Numblocology 对称性研究，对称性破缺和群论的吴氏分类法

非常数1

如此乘法表的 6阶群 二面体群或同构S3（ 若用过直径解 图起始的序列） 和 8 阶段群的 四元数群 （用过直径解 起始序列）
结果发现这种出发序有作图差异显示不敏感的问题。见图17 有左边下的8阶群序列可以有两种图形出现，而右边8阶的出发序列则作图全给一样的图，
就简并了各类。 对细致分类是不利的。因此更美和对称而又带有差异的那些办法才有前途。当然那个序列的得到，难度要大些。
图17掩盖差异）缺点：

非常数1

不会掩盖差异的偶数阶群的作图出发序列，则需某些讲究 比如 12阶的
12        元        7        0        1        3        11        10        8        5        2        4        6        9
就是例子。不过我们现在要返回正统的2^k就是 2 4 8 16 32 64 128等为二的几次方形式的阶数和2的k次方个元素的圈的研究
图18

非常数1

環圖[编辑]
在抽象代數子領域群論中，群的環圖展示了一個群的各種循環，并在小有限群的可視化中特別有用。對少於 16 個元素的群，環圖確定了群（在同構的意義下）。

環是給定群元素 a 的冪的集合；這里的 an 是元素 a 的 n 次冪，被定義為 a 乘以自身 n 次的乘積。稱元素 a 生成了這個環。在有限群中，某個 a 的冪必定是單位元 e；最小的這種冪是環的階，即其中的不同元素的數目。在環圖中，環被表示為一系列的多邊形，頂點表示群元素，而連線指示在這個多邊形中所有元素都是同一個環的成員。

目录  [隐藏]
1        環
2        性質
3        從環圖中可得出的其他信息
4        特定群家族的圖特征
5        參見
6        外部連結
7        引用
環[编辑]

環可以交疊，或者它們除了單位元之外沒有公共元素。環圖把有價值的環顯示為多邊形。

如果 a 生成 6 階環(或簡稱是 6 階的)，則 a6 = e。那么 a2 的冪的集合 {a2, a4, e} 是也一個環，但這實際上沒有什么新信息。類似的，a5 生成的環和 a 自身生成的環一樣。

所以我們只需要考慮基本的環，即不是其他環的子集的環。它們都生成自某個基本元素 a。給最初群的每個元素一個頂點。對于每個基本元素，連接 e 到 a, a 到 a2, ... an-1 到 an, ... 直到回到 e。結果是環圖。

(技術上說，上述描述蘊含了如果 a2 = e，a 是 2 階的(對合)，它與 e 連接了兩條邊。習慣上只用一個邊。)

性質[编辑]
作為群的環圖的一個例子，考慮二面體群 Dih4。下面左邊是這個群的乘法表，右邊是環圖，其中 e 指示單位元。


二面體群 Dih4 的環圖。
o        e        b        a        a2        a3        ab        a2b        a3b
e        e        b        a        a2        a3        ab        a2b        a3b
b        b        e        a3b        a2b        ab        a3        a2        a
a        a        ab        a2        a3        e        a2b        a3b        b
a2        a2        a2b        a3        e        a        a3b        b        ab
a3        a3        a3b        e        a        a2        b        ab        a2b
ab        ab        a        b        a3b        a2b        e        a3        a2
a2b        a2b        a2        ab        b        a3b        a        e        a3
a3b        a3b        a3        a2b        ab        b        a2        a        e
注意環 e, a, a2, a3。它可以從乘法表中 a 的連續的冪在事實上表現如此中看出來。反轉情況也為真，換句話說: (a3)2=a2, (a3)3=a 而 (a3)4=e 。這種表現對於任何群眾任何環都為真 - 環可以按任何方向游歷。


四元群 Q8 的環圖。
包含非素數個元素的環將隱含擁有在圖中不連接出來的環。對於上面的群 Dih4，我們可能想要在 a2 和 e 之間連線；因為 (a2)2=e；但是因為 a2 是一個更大環的一部分，我們不這么做。

在兩個環共享非單位元的元素的時候可能有歧義。比如考慮簡單的四元群，它的環圖展示在右側。在中間行中每個元素在乘以自身的時候都得到 -1 (這里的單位元是 1)。在這種情況下我們可以使用不同顏色追蹤各個環，并且還采用對稱性處理。

如上所述，兩元素的環應該用兩條線連接，通常會縮略為一條線。

兩個不同的群可以有同樣結構的環圖，并只能通過乘積表，或依據群的基本元素標記圖中元素來區分。這個問題可能出現的最低階是下面展示的 16 階的群 Z2 x Z8 和模群的情況。(注意 - 在這些圖中有公共元素的環通過對稱性來區分。)


16 階群 Z2 x Z8 的環圖。

16 階模群的環圖。


Z2 x Z8 的乘法表如下:

