|
|
楼主 |
发表于 2019-2-12 10:19
|
显示全部楼层
接19#楼，一下是一天多的进展
2019年2月10日：晚上
如果一个素数*(2^m+1)^d=2^k+1则该素数的余数类为2k，例如，
素数11,11*3=33=2^5+1=11*(2^1+1),所以11的余数为2*5=10，当然33
的余数类是10，一个是合数，一个是素数，它们的余数类目数相同；
在如素数41,41*5^2=1025=2^10+1=41*(2^2+1)^2,所以素数41的余数
类目数为2*10=20；也就是说41与1025等价，在数列2^n-2中具有相同
的余数个数(不是余数值相同);素数19,19*3^3=513=2^9+1=19*(2^1+1)^3
所以素数19的余数个数为2*9=18，与合数513的相同，两个命题牢固
的控制自己的属性，只要写成它们的形式，如果另一因子不是它的形式
则无条件服从命令，具有和自己一样的余数个数。这是2^k+1形式的数。
那2^K-1形式的数是不是也有类似性质呢？
捞到一条大鱼，素数683,683*(2^1+1)=2049=2^11+1,所以683仅有2*11=
22种余数，通过这几个例子可以看到，对于2^K+1形的数，如果它不是
素数，则只能写成一个素数*(2^m+1)形的素数因子，所举例子只有3,5
和它的次幂形式，下一个素数为17具有该形式，而9是3的平方，所有
3的次幂，所有5的次幂，以及3与5的混合连乘积形式，皆是合数2^k+1
能有的因子，另一个素数就是它的同命鸳鸯，它会牢牢的把握住它，
而2^k+1形的素数很少，所以一个合数肯定对应着一个非它形式的素数
素数3,5，已经分析过了，合数9是3的2次幂，它=3*2=6种余数，只用
一个素数3的余数个数，另一个作为因子不变（即相乘），多次幂一样
只有一个是采用它的余数个数，其余的都原封不动参与乘法运算，就是
余数种数；17是素数；33分析过了，与11为一对；65是13*5，所以13的
余数种数为2*6=12；129是43*3，所以43的余数为2*7=14；这时候找到
感觉了，好像所有的余数种数都有2^k±1中的k和正负号控制，真是
秀才遇见兵，有理说不清，只要进了我的圈，你就的认命，不许另行
行事，只能按我的套路走。继续分析下一个，257是素数（这是第4个
这样的素数，它们分别为3,5,17,257（也是费马素数））；513分析过了
1025分析过了；2049分析过了；4097=17*241,所以241有12*2=24种余数
8193除3为2731是素数，则2731仅有2*13=26个余数，这条鱼也很大，
不过后边的大鱼会更多；16385除5后不是素数，又除17或3都除不尽，
难道它有2^K-1形的因子,没有，出了鬼了，它是5*29*113的杰作，显然
29与113都不能写成2^K±1的形式，我查对了，它们各自都是2*14=28
种余数，当不是有2^m+1形因子构成时，它们的因子的余数种类都一样；
这是一种新发现，合数的因子居然与它的因子的余数个数相同，太
神奇了；我还想用它除具有与它一样构成的因子外只有一种其它因子
去判断素数，这泡汤了，说不定还有3,4，……等等多个因子有同样
余数个数的情况；32769除3=10923/3=3641/11=331，这好像不对头 ，
11与331皆不能表示成2^m+1形式，331好说，11这怎么论，它只能有10
个余数类，它服从33的关系，前边已经分析过，安这种推论，可以这样
判断，对于已经有了对头准的，从它以前小的，如果没有出现过，从
新的，这样只有331是与32769对应关系，为2*15=30；65537是素数；
131073=3*43691这真是个大家伙，它的余数也少的可怜，仅有2*17=34
262145/5=52429=13*37*109，这里的13从65,37与109都从262145，各有
2*18=36个余数（当然37的满了，因为每个素数最多有P-1个余数）；
看来真有先来后到之说，否则那些小素数就不合规率了；
524289/3=174763是素数，够大吧，但它的余数类数少的可怜，仅有2*19
38个余数类；往后会有更大的等待你去挖掘宝贝。
2019年2月11日：上午
1048577/17=61681为素数，所以它只有2*20=40种余数类，对于一个
2^k+1形的数，首先要看一看能不能被3整除（各数字和能整除就能），
被5整除更容易判断（末尾是5），如果都不能就用17，下一个257，
一般情况用不到65537，再大的至今未果，接下来就得用素数表了，
但是用这种倒推法比起用每个素数去试要容易的多。
2097153/3=699051/3=233017/43=5419,43为129的对应关系，为14种余
数，5419是素数，它有2*21=42种余数类，所以5419与2097153是对应
关系；4194305/5=838861/397=2113,397与2113都是4194305的对应数，
余数的类数相同，都是有2*22=44种，这里捎带说明一下，每个素数减
1后肯定有44的因子，即能整除它，397-1=396=44*9,2113-1=2112=44*
48，这就是占几分之几的原因，所以数列2^n-2模素数P除了它是
2^K±1的形式外，或者能写成P*（2^m±1）=（2^K±1）的式子外，
在后一种形式中，可以是多个不同的素数P，也可以有（2^m±1）多次
幂的形式，只是不知道是否有（2^m±1）同号的混合形式，即有3也有
