趣味几何－平面上一点与正三角形

denglongshan

利用托勒密定理容易证明。

denglongshan

如果P不在平面ABC上，则PA+PB＞PC。

ccmmjj

denglongshan 发表于 2015-4-14 13:56
利用托勒密定理容易证明。

兄弟你用托勒密证一下。

红树

命题不一定成立

ataorj

继续分析负数对平方的影响
如图
c^2=p^2+q^2
b^2=p^2+(q+2)^2
a^2=(p-√3)^2+(q+1)^2
显然,a,b,c不允许取负值,p,q允许.主题是说a,b,c任意两者之和不小于第三者.P点任意,所以a,b,c相互间可以相互转换.我们使用方便计算的组合方案即可.
主题是求b+c和a的关系,记为c+b#a
两边平方:
p^2+q^2+p^2+(q+2)^2+2√{[p^2+q^2][p^2+(q+2)^2]}
#(p-√3)^2+(q+1)^2
即:

2√{[p^2+q^2][p^2+(q+2)^2]}
#-2p√3+2q-p^2-q^2-4q
1) 右>0时,得到p,q取值范围[下同],上式两边可继续平方而分析.注:此时#方向[指>和<]不变.
2) 右=0时,左>=右,#='>=',其中'='需要分析.
3) 右<0时,左>右,#='>'
这样就应该可以完成分析,具体过程略.
注意:p,q取值范围可能需要优化合并,因为可能重叠.

kanyikan

分P点在正三角形内部和外部两种情况。
对于P在正三角形外部的情况，注意P在正三角形外接圆上的情形。

denglongshan

原来的回复表达不准确，应该说用托勒密不等式很容易，托勒密不等式是说：
对于平面上任意四点A、B、C和D，AB×CD+BC×AD≥AC×BD
把D换成P，立即可以证明，不过等号的情形困难些。
已经把托勒密不等式推广到高维空间，陆老师以前证明过。
托勒密不等式最简单的证明方法是用复数证明，令人叹奇的是这个不等式可以转换成向量商等式，可惜学界对向量商不承认。

kanyikan

当时没仔细想，有纰漏。
现给出完整证明，此题并非难得需要长篇大论证明，只要注意到旋转变换，问题就迎刃而解了。

kanyikan

ccmmjj

kanyikan 发表于 2015-4-16 15:43

kanyikan兄证得好，利用正三角形的特点用旋转法直观简捷，推荐陆老师转帖。