0        1        2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15
1        0        3        2        5        4        7        6        9        8        11        10        13        12        15        14
2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15        0        1
3        2        5        4        7        6        9        8        11        10        13        12        15        14        1        0
4        5        6        7        8        9        10        11        12        13        14        15        0        1        2        3
5        4        7        6        9        8        11        10        13        12        15        14        1        0        3        2
6        7        8        9        10        11        12        13        14        15        0        1        2        3        4        5
7        6        9        8        11        10        13        12        15        14        1        0        3        2        5        4
8        9        10        11        12        13        14        15        0        1        2        3        4        5        6        7
9        8        11        10        13        12        15        14        1        0        3        2        5        4        7        6
10        11        12        13        14        15        0        1        2        3        4        5        6        7        8        9
11        10        13        12        15        14        1        0        3        2        5        4        7        6        9        8
12        13        14        15        0        1        2        3        4        5        6        7        8        9        10        11
13        12        15        14        1        0        3        2        5        4        7        6        9        8        11        10
14        15        0        1        2        3        4        5        6        7        8        9        10        11        12        13
15        14        1        0        3        2        5        4        7        6        9        8        11        10        13        12
從環圖中可得出的其他信息[编辑]
元素的逆元可以在環圖中識別出來。它是在相反的方向上有相同距離的元素。
特定群家族的圖特征[编辑]
特定類型的群有典型的圖:

循環群 Zn 簡單的是一個單一的 n 邊形環，每個元素都是一個頂點。
GroupDiagramMiniC1.png
GroupDiagramMiniC2.png
GroupDiagramMiniC3.png
GroupDiagramMiniC4.png
GroupDiagramMiniC5.png
GroupDiagramMiniC6.png
GroupDiagramMiniC7.png
GroupDiagramMiniC8.png
Z1        Z2        Z3        Z4        Z5        Z6        Z7        Z8
在 n 是素數的時候，形如 (Zn)m 的群將有 (nm-1)/(n-1) 個 n 元素環共享單位元。
GroupDiagramMiniD4.png
GroupDiagramMiniC2x3.png
GroupDiagramMiniC2x4.png
GroupDiagramMiniC3x2.png
Z22        Z23        Z24        Z32
二面體群 Dihn 由一個 n 元素環和 n 個 2 元素環構成。
GroupDiagramMiniC2.png
GroupDiagramMiniD4.png
GroupDiagramMiniD6.png
GroupDiagramMiniD8.png
GroupDiagramMiniD10.png
GroupDiagramMiniD12.png
GroupDiagramMiniD14.png
Dih1        Dih2        Dih3        Dih4        Dih5        Dih6        Dih7
n次对称群，對於任何 n 階的群，n 次對稱群 Sn 都包含一個同構于這個群的子群。因此所有 n 階的群的環圖都是 Sn 的環圖的子圖。

非常数1

6,8,12,16 群的乘法表作图对比 和 群论环图的联系
图19就显示8阶的D4 二面体群的环图四对子 和 目下谈的做几何图发显示的四种图有联系，没种图对应环图的一个因素关节。
图19

-
下面图是后文要用的见图20

非常数1

吴氏几何图类型 对群分类法 和群表示论的关联图示：
两个很重要的提示图。 和群的新理论也有关系，不过现在还是退回 基本实例，经验归纳，然后做好理论在演绎推理的路上。
图20 图21 很重要（版权所有，引而不说出处者必被追究）
copy right reserved

图21

非常数1

图20里提到图22 但是要画图22却要很多群的知识 比如 合成群。
定理每一个有限Abel群可以表示为素数幂的Abel群之积。
Abel群的基
Abel群的基本定理：在每个阶h(>1)的Abel群G中，……，这种类型的r个元素称为G的一个基。
如果一个Abel群的所有元素都是一个元素A的幂，则这个群称为循环群及A称为群的生成元。
阶有两个或两个以上互异素因子的Abel群都不是初等Abel群.
Klein四元群是一个初等Abel群。45阶Abel群都不是初等Abel群。
定理2和定理3把有限Abel群的结构完全搞清楚了。
例1 给出所有45阶Abel群的互不同构的类型。
解 因为45＝，故相应45阶Abel群的初等因子组共有二种：{3^2,5},{3,3,5}
因此，在同构意义下45阶Abel群共有二个，其代表是：
，
例2 给出Klein四元群的分解和其初等因子组。
解 令e=(1),a=(12),b=(34),c=(12)(34)，则Klein四元群为,且易知 K4=,,,
,
从而其初等因子组为 {2，2}。
如果群G的阶是素数p的一个方幂，则称G为一个ｐ－群(ｐ－group)。
定义2 设群G的阶为是一个素数，q与p互素，那么G的阶子群称为G的一个Sylow p－子群(Sylow p－subgroup)。
定理1说明每个n阶Abel群可以表示为它的Sylow p－子群的直积。
定理2 （有限Abel群的结构定理）任何阶大于1的有限Abel群都可以唯一地分解为素幂阶循环群（从而为不可分解群）的直积。也可以描述为：
设G是一个n（）阶Abel群，，其中是互异的素数，，那么
，
其中且。称每个为群的初等因子(elementary divisor)，其全体称为群的初等因子组(group of elementary divisor)。
由定理2可知，一个有限Abel群完全由其初等因子组所决定。
定理3  两个阶大于1的有限Abel群同构的充要条件是 ，二者有相同的初等因子组。
以上复制内容都不全 省略了代数符号和数学式子等（但读者可以翻看原文或教科书得到全貌）
德国数学家霍尔德在1889年以后的若干年内，详细地研究了单群和可解群，证明：一个素数阶循环群是单群，n个（n>=5）文字的全部偶置换组成的交换群是单群。
（伯恩塞德猜想）；奇数阶群一定是可解群。
比如素数阶的有限群都是循环群。
7：
7
Z7