5，或者既有5也有17，多数情况是没有吧，因为它们赶不到（2^K±1）
继续下一个，8388609/3=2796203为素数，所以它有2*23=46种余数类；
16777217/257=65281/97=673，这是第一个用到257的合数（2^K+1形），
所以97与673皆为16777217的对应数，都是有2*24=48种余数类；
33554433这可以说是最优美的一个数了，它有和谐美，成双成对，
3,4,5又是勾股数，即3^2+4^2=5^2,而且它的2^25+1=2^5^2+1，扯得远
了，回到正题，33554433/11=3050403/3=1016801/251=4051,有一个
一箭双雕有251与4051（都是以51结尾），它们都是有2*25=50个余数类
67108865/5=13421773/53=253241/157=1613,这中间含有3个素数，53，
,157,1613，它们都有2*26=52个余数类，53满了（余数-2，即51不能
取到），现在想到另外一个问题，即它们减1后是52的倍数，这样
有可能形成等差数列，157-53=104，1613-157=1456，它们的距离
很远，既是2次等差数列也连不到一起，算了。134217729当我看到
此数时，蒙了，它对应27,2倍是54，比53都大，怎么可能，又仔细
比对，才发现，是与13421773混淆了，虚惊一场，增0减1能得到，也
算巧合，还是继续分析134217729/3=44739243/3=14913081/3=4971027/
3=1657009/19=87211是素数，素数19已经随2^9+1去了（即含19因子），
有先来后到之说，就不讨论19了，87211有2*27=54个余数类；
268435457/17=15790321为素数，它有2*28=56个余数类；再一次印证
2^K+1形的数，所含因子数很少。536870913/3=178956971/59=3033169
是素数，59与3033169都是2^29+1的对应数，有2*29=58个余数类，59
满了(只有-2,即57余数不存在);1073741825/5=214748365/5=42949673
除13=3303821/41=80581/61=1321,13是2^6+1的因子，41是2^10+1的因子
它们已有了归属，61与1321都是有2*30=60个余数类,61满了(差余数-2)
即59；2147483649/3=715827883应该是素数，我的电脑验算不了，
在30000内没有素数因子，所以它有2*31=62个余数类；
4294967297/641=6700417是素数，所以641与6700417都有2*32=64种
余数类，这里没有了3,5,17,257,65537的素数因子，这就是说，即便
是合数，也不一定含有（2^K+1)形的素数因子，这是第一个例子。
641=5*2^7+1,因为它是费马数，所有费马数没有相同因子，费马数是
2^2^m形，m为非负整数，这里的m=5所以，641=5*2^7+1,另一个6700417
应该也能写成5*2^k+1的形式，3*17449*2^7+1,看来只有一个式子中
出现了m的值，没有理解费马数具有因子的形式，这里的2的7次幂
8589934593/9=954437177/67=14245331/683=20857,67,683,20857，
67满了为2*33=66种，可（683-1）/66=10右1/3,不是整数，不知它从
20857减1后除66为316可以除尽，应该不差是66种余数类，这683何解，
我实验了一下它是2^11+1的素数因子，所以有22种余数类，与前边的
距离长了，忘记了，还好总算没有不懂规矩的素数，它们都以2^K+1的
数为核心，到现在为止，所有2^K+1形的数，如果不是费马数，就一定
含有费马素数(中3,5,17,257,65537之一,还没有找到还有混合的情况）
17179869185/5=3435973837/137=25080101/953=26317,这里有3个素数
(一般情况下都是把费马素数排除掉，因为它的余数类目数已经确定，
再者，除了费马素数外，其它合数都含有至少一个费马素数），那137
953和26317都有2*34=68个余数类;含有3个因子，还有2个因子的都有了
些例子，随着k的增大可能还有含更多因子的情况，不知道2^K+1中
是否含除了素数因子2以外的所有因子（但是2^n-2中含有所有素数因子
因为在那个数列中，任何素数都有被整除的情况，因为2^n不能整除
任何除素数2以外的素数）。
34359738369/3=11453246123/11=1041204193/43=24214051/281=86171
11是33的因数，43是129的因数，所以281与86171是2^35+1的因数，
它们各有2*35=70个余数类；
68719476737/17=4042322161/241=16773121/433=38737,含有3个素数
241,433,38737，而241是2^12+1的因子，所以只有433和38737有2*36=
72个余数类；
137438953473/3=45812984491/1777=25781083,含有两个素数1777，和
25781083它们都有2*37=74个余数类;
274877906945/5=54975581389/229=240068041/457=525313,也是3个
素数的积，229,457,525313它们是公平的，都是各有2*38=76个余数类
