将五个数字连成一环，使得这些数以及相邻的二、三、四、五个数之和，分别等于 1～21

ccmmjj

我通过手工计算，n=3时，是三个数（1，2，4）任意排列。
n=4时是（1，2，６，４）这四个顺序轮换。
n=5时答案如上，n=6时据你们计算机推算可以有五个解，好象n越大解就应该更多似的，如果到了n=7时反而无解，这说明了什么？难道在n>=7后就没有解的吗？会计算机的网友赶快编程算一下，从n=7算到n=10，当然越多越好，如果算到10都没有解，我就要猜测可能在n>=7后都没有解，就要试着下手进行无解的证明。如果是有的有解，有的无解，那情况就复杂了，想分清哪些有解、哪些无解，难度上远超一定有解或一定无解的证明。这绝不是白新岭讲的什么线性方程组那么简单。@天山草@ fungarwai 。

天山草@

今天算了一下，证实了 n = 7 时无解！ n 大于 7 时有没有解？估计够呛，无解的可能性很大！

天山草@

  ' 一条手串由七颗珠子穿成。每颗珠子上刻有一个数字。数字总和为 43。其中一个珠子上的数字是 1。各颗珠子上的数字集合记为{A1}={1，……}。
     ' 相邻两颗珠子上的数字和记为集合{A2}，相邻三颗珠子上的数字和记为集合{A3}，以此类推。全部七颗珠子上的数字和记为集合{A7}={43}。
     ' 若{A}={A1}+{A2}+{A3}+{A4}+{A5}+{A6}+{A7}={1，2，3，4，5，…，42，43}，求每颗珠子上的数字是什么。
     ' 从刻有 1 的珠子开始，逆时针向转一周，设这七颗珠子上的数字依次是 1，x，y，z，u，v，t。
     ' x，y，z，u，v，t 的解集 {x},{y},{z},{u},{v},{t}都应小于{2，…，m}。那么 m 是多少呢？
     ' x、y、z、u、v、t 的和是 43-1 = 42，这六个数中必有一个是 2，所以其余五个的和是 42-2 = 40。那么这五个数中的最大者可能
     ' 大到多少呢？假定五个中的最大者其值有可能达到 m，则 3+4+5+6+m=40，因此 m 最大也不会超过 40-3-4-5-6=22。
     ' 下面用穷举法寻求 x、y、z、u、v、t 的值。
   
Private Sub form_Click()
     Open "七颗珠子.txt" For Output As #1
     
     Dim a(43)
     n = 43
     m = 22
     s = 0
     For x = 2 To m
      For y = 2 To m
       For z = 2 To m
        For u = 2 To m
         For v = 2 To m
        t = 43 - 1 - x - y - z - u - v
        a(1) = 1: a(2) = x: a(3) = y: a(4) = z: a(5) = u: a(6) = v: a(7) = t
        a(8) = 1 + x: a(9) = x + y: a(10) = y + z: a(11) = z + u: a(12) = u + v: a(13) = v + t: a(14) = t + 1
        a(15) = 1 + x + y: a(16) = x + y + z: a(17) = y + z + u: a(18) = z + u + v: a(19) = u + v + t:
        a(20) = v + t + 1: a(21) = t + 1 + x
        a(22) = 1 + x + y + z: a(23) = x + y + z + u: a(24) = y + z + u + v: a(25) = z + u + v + t:
        a(26) = u + v + t + 1: a(27) = v + t + 1 + x: a(28) = t + 1 + x + y
        a(29) = n - 1 - x: a(30) = n - x - y: a(31) = n - y - z: a(32) = n - z - u: a(33) = n - u - v:
        a(34) = n - v - t: a(35) = n - t - 1
        a(36) = n - 1: a(37) = n - x: a(38) = n - y: a(39) = n - z: a(40) = n - u: a(41) = n - v: a(42) = n - t
        a(43) = n
        
     For i = 1 To n - 1   '从小到大排序
          Min = i
        For j = i + 1 To n
         If a(j) < a(Min) Then Min = j
        Next j
        t = a(i)
       a(i) = a(Min)
       a(Min) = t
     Next i               '排序结束
     