　　
8（有出发序列两种 用于吴氏分类法）
Z8
D4
Z4 × Z2
四元数群Q8
Z2^3
12
Z12 = Z4 × Z3
D6 = D3 × Z2
Z6 × Z2 = Z3 × Z2^3
A4

　　       
第3个Dicyclic群
共有14个不同的16阶群，其中交换群有5个，其余9个为非交换群。
gap> L:=Factors(16);
[ 2, 2, 2, 2 ]
gap> G:=AbelianGroup(L);;IdGroup(G);AbelianInvariants(G);
[ 16, 14 ]
[ 2, 2, 2, 2 ]
gap> L1:=[L[1],L[2],L[3]*L[4]];
[ 2, 2, 4 ]
gap> G:=AbelianGroup(L1);;IdGroup(G);AbelianInvariants(G);
[ 16, 10 ]
[ 2, 2, 4 ]
gap> L2:=[L[1]*L[2],L[3]*L[4]];
[ 4, 4 ]
gap> G:=AbelianGroup(L2);;IdGroup(G);AbelianInvariants(G);
[ 16, 2 ]
[ 4, 4 ]
gap> L3:=[L[1]*L[2]*L[3]*L[4]];
[ 16 ]
gap> G:=AbelianGroup(L3);;IdGroup(G);AbelianInvariants(G);
[ 16, 1 ]
[ 16 ]
gap> L4:=[L[1],L[2]*L[3]*L[4]];
[ 2, 8 ]
gap> G:=AbelianGroup(L4);;IdGroup(G);AbelianInvariants(G);
[ 16, 5 ]
[ 2, 8 ]
their representations.
2
Name Symbol Representation Center
Integers mod 16 Z16 {a
α
: a
16 = e} abelian
Direct Product
of Z8 and Z2
Z8 × Z2 {a
α
b
β
: a
8 = b
2 = e, ba = ab} abelian
Direct Product
of Z4 and Z4
Z4 × Z4 {a
α
b
β
: a
4 = b
4 = e, ba = ab} abelian
Direct Product
of Z4, Z2 and Z2
Z4 × Z2
×Z2
{a
α
b
β
c
γ
: a
4 = b
2 = c
2 = e, ba = ab, ca = ac, cb =
bc}
abelian
Direct product
of Z2, Z2, Z2
and Z2
Z2×Z2×
Z2 × Z2
{a
α
b
β
c
γd
δ
: a
2 = b
2 = c
2 = d
2 = e, ba = ab, ca =
ac, da = ad, cb = bc, db = bd, dc = cd}
abelian
Table 2: Abelian Groups of Order 16
umber of non-abelian groups of class two        6       
Number of groups of nilpotency class exactly three, i.e., maximal class groups        3        classification of finite 2-groups of maximal class. For order , there are exactly three maximal class groups: dihedral, semidihedral, and generalized quaternion. For order 16, the groups are: dihedral group16, semidihedral group:SD16, and generalized quaternion group16.

Group        Second part of GAP ID (GAP ID is (16,second part))        Hall-Senior number (among groups of order 16)        Nilpotency class        Hall-Senior symbol        Probability in cohomology tree probability distribution (as proper fraction)        Probability in cohomology tree probability distribution (as numerical value)
cyclic group:Z16        1        5        1                1/8        0.1250
direct product of Z4 and Z4        2        3        1                7/128        0.0547
SmallGroup(16,3)        3        9        2                13/128        0.1016
nontrivial semidirect product of Z4 and Z4        4        10        2                1/8        0.1250
direct product of Z8 and Z2        5        4        1                15/64        0.2344
M16        6        11        2                7/64        0.1094
dihedral group16        7        12        3                3/128        0.0234
semidihedral group:SD16        8        13        3                3/64        0.0469
generalized quaternion group16        9        14        3                3/128        0.0234
direct product of Z4 and V4        10        2        1                63/1024        0.0615
direct product of D8 and Z2        11        6        2                45/1024        0.0440
direct product of Q8 and Z2        12        7        2                23/1024        0.0225
central product of D8 and Z4        13        8        2                7/256        0.0273
elementary abelian group:E16        14        1        1                1/1024        0.0010
Presentations
In these presentations, we use  for the identity element.

