[原创数学]：升级版微积分：函值极限论

elim

楼主的所有言说没有无穷小，极限的定义．还要怎么说明？

门外汉

函值极限论(十六):无穷小发威，推翻导数的矛盾定义:①:英国大主教贝克莱刁难牛顿的无穷小悖论，第二次数学危机的由来

在本系统开篇第一小节中，介绍了无穷小概念自诞生之初起便伴随着逻辑矛盾，并因为英国大主教贝克莱对牛顿的刁难而引发了第二次数学危机，这个事件与现代微积分中导数的矛盾定义直接相关，因此在这里重贴一下贝克莱的无穷小悖论以及第二次数学危机的由来:

17世纪牛顿和莱布尼兹各自独立创建微积分理论体系，然尔微积分自创建之初便伴随着逻辑矛盾，无穷小的阴影挥之不去，成为同时期数学家们的恶梦，由此造成的困挠长达百年之久。
提到微积分就不能不提无穷小，什么是无穷小呢?以求物体运动的瞬时速度为例，例如设一运动物体的位移函数为y=x^2，其中y为位移，x为时间，求当时间在x=3分钟时物体的瞬时速度，这个怎么求呢?牛顿设想，当时间为3分钟时，再过去那么一瞬间，记这一瞬间为Δx，则物体会产生一个微小的位移Δy，二者的比值即为时间在3分钟时的瞬时速度。
那么，这个一瞬间Δx究竟是多少呢?首先，它不能是0，如果是0，那么时间为0，位移也是0，这样是求不出瞬时速度的。其次，Δx一定要小，越小就越精确，越接近真实的瞬时速度值。
那么Δx究竟能小到什么程度呢?当时的牛顿及同时期的数学家们对此没有一个明确的概念，只是模糊的概念，即，极小极小，小得不能再小，当然，这并不是一个严谨精确的数学语言。
今天，我们可以通过严格的实数理论分析出牛顿等数学大师们头脑中的无穷小究竟是什么?我们给出一个实数区间［0，1］，这个无穷小一定就锁定在这个区间之中，而且，它不能等于0，则无穷小便在半开区间(0，1］之中，其次，无穷小要小于这个区间中任何一个指定的正数，假设无穷小是g，只要在(0，1］中有比g更小的实数，那么g就不是无穷小。
综上所述，实际上的这个无穷小就是指(0，1］之中大于0的最小正实数。
那么，这个“大于0的最小正实数”它存在吗?可以证明，这样的数是包含矛盾的，是不存在的，可以用反证法来证明:假设这个数存在，设它为g，则g/2同样是一个正实数，而且比g更小，因此g不是大于0的最小正实数。因此牛顿及同时代的数学大师们头脑中的无穷小根本就是一个子虚乌有，不存在的一个东西，用这样的一个虚假概念来论证数学，矛盾必不可免。
但牛顿显然没有意识到这个问题的严重性，依然用无穷小概念推导出许多重要的数学成果，甚至可以说，如果没有无穷小，许多极为重要的数学结论根本就推导不出来，离开了无穷小，数学寸步难行。
但矛盾积累到一定程度，终有爆发的时侯，英国大主教，哲学家贝克莱提出了贝克莱悖论，将这一矛盾彻底曝光于大庭广众之下。
贝克莱悖论是如何推导的呢?仍然是以求物体运动的瞬时速度为例:设物体的位移函数y=x^2，其中y为位移，x为时间，求物体在时间x=3时的瞬时速度，这个问题实际上就是求出x＝3时的导数，牛顿时代的古典微积分是这样求的:f'(3)=Δy/Δx，Δy=(3＋Δx)^2－3^2，Δy除以ΔⅩ，通过约分，计算结果为6＋Δx。
到现在为止，所有的逻辑推演及计算过程并没有出现仼何的错误，但接下来让人意外的事情出现了:牛顿将Δx直接当做0给舍弃了，最后的结果为6。
为什么将Δx当成0给舍弃呢，牛顿的解释是，因为Δx极小极小，无穷之小，几乎可以忽略不计，所以舍弃它并不影响计算结果。
但这就出现了逻辑上的矛盾，如果等号右边的Δx是0，那么等号左边的Δx也是0，0怎么可以做除数呢?
如果等号左边的Δx不是0，那么等号右边的Δx也不能是0，那么就不能将它当成0舍弃。
这个矛盾在当时的数学界引起极大的震动，撼动了数学的根基，被称为是第二次数学危机。