     For i = 1 To n - 1   '寻找符合要求的排序，即结果为{1,2,3,…,43}的排序。
       If a(i) <= 0 Then GoTo 111         ' 小于等于零，舍弃。
       If a(i) = a(i + 1) Then GoTo 111   '相邻者数字相同，舍弃
     Next i
       If a(43) = a(1) Then GoTo 111      '首尾数字相同，舍弃
      
     s = s + 1   ' 符合条件的有一个，计数器加一。
     
     Print x, y, z, u, v, t        '显示符合条件的解
     Print #1, x, y, z, u, v, t
     
111: Next v
     Next u
     Next z
     Next y
     Next x
     Print "s="; s: Print #1, "s="; s
     Print " 无解!": Print #1, " 无解!"
      Close
      End Sub

程序运行 5 分钟，给出下面的结果：

s = 0
无解!
   

王守恩

天山草@ 发表于 2019-2-9 12:56
' 一条手串由七颗珠子穿成。每颗珠子上刻有一个数字。数字总和为 43。其中一个珠子上的数字是 1。各 ...

谢谢天山草！辛苦了！我不会软件，只能干着急。
因为是环，我们不妨这样想：
1，数字总和 43。我们只要算出0——21即可。
   0对应43，1对应42，2对应41，3对应40，.......
2，7个数。只要算1个数，2个数，3个数即可。
  只要1个数的和是不同的，则6个数的和肯定是不同的
  只要2个数的和是不同的，则5个数的和肯定是不同的
  只要3个数的和是不同的，则4个数的和肯定是不同的
3，7个数动不了，但43换44，45，....试试。

天山草@

如果把 43 放大，换成大于等于 44，那么最后形成的数列就不会从 1，2，3，……一直连续到 44 了，中间必有缺位的。这样就不符合问题要求了。

原因是 n (n-1)+1 增加的太慢，下面的数字就没有生存空间了。戏就到此结束了。

天山草@

下面这个程序是用 mathematica 软件编写的。（作者为【数学研发论坛】的管理员 wayne）
n = 6;
arr = a /@ Range[n];
target = Flatten[{Total[arr],
    Table[Total[RotateLeft[arr, i][[1 ;; k]]], {i, 0, n - 1}, {k, 1,
      n - 1}]}];
data = Subsets[Range[n (n - 1)] + 2, {n - 2}];
Reap[Timing[
  Do[tmp = Select[Permutations[Join[{2}, d]],
     Length[Tally[
         Differences[Sort[target /. Thread[arr -> Join[{1}, #]]]]]] ==
        1 &]; If[Length[tmp] > 0, Sow[tmp]], {d, data}]]]

运行结果：（珠子上数字是 1 的未显示在结果中）



把程序第一行中的 n 赋以别的值，就有相应答案。但是 n=7 就不行了。

王守恩

天山草@ 发表于 2019-2-9 13:41
如果把 43 放大，换成大于等于 44，那么最后形成的数列就不会从 1，2，3，……一直连续到 44 了，中间必有 ...

这方程解不了了？
Solve[1+a+b+c+d+f+g==43 && a>0 && b>0 && c>0 && d>0 && f>0 && g>0 && 1!=a!=b!=c!=d!=f!=g
!=1+a!=a+b!=b+c!=c+d!=d+f!=f+g!=g+1!=1+a+b!=a+b+c!=b+c+d!=c+d+f!=d+f+g!=f+g+1!=g+1+b, {a, b, c, d, f, g}, Integers]

白新岭

大于43肯定无解，既然6个数可以表示31个连续自然数，那用7个数字肯定能表示32-38之间的数39-43的数能不能表示需要验证，43当然就不用验证了。

天山草@

这类问题从列方程、解方程的方面入手考虑，困难非常大。
解出那些未知数以后，还要面对它们如何排列的问题。

像下面这个四元的线性方程组，软件运行几小时可能也算不出来。而如果改用穷举法，几秒钟就能给出答案。

波浪

天山草@ 发表于 2019-2-8 04:35
我用 VB6 的编程思路如下：

' 一条手串由六颗珠子穿成。每颗珠子上刻有一个数字。数字总和为31。其中一 ...

好久没有看到天山草了，老兄过年好！
波浪在哥猜论坛中写出了一个李明波幂和猜想，望抽空评论。