Group        Second part of GAP ID (GAP ID is (16,second part))        Hall-Senior number (among groups of order 16)        Presentation
cyclic group:Z16        1        5       
direct product of Z4 and Z4        2        3       
SmallGroup(16,3)        3        9       
nontrivial semidirect product of Z4 and Z4        4        10       
direct product of Z8 and Z2        5        4       
M16        6        11       
dihedral group16        7        12       
semidihedral group:SD16        8        13       
generalized quaternion group16        9        14       
direct product of Z4 and V4        10        2       
direct product of D8 and Z2        11        6       
direct product of Q8 and Z2        12        7         (check)
central product of D8 and Z4        13        8       
elementary abelian group:E16        14        1       
Permutation representations
These give faithful permutation representations of the group:

Group        Second part of GAP ID (GAP ID is (16,second part))        Hall-Senior number (among groups of order 16)        Permutation representation
cyclic group:Z16        1        5       
direct product of Z4 and Z4        2        3       
SmallGroup(16,3)        3        9        ?
nontrivial semidirect product of Z4 and Z4        4        10       
direct product of Z8 and Z2        5        4       
M16        6        11       
dihedral group:D16        7        12       
semidihedral group:SD16        8        13       
generalized quaternion group:Q16        9        14         ?
direct product of Z4 and V4        10        2       
direct product of D8 and Z2        11        6       
direct product of Q8 and Z2        12        7         ?
central product of D8 and Z4        13        8         ?
elementary abelian group:E16        14        1       
Here is the GAP code verifying that these permutation representations work: [SHOW MORE]
Subgroup/quotient relationships
图23 16阶群 关系

　　

非常数1

从群的观点 和群表示论的方向，其内容在 5 和7 等素数上反倒简单，而在 8 ，16，32，64等上却非常繁杂，这样就有一种简化分类法，既能抓住群的某些特点而给予分类，又不太繁琐，且对群表示论，矩阵，环图等有明显提示作用。这种分类法是凭借出发序列和几何图表现模式差别来完成的。这里先介绍简化版的吴氏第一种分类法：对群唯一按群的乘法表的各行来分类，应用两种出发序列，第一种是分离的左右对称的图（不是全对称的图，全对称则分辨力弱）的，另一类是等差间隔的跨隔数故意照应好的几何图的序列，这后一种出发序列俗名称是：文王类出发序列，特点是能进一步细分那些第一种序列所不能分的图。图是按图论抽象的定义，凡是在图论上为图同构的图就算一样对待，虽然具体勾起这个图的数字有差异，但还是当作同构的或一样的（这个就不举例了，在一般图论书籍里有）。文王类出发序列也称为第二出发序列。 吴氏第一种分类法：就是将某群的乘法表，先用第一序列做“表里的操作之符号” 和出发序列的一对一代换，或称“等量代换”，做完后每行做一个图，如果这个图已经有不同，则直接分类。但是如果发现对第一出发序列做代换后所做的几何图，在图论意义上是同构的，则需要再做分辨力强的第二序列代换并作图，以便精细刻画。如此在完成第二步后才结束。运用此法就能完成群论的分类。如果作为一个整体，这种办法可以初步鉴定两群是否同构，甚至在补充知识后能象图23一样看出群的继承或出身门道来。下面举例，比如对图24中的两个16阶群，上面一个群的图全是得到对称
的图形，16行都如此，而图24的下半的表则被第一序列直接分类了，就不用做第二序列的工作。对图24图上半那个都对称无分别的图，在图25里就把16行
至少分成8类图形了，见图25，另外（6阶），8，12，14阶等都有自己的第一序列和第二序列。
图24，不细致 图25 细致（第二序列，类文王出发序列）

图24图 24的上部 原16序列，就是第一序列下未分别


图25第二序列分细致


16阶群的关系：
Possibilities for maximal subgroups
Collection of isomorphism classes of maximal subgroups        Groups
cyclic group:Z8        cyclic group:Z16
direct product of Z4 and Z2        direct product of Z4 and Z4, SmallGroup(16,4)
elementary abelian group:E8        elementary abelian group:E16
cyclic group:Z8, direct product of Z4 and Z2        direct product of Z8 and Z2, M16
cyclic group:Z8, dihedral group8        dihedral group16
cyclic group:Z8, dihedral group8, quaternion group        semidihedral group:SD16
cyclic group:Z8, quaternion group        generalized quaternion group16
direct product of Z4 and Z2, elementary abelian group:E8        direct product of Z4 and V4, SmallGroup(16,3)
direct product of Z4 and Z2, elementary abelian group:E8, dihedral group:D8        direct product of D8 and Z2
direct product of Z4 and Z2, quaternion group        direct product of Q8 and Z2
dihedral group:D8, quaternion group, direct product of Z4 and Z2        central product of D8 and Z4
A Dirichlet character χ is an arithmetic function from the integers to the complex numbers. The concept was introduced by P.G.L. Dirichlet [DIRE] in his proof of Dirichlet's theorem that there are an infinite number of primes in arithmetical progressions with first term h and common difference k where (h,k)=1.