门外汉

elim 发表于 2019-3-14 04:06
楼主的所有言说没有无穷小，极限的定义．还要怎么说明？

极限定义为原系统中的定义，一字没改。另外增加了函值极限的定义，实极限与虚极限的定义，实无穷小与虚无穷小的定义，这些都是有定义的，而后面的推论都是依据这些定义来的。所以，不是无定义，而是有定义。

门外汉

函值极限论(十七):无穷小发威，推翻导数的矛盾定义:②:现代微积分中对导数的矛盾定义
上节中提到，由于英国大主教贝克莱对牛顿的刁难，提出了无穷小悖论，从而引发了第二次数学危机。
在危机发生之后的一百多年的时间里，无数伟大的数学家们为解决这个矛盾投入了巨大的时间和工作，直到柯西，魏尔斯特拉斯等人用ε－N语言及ε－δ语言严格定义了数列及函数极限，第二次数学危机才宣告彻底解决。
在严格定义的极限理论之下，无穷小被定义为是以0为极限的数列或函数，无穷小本身并不是一个实数，而是一个以0以极限的变量，在这个定义下，并不存在那种类似于“大于0的最小正实数”那样的实无穷小。
相比较于牛顿时代的古典微积分而言，经严格化极限理论改造下的现代微积分也对导数进行了严格的定义，古典微积分对导数的定义为:f'(x)＝Δy/Δx，而现代微积分对导数的严格定义为:f'(x)＝lim(Δx→0)│Δy/Δx。
但是，现代微积分真的解决第二次数学危机了吗?学界一般认为已经彻底解决了，但其实却并没有也不可能真正的解决，这是因为现代微积分中的导数定义同样包含着难以解决的逻辑矛盾。
仍然是用先前所述一模一样的例子来求物体在时间等于3分钟时的瞬时速度，应用现代微积分中导数的定义便是:f'(3)＝lim(Δx→0)│Δy/Δx，Δy=(3＋Δx)^2－3^2，Δy除以ΔⅩ，通过约分，计算结果为6＋Δx，对计算结果取极限，则最后的结果为6。列出简式便是:f'(3)＝lim(Δx→0)│Δy/Δx＝lim(6＋Δx)＝6
到这里，我们会惊讶地发现，用现代微积分导数定义所做出来的结果，和用古典微积分导数定义所做出来的结果，居然是一模一样的。
那么，两者之间究竟有什么差别呢?现代微积分所做出的解释是:根据定义，lim(Δx→0)是对Δx取极限，Δx的极限为0，所以lim(6＋△x)＝6。
这样的解释听起来好象并没有什么问题，但若严格分析，就会发现大谬特谬:
首先，计算公式中对等号右边的Δx取极限为0，那么相应的，对等号左边的Δx是不是也要相应的取极限为0呢?如果对等号左边的Δx也取极限为0，则等号左边的分母为0，无意义。
显然，在计算过程中，是不能对等号左边的Δx取极限为0的，否则就是无意义。但是，只对等号右边的Δx取极限而不对左边的Δx取极限，这样的操作是合法的吗?这与牛顿对无穷小的错误处理方法岂不是换汤不换药?
再进一步的分析:如果不对等号左边的Δx取极限，即它不是0，那么，它究竟是什么?Δx如果不是0，那它就是一个极小极小的量，它是实数吗?如果是实数，那它就是“大于0的最小正实数”，也就是牛顿时代数学大师们头脑中的那个包含矛盾，子虚乌有的实无穷小，数学发展了一大圈，居然又回归到了起点。
如果Δx不是0，也不是牛顿时代所谓的实数无穷小，那么，它是一个无限趋近于0的变量吗?如果它是一个无限趋近于0而永远不等于0的变量，既然等号左边的Δx永远不等于0，那么相应的，等号右边的Δx也一样不能为0。
总之，无论怎么解释，上面的矛盾都是解释不通的，这也只能说明现代微积分对导数的定义是包含矛盾的，同样也说明，现代数学并没有真正的解决第二次数学危机。
最后附图牛顿古典微积分求导与现代微积分求导过程中的逻辑对比图。

