多覆盖模30的15类偶数中的12种；但用两种三生素数是可以覆盖模30的全部15类偶数的。
026型三生素数可覆盖模30的12类余数之偶数（缺14,18,20）：
素数        11        13        17        19        23
11        22        24        28        30        4
13        24        26        30        2        6
17        28        30        4        6        10
19        30        2        6        8        12
23        4        6        10        12        16

046型三生素数可覆盖模30的12类余数之偶数（缺10,12,16）：
素数        7        11        13        17        19
7        14        18        20        24        26
11        18        22        24        28        30
13        20        24        26        30        2
17        24        28        30        4        6
19        26        30        2        6        8

yangchuanju

白新岭先生在其《3生素数中项和的分布》2楼中写道：
如果mod（2n，30）=28有解，则说明30nj+11，30nj+13，30nj+17与30ni+11，30ni+13，30ni+17有组合，那么就得到30nj+30ni+22有一组，30nj+30ni+24有两组，30nj+30ni+28有两组，30nj+30ni+26有一组，30nj+30ni+30有两组，30nj+30ni+34有一组，也就是说，如果中项有一组解，那么有6种余数有解，且为22/24/26/28/30/34=1/2/1/2/2/1;

如果mod（2n，30）=10有解，则说明30nj+17，30nj+19，30nj+23与30ni+17，30ni+19，30ni+23有组合，那么就得到30nj+30ni+34有一组，30nj+30ni+36有两组，30nj+30ni+40有两组，30nj+30ni+38有一组，30nj+30ni+42有两组，30nj+30ni+46有一组，也就是说，如果中项有一组解，那么有6种余数有解，且为4/6/8/10/12/16=1/2/1/2/2/1;

如果mod（2n，30）=4有解，则说明30nj+11，30nj+13，30nj+17与30ni+17，30ni+19，30ni+23有组合，那么就得到30nj+30ni+28有一组，30nj+30ni+30有两组，30nj+30ni+34有两组，30nj+30ni+32有一组，30nj+30ni+36有两组，30nj+30ni+40有一组，也就是说，如果中项有一组解，那么有6种余数有解，且为-2/0/2/4/6/10=1/2/1/2/2/1;

通过以上分析可知，对模30余14，18，20的三类偶数没有组合方法，也就没有三生素数中的素数分拆。
如果不用中项，而用3生素数中的素数做两个素数的加法，其结果是只有模30余14，18，20的三类偶数没有素数分拆，其余的12种余数都有。这样全体偶数有80%的能用3生素数中的两个素数表示，只有20%的偶数不能用3生素数中的素数表示。

白先生上述分析仅指026型三生素数，046型三生素数应该与此类似。
白先生费尽周折，无非是求最密三生素数中的各个素数两两和究竟能覆盖（遍历）哪些偶数类型。

商榷：
白先生在其多篇博客中习惯用“*生素数中项”和“*生素数中项和”等名称，
须知对于p,p+6,p+12型三生素数有中项p+6可言，中项和就是2p+12；
但对于026或046型三生素数并无中项可言，p+3不是三生素数的一项，把p+3当作三生素数的中项令人费解。
对于白先生自定义的三生素数中项14和20，中项和28,40及34，除非对白先生的博客专门研究后才能理解，
然而又有多少人对您的博客做专门研究哪？
笔者对白先生的博客浏览不少，对其中项和也只能说是“一知半解”；
对于白先生的“中项和分布”规律、“中项和数量公式”基本不再过问，瞧一眼拉倒！