By definition, a Dirichlet character modulo k is a completely multiplicative function, periodic with period k, which is not identically zero and which equals zero if its argument is not coprime with k [NUME] [SOUND].

That is, χ(m)χ(n)=χ(mn) and χ(n)=χ(n+k) for all integers m,n; χ≢0, and χ(n)=0 if (n,k)>0.

From this definition, it follows that χ(1)=1 and that each χ(n) is a ϕ(k)th root of unity when (n,k)=1, where ϕ is Euler's totient function, the number of positive integers less than or equal to k that are coprime to k. There are exactly ϕ(k) characters for a given modulus k,

The principal character, denoted χ1, has value one if n and k are coprime and value zero otherwise. Characters other than the principal character are known as nonprincipal characters and are denoted χ2,χ3,…,χϕ(k). This latter numbering is arbitrary.

The nonprincipal characters may have complex values. There is, however, always at least one real-valued nonprincipal character.

We can arrange the nonzero values of χ in a square matrix A of size ϕ(k) with the columns equal to the values of n coprime to k. The rows are then the nonzero values of the characters χ1,χ2,…,χϕ(k). The elements of the first row and first column all equal one and so sum to ϕ(k), and we find that the sum of the elements of the other rows and columns is always zero.
Dirichlet characters modulo 4

k = 4, φ(k) = 2, (Z/kZ)* ≅ C2, generator = 3
G={1,3}, λ = 2
X(n) mod 4
n        1        3
X1(n)        1        1
X2(n)        1        -1
X(n) mod 4
------------
n       1  3
------------
X_1(n)  1  1
X_2(n)  1 -1
Dirichlet characters modulo 8

k = 8, φ(k) = 4, (Z/kZ)* ≅ C2 x C2, generators = 7,3
G={1,3,5,7}, λ = 2
X(n) mod 8
n        1        3        5        7
X1(n)        1        1        1        1
X2(n)        1        1        -1        -1
X3(n)        1        -1        -1        1
X4(n)        1        -1        1        -1
X(n) mod 8
------------------
n       1  3  5  7
------------------
X_1(n)  1  1  1  1
X_2(n)  1  1 -1 -1
X_3(n)  1 -1 -1  1
X_4(n)  1 -1  1 -1
------------------
Dirichlet characters modulo 16

k = 16, φ(k) = 8, (Z/kZ)* ≅ C4 x C2, generators = 3,15
G={1,3,5,7,9,11,13,15}, λ = 4, w2 = -1, w = exp(πi/2)
X(n) mod 16
n        1        3        5        7        9        11        13        15
X1(n)        1        1        1        1        1        1        1        1
X2(n)        1        i        -i        -1        -1        -i        i        1
X3(n)        1        -1        -1        1        1        -1        -1        1
X4(n)        1        -i        i        -1        -1        i        -i        1
X5(n)        1        1        -1        -1        1        1        -1        -1
X6(n)        1        i        i        1        -1        -i        -i        -1
X7(n)        1        -1        1        -1        1        -1        1        -1
X8(n)        1        -i        -i        1        -1        i        i        -1
X(n) mod 16
------------------------------
n       1  3  5  7  9 11 13 15
Dirichlet characters modulo 24

k = 24, φ(k) = 8, (Z/kZ)* ≅ C2 x C2 x C2, generators = 5,7,13
G={1,5,7,11,13,17,19,23}, λ = 2
X(n) mod 24
n        1        5        7        11        13        17        19        23
X1(n)        1        1        1        1        1        1        1        1
X2(n)        1        -1        1        -1        1        -1        1        -1
X3(n)        1        1        -1        -1        1        1        -1        -1
X4(n)        1        -1        -1        1        1        -1        -1        1
X5(n)        1        1        1        1        -1        -1        -1        -1
X6(n)        1        -1        1        -1        -1        1        -1        1
X7(n)        1        1        -1        -1        -1        -1        1        1
X8(n)        1        -1        -1        1        -1        1        1        -1
X(n) mod 24
Dirichlet characters modulo 32