549755813889/3=183251937963/3=61083979321/2731=22366891,
含有两个素数2731与22366891，它们各自都有2*39=78个余数类；
现在先放一放，回过头来分析2^K+1的余数情况，因为2^K不能整除3，
所以在2^K+1的数列中，每隔一个数就有被3整除的情况，另一个不能
被3整除，这就是说50%的项是合数，有3的因子；同理2^K+1的数被5
整除的占25%，而且它们不发生交叉，即能被3整除，一定不被5整除，
所以经过3,5的筛选，只有1/4的数可能是素数，这与自然数集中不同，
到了5时（过了2,3的筛选），会有8/30有可能是素数，素数7不起作用
任何2^K+1形的数没有素数因子7（以后的素数23),看来2^k+1的数中，
有好多素数因子没有，问什么它含的素数那么少呢？能证明在2^k+1
中只要k不能表示成2^m次幂的形式，就一定是合数吗？
素数17与3和5也不交叉，所以所有费马素数，在2^k+1的数列中，任何
一项只能含它们的素数之一，而其他素数就不确定了，再者在它的数列
中还有好多素数不能含到7,23,47,71,73,79,89，后边的无法判定,看来
好多（这与费马因子不同）。
费马素数对2^K+1是否为素数，筛选的很快，3筛掉了一半，5又筛掉
所剩的一半，17又筛掉所剩的一半，257又筛掉所剩的一半，65537又
筛掉所剩的一半，只有2^32+1的没有被筛掉，所以每一个费马素数的
贡献率都是50%，总能在上一个的基础上筛掉一半，所以到素数65537
时已经筛的数列2^K+1中31/32的合数了，只有1/32的数可能是素数，
比起自然数的筛选快的多。
所以非费马数都是合数，且一定含有费马素数，只有费马数有可能是
素数，也只有费马数不含费马素数。
1099511627777/257=4278255361,多数为素数，在1千万内没有找到因子
它结尾4个7很是优美，用2^K+1也能表示出这样的数，它唯一的一个
素数因子4278255361有2*40=80个余数类;
2199023255553/3=733007751851/83=8831418697为素数，83与它都有
2*41=82个余数类，83的余数类满了（它不能取余数-2，即81）；
4398046511105/5=879609302221/13=67662254017/29=2333181173/113
20647621/1429=14449,所以它含有除费马素数以外的5个素数，到现在
为止应该是最多的了,13是2^6+1的因子，29是2^14+1的因子，113也是
2^14+1的因子,只有1429与14449是2^42+1的对应数,为2*42=84个余数类
2019年2月11日：晚上
8796093022209/3=2932031007403可能为素数，用1千万内的素数没有
找到素数因子，所以它有2*43=86个余数类；
17592186044417/17=1034834473201/353=2931542417为素数，所以353，
2931542417两个素数都有2*44=88个余数类；
35184372088833/3=11728124029611/3=3909374676537/3=1303124892179
除11=118465899289/19=6235047331/331=18837001为素数，11是2^5+1
的因子，19是2^9+1的因子，331是2^15+1的因子，这样的例子前边不
少了，它们已有了归属，这里就不再另行计算，所以只有最后一个素数
18837001有2*45=90个余数类；(10240229^2=104862289972441以下素数
70368744177665/5=14073748835533/277=50807757529/1013=50155733/
1657=30269,它一下解决了四个素数的余数种类数，都是2*46=92种余数
140737488355329/3=46912496118443/283=165768537521为素数，94种；
281474976710657/65537=4294901761/193=22253377为素数,2*48=96种；
562949953421313/3=187649984473771/43=4363953127297,43是2^7+1的
因子，所以4363953127297有余数种类2*49=98.我的电脑精度只能到此。
以上分析了所有2^K+1形所含因子情况，也给出了它们所涉及到的素数
拥有余数种类的数目。
总结一下，所有2^K+1形的数，如果不是2^2^m+1形的费马数，则必含有
费马素数，所以素数只产生在2^2^m+1形的费马数中，所以费马素数
少之又少，现在知道的仅有5个：3，5,17,257,65537，费马数的因子有
固定形式；素数乘数后能写成2^K+1的形式，取最小K的2倍即为它的
余数类目数；在2^K+1形式中不能覆盖所有素数，有好多素数不是它的
因子，这样的素数在小范围内就可以找到好多。
从整个分析过程可知，除了能写成2^K±1形式的素数外，我猜想其它
素数对数列2^n-2中的余数都是P-1中，可是每个素数因子都包含在
2^n-2序列中，它提取公因子2后，就变成了2^K-1的形式，所以每个素数
有都可以写成2^K-1的形式，不知道是否会发生冲突。在研究2^K-1以后
再说吧。
|
|
IP卡
狗仔卡
显身卡
发表于 2021-3-10 15:07