k = 32, φ(k) = 16, (Z/kZ)* ≅ C8 x C2, generators = 3,31
G={1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27,29,31}, λ = 8, w4 = -1, w = exp(πi/4)
X(n) mod 32
n        1        3        5        7        9        11        13        15        17        19        21        23        25        27        29        31
X1(n)        1        1        1        1        1        1        1        1        1        1        1        1        1        1        1        1
X2(n)        1        w        w3        -i        i        -w3        -w        -1        -1        -w        -w3        i        -i        w3        w        1
X3(n)        1        i        -i        -1        -1        -i        i        1        1        i        -i        -1        -1        -i        i        1
X4(n)        1        w3        w        i        -i        -w        -w3        -1        -1        -w3        -w        -i        i        w        w3        1
X5(n)        1        -1        -1        1        1        -1        -1        1        1        -1        -1        1        1        -1        -1        1
X6(n)        1        -w        -w3        -i        i        w3        w        -1        -1        w        w3        i        -i        -w3        -w        1
X7(n)        1        -i        i        -1        -1        i        -i        1        1        -i        i        -1        -1        i        -i        1
X8(n)        1        -w3        -w        i        -i        w        w3        -1        -1        w3        w        -i        i        -w        -w3        1
X9(n)        1        1        -1        -1        1        1        -1        -1        1        1        -1        -1        1        1        -1        -1
X10(n)        1        w        -w3        i        i        -w3        w        1        -1        -w        w3        -i        -i        w3        -w        -1
X11(n)        1        i        i        1        -1        -i        -i        -1        1        i        i        1        -1        -i        -i        -1
X12(n)        1        w3        -w        -i        -i        -w        w3        1        -1        -w3        w        i        i        w        -w3        -1
X13(n)        1        -1        1        -1        1        -1        1        -1        1        -1        1        -1        1        -1        1        -1
X14(n)        1        -w        w3        i        i        w3        -w        1        -1        w        -w3        -i        -i        -w3        w        -1
X15(n)        1        -i        -i        1        -1        i        i        -1        1        -i        -i        1        -1        i        i        -1
X16(n)        1        -w3        w        -i        -i        w        -w3        1        -1        w3        -w        i        i        -w        w3        -1
X(n) mod 32
---------------------------------------------------------------------------------------
n         1    3    5    7    9   11   13   15   17   19   21   23   25   27   29   31
开发创造力的关键

　　创造学的研究告诉我们，在创造活动或在创造力开发的过程中，创造，首先是思维的结果。所以，开发创造力的关键是激发创造性思维。

　　关于创造性思维我们在第４６节中已经作了初步的介绍，下面再讲一讲如何来激发创造性思维，以提高创造能力。

　　(１)用创造欲望来激发创造性思维

　　一个人的创造活动，总是在产生和形成创造欲望以后才能进行的。

　　所有的新思想，归根结蒂，都是借鉴于旧思想的，都是在旧思想的基础上添加一些东西，把它们结合起来或进行修改。如果是偶然做成的，人们会说你运气好；如果是计划地做成，人们便说你有创造性。

　　例如，擦字橡皮流通了差不多一百年，到１８５８年，住在费城的海曼想到在铅笔顶端加上擦字橡皮，使用起来更方便，带橡皮的铅笔才问世。

　　传统使用的锯，都是扁薄长型的金属片，而且利用人力来操作。１８１２年，美国一位名叫泰比达·芭碧的主妇，到她丈夫的水力磨坊中去看工人工作。她忽然想到，如果把锯的形状由长扁形改为圆锯，可以利用水力推动操作，于是发明了圆锯。

　　因此要激发自己的创造欲望，必须有一个明确的目的，一个强烈的愿望。

　　上海和田路小学徐琛同学，看到墙上的电源插座，就想小朋友不小心将手插进去会触电的，能不能改一改，怎样改？从而激发了他创造发明一种“防触电插座”的欲望。果然，他创造成功，发明成果获得世界少年儿童创造发明比赛的最佳作品奖。

　　因此，强烈的好奇心，心理上的不满足、寻根式的追问、对已有产品的百般挑剔以及应用上的推广，对于创造欲望的产生和形成，都具有直接的作用。

　　(２)以创造兴趣来形成创造性思维从创造欲望发展到创造兴趣是使创造性思维能够持续不断的重要环节。

　　怎样培养和形成创造兴趣呢？常识和经验告诉我们，在形成创造欲望之后，所提出的问题既不能太简单、太容易，使人感到一眼可以看到底；也不能太复杂、太难，使人处处碰钉子，无法实现；而是经过创造性思维之后，确有可能成功，兴趣也就随之产生。伴随着人的创造欲望得到充分的满足，兴趣就可形成。兴趣一旦形成，就会反过来激励创造性思维，使创造性思维在更高的思维效率水平上进入最佳状态。爱因斯坦说：兴趣是最好的导师。道理也就在这里。

　　(３)以创造性思维来开通创造思路

　　德国哲学家康德说：“每当理智缺乏可靠论证的思路时，类比这个方法往往能指引我们前进。”就是说，类比型的创造性思维会帮助我们将某个客体和思维对象相联系，从它们的相似关系中获得启发，打开思路。

　　如：有一道数学题：有四个大小不一的管子通向水池。开１、２、３号管１２分钟灌满，开２、３、４号管１５分钟灌满，开１、４号管２０分钟灌满，问四管同开多长时间可灌满?经过思考，一个学生把在小学时学过的和差问题相联系，从他们相似的关系中获得了启发。所不同的这里的是把每个管子都看成是双倍的，那么减去一半就是，也就是说四管同开十分钟可灌满。

非常数1

群表示论和吴氏第一分类法的关联和图22.
先看显著内容：群表示论的核心是群特征标理论。弗罗贝尼乌斯发表的与这一论题相联系的论文有“群特征标”（1896），“论有限群线性代换”（1899），“关于群特征的结构”（1899），以及与舒尔合作的“论实有限群”（1906）等。
在发表于1896年的三篇文章“可交换矩阵”、“群特征标”和“群行列式的素因子”中，弗罗贝尼乌斯建立了有限群特征论的基础，解决了戴德金提出的非Abel群的群行列式分解问题。
在“论有限群线性代换”中，弗罗贝尼乌斯首次介绍了有限群的表示这一概念。设G是有限群，C是复数域，他定义一个表示是一个同态T:G->GL_d(C)，这里GL_d(C)是C上可逆的d*d矩阵群。他还对有限群引进可约表示和完全可约表示的概念，证明了一个正则表示包含所有不可约表示。表示论的不变量是迹函数，弗罗贝尼乌斯称迹为表示的特征。这个定义比较简单，成为今天的标准定义。在“群特征标”一文中，他曾给出一个叙述颇为复杂的定义。特征实际上确定了表示，可以证明：两个表示等价，当且仅当它们的特征等价。
《外尔（H.Weyl）：Symmetric》内容之一：
非形式化地证明了任意有限群同构于O(n)的一个子群。严格证明：由凯莱定理可知，任意有限群有等价意义上唯一的一个正则置换表示、正则置换阵表示，仅需证明正则置换阵是正交矩阵即可】
空间任意图形的对称性由此群的一个子群描述。
要把双侧对称性自然地推广到在这一更广泛几何意义上的对称性，就在于用任何自同构群来代替平面中的反射。
这些就是二维情况下。仅可能有的中心对称性：
C_1,C_2,C_3.……
D_1,D_2,D_3.……
C_1意味着根本没有对称性，而D_1只不过就是双侧对称性。（鸣谢翻译者）
另徐勇G注写："Mulliken Symbols"，是1966年的诺贝尔化学奖得主Robert S. Mulliken开发出来的，这个搞化学的应该都知道。Mulliken是位得了化学奖的物理学家，在分子轨道理论上有重大的贡献。
点群不可约表示的特征标是怎么被标记的，大致规则如下：
1） 对一维的不可约表示，用字母A或B来表示。在最高对称性的主转动轴下的群元下的特征标为1，则用A来标记，若为-1，则用B来标记。
2）对于二维的不可约表示，用字母E来标记。对三维的不可约表示，用字母T来标记。
3）若除主转动轴外还有与之垂直的二重轴或有包含主转动轴的竖直镜面，所对应的群元的特征标为1，则加下标1，如A1，B1;若特征标为-1，则用加下标2，如A2，B2.
4）如果有反演操作对应的群元，在反演操作下基函数（或体系波函数）不变（在一维不可约表示下特征标为1），则加下标g（德语单词gerade的首字母）；若在反演操作下基函数（或体系波函数）反号（在一维不可约表示下特征标为-1），则加下标u（德语单词ungerade的首字母）。下图所示的是Oh点群的特征标表：
图如下： 图22-B Oh点群

杂而广才能创新 比如：
双纽线的特征性是：它上面的点与某两定点距离之乘积为一常数。
高斯证明了sinlemnx不但有一实周期，记为2ω，尚有一纯虚周期2ωi。
1797年五月他在杂记上记载着，他找到了ω与算术-几何平均的关系。其式子为：
ω=2∫[0,1]dt/sqrt(1-t^4)=π/M(1,sqrt(2))----可以与初等函数中的欧拉公式相媲美的优美公式
这个式子是高斯纯粹以计算方法，两边算至小数点后11位验证得到的。1799年底他才给了证明。
高斯对椭圆函数的探讨，可能是他数学能力广见的最有力证明。三个毫不相关的东西：算术-几何平均、双纽线与二次形式，经他发酵，而酝酿成数学中前所未有的一部分：椭圆函数。
1914-1919年，在哥廷根讲授19世纪数学发展的菲利克斯·克莱因在其讲座中曾这样评价高斯：如果我们现在询问这个人不同寻常和独一无二的品质，回答一定是：在每一个所从事的领域内所取得的最伟大的个人成就与最宽广的多才多艺的结合；在数学上的创造性，追寻数学发展的力度和对其实际应用的敏感的完美结合，这包括精确无误的观察和测量；最后是对这种伟大的自我创造财富的最精炼的表达。
这里称赞高斯的内容 正好刻画了创新的脉搏如何跳动。又比如麦克斯韦好做诗歌：
　发展形象思维能力对创新很重要：麦克斯韦在爱丁堡中学读书的时候，就十分喜欢诗歌。他当时在获得全校数学竞赛第一名的同时，也夺得了诗歌竞赛的第一名。中学时代的诗歌写作训练了他的形象思维能力，当法拉第的“力线”观念提出二十多年尚不被承认时，他就看出了“力线”观念的新颖性和合理性，于是才决定研究这一课题。导致著名的麦克斯韦方程的诞生。现在看看折射想象力的诗歌一首：
园丁耕于天上仙山
（作者X）
东边梨花西边柳 栽到一起谐三春
男耕女织创仙溪 作出桃源月一轮

非常数1

特征标表

1. 定义 把有限群G的所有不等价不可约表示的特征标，作为类 的函数列出一个表，称为群G的特征标表。 建立特征标表的原因 ●在给定的线性空间，群表示的矩阵形式不唯一 依赖于基的选择，甚至依赖于基的排序 但众多的表示是定义在同一线性空间，可以通过相似变换联 系，即都是等价的 ●虽然群的表示矩阵不唯一，但是矩阵的迹(特征标)在相似 变换下不变(等价的表示特征标对应相等) 因此，表示的特征标成为表示的特征，与基的选择无关
2.4有限群不可约表示特征标表







假设有一种乘法x*和普通x乘法不同，他们只取前四个数做截断结果，现在根据如下等式87909376=9376x9376,这个是通常乘法。
现在认为尾数截获乘法x*能做9376x*9376=9376的等式 相当于 1x1=1或群论恒等变换元exe=e.请求出这个群元素和其逆元素的列表。
假设按截尾乘法x*能得到封闭的群，如果只有三个数则在三个数前补0以形成4个数的形式，那么群的元素就是：
9376x*7776=7776x*9376=7776.
7776x*7776=6176; 6176x*9376=6176.    6176x*6176=2976.
2976*9376=2976....类推就能得到一个元素比较多的群。
当然要列 0176x*0176=0976 ，，，一大堆的元素。
类似例子：
这种最小的群是截断5位数的，比如，它只含有八个数，即

S=｛90625，40625，15625，65625，46875，96875，21875，71875｝.

可以看出，“八数王国”里的每个臣民都是五位数.我们所熟悉的加、减、乘、除四则运算法则，它们不予理睬，而热衷于特别乘法?以及由此推广出来的“乘方”运算.所谓特别乘法  ，就是把普通乘法结果的最后五位数作为特别乘法  的结果.例如：

90625  46875=46875，

65625  71875=96875.

我们发现，“八数王国”有个奇异的性质：王国中的任意两个臣民相乘?，其结果仍然是该王国的臣民，“八数王国”不愧是“闭关锁国”.

同学们可借助计算器的帮忙，迅速地“验证”这个性质，或者干脆造一张特别乘法?的“乘法表”.

细心的同学也许已经发现：“八数王国”由“625”与“875”两大家族组成，它们各有四个子民.“625”家庭中任意两个子民相乘  ，其结果仍然是“625”家庭的子民，而“875”家庭中任意两个子民相乘  ，其结果就改换门庭，变成“625”家庭的子民.因此，不妨称“625”家族为“封闭家族”，它照样维护其封闭性；不妨称“875”家族为“开放家族”，但它也翻不出“八数王国”这个如来佛的手掌心.请看下面两个例子：

90625  40625=40625，

46875  96875=15625.

核心数“90625”，它是“封闭家族”之首，也是“八数王国”之首，它称为“单位元素”.它的性质最为奇特：它具有普通算术或代数里“1”的性能。

截断乘法有三个数的 比如376x*376=376 是一个群。左右不同476的逆是976，因为476x*376=976.... 但976x*476=576

截断乘法有三个数的 比如625x*625=625;625x*125=125;
125x*125=625 等是否不能构成一个群？ （为何;625x*325=325;
325x*325=625，125X325=625重复很多  象没有唯一性？），但两元素 625和125还是一个真群吗？
以上例子就是和模仿做诗一样，就是有简单模仿，依次改变条件后能类推的能力，同样对几何图的作图和群的特征标理论，您如何动手做个“数出发序列-而几何 作图”方面的模仿呢？
问题是三进制数是否有截断乘法？那二进制是否就没有截断乘法？可以证明二进制是没有通过截断乘法来做一个群的可能性的。

非常数1

1)复共轭表示 将一表示的所有表示矩阵都取其复共轭D(R)*,它们的集合 也构成原群的表示，称为原表示的复共轭表示 互为复共轭的表示，它们的特征标互为复共轭
2)自共轭表示 若互为复共轭的两个表示等价D(R)*=X-1D(R)X,则称为自共 轭表示 自共轭表示的特征标必为实数 3)群G的两个不可约表示的直乘仍是G的一个表示 特别是：其中一个是一维表示，直乘仍是不可约表示 上面的方法有助于根据已知不可约表示寻找新的不可约表示

2. 特征标表的构成 表头：行：群包含的几个类 设有gc个类，第α类记为 前面写上类元素的个数n(α) 列：群的几个不等价不可约表示 有限群不等价不可约表示个数=gc
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3. N阶循环群的特征标表 1)N阶循环群的标准形式：CN={R,R2,...,RN=E} 阿贝尔群，各元素间乘积可对易 2)阿贝尔群每个元素自成一类，因此，N阶循环群有N个类 3)有限群不等价不可约表示的维数平方和=群的阶 m12+m22+...+mN2=N,则m1=m2=...=mN=1 即 每个表示都为一维表示 4)表示矩阵必须满足群元素的乘积关系 R D(R); S D(S) → RS D(R)D(S) 设D是CN的一个不可约表示，则

D(E) 1 RN=E

mi=1,都是一维表示

D(R N )= D(R ) N
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