门外汉

函值极限论(十八):无穷小发威，推翻导数的矛盾定义③:用实无穷小与虚无穷小正确计算导数

下面用实无穷小与虚无穷小的概念正确处理导数的计算问题:
求物体在3分钟时的瞬时速度，用现代微积分的导数定义，计算公式为:lim(△x→0)△y/△x，其中△y＝(3＋△x)^2－3^2，将△y展开，为3^2＋6△x＋△x^2－3^2，3^2与－3^2抵消，则△y＝6△x＋△x^2。
即lim(△x→0)△y/△x＝lim(△x→0)(6△x＋△x^2)/△x。
我们分析一下分母△x，首先，△x无限趋近于0即它的极限为0，所以△x是无穷小，根据前文中关于无穷小的逻辑运算法则:实无穷小因为严格等于0不能做为分母，所以△x为恒大于0的虚无穷小。
第二个在计算过程中特别要注意的问题是6△x＋△x^2)/△x，分子与分母相约的结果是6＋△x而不是直接等于6。
在本系统第(十五)节中，给出了一个无穷小逻辑运算的典型案例，即高阶无穷小f(x^2)与低阶无穷小f(x)相约的结果是x而不是直接等于0，否则是犯了逻辑错误。
由以上对瞬时速度的逻辑运算整理可得:lim(△x→0)△y/△x＝lim(6＋△x)＝6。
但是这里要注意的是:由于△x是虚无穷小，所以6是该导数的虚极限而不是实极限。
虚极限是什么意思?
△x是虚无穷小，虚无穷小的意思是无限趋近于0而永远大于0，所以虚极限的意思是无限地趋近于6而永远大于6。
所以，这才是导数真正的数学含义:导数不是一个实数，而是以实数为极限的变量。
由此，微积分3.0版本函值极限论与现代微积分2.0版本在计算导数的结论上，出现了极其重大的分歧:现代微积分学认为导数是一个固定的常量，而函值极限论认为导数是一个以常量为极限的变量，这一结论的推出，无异于是在数学界掀起十级地震，大厦将倾。

门外汉

第十八小节中的许多字居然上传不了

门外汉

函值极限论(十九):现代微积分逻辑混乱的根源:对→符号的两种不同解读方法
→符号读作“趋于”，例如x→a读作x趋于a，这个符号与lim(取极限)和＝号组合运用，是最常用的微积分符号之一，然尔，如果对这个→符号解释不清楚，就会出现逻辑混乱的情况。
这个→符号实际上是有两种不同的解读方法，分别为:
①:→代表的是无限趋近于但永远不等于的意思，例如:lim(t→3)2/(t－3)＝∞，由于0不能做除数，所以这里的t不能等于3，所以t→3代表的是t无限趋近于3但永远不能等于3的意思。
②:→代表的是无限趋近于并且等于的意思，例如:lim(x→2)8/x＝4，当x＝2时，8/x＝4，在这里x→2便是代表x无限趋近于2并且x＝2(如果令x永远不等于2则于逻辑不通)的意思。
因此对于同一个函数，一定要严格区分清楚→符号究竟是代表什么意思，两种解释方法只能二选其一，不能混合使用，否则便会出现逻辑混乱。
以第(十八)节中求导数的例子为例:lim(△x→0)△y/△x＝lim(△x→0)((3＋△x)^2－3^2)/△x＝lim(△x→0)(6＋△x)，在这个式子中，等号左边的△x→0代表的是△x无限趋近于0而永远不等于0(否则0做分母)，而对等号右边的△x→0的解释是:△x无限趋近于0并且等于0(否则6＋△x大于6)，因此在同一个函数中，对→符号出现了两种不同的解读方法，即潜无穷思想与实无穷思想的混用，从而导致逻辑矛盾。
而无穷小有时大于0有时等于0，也是因为对→符号有两种不同的解释所造成的，如果不严格区分清楚，就会造成逻辑混乱。

jzkyllcjl

门外汉 发表于 2019-3-16 03:52
函值极限论(十九):现代微积分逻辑混乱的根源:对→符号的两种不同解读方法
→符号读作“趋于”，例如x→a读 ...

你说的对。现行教科书确实存在着混乱。

门外汉

函值极限论(二十):函值左极限与函值右极限
我们知道，一个函数在a点极限存在的充要条件是函数在a点的左极限和右极限同时存在并且相等。
下面给出函数左极限的定义:
设 f(x)是定义在区间(a，b)上的函数，如果对于任意给定的ε＞0，能够找到δ ＞0，使得满足不等式 b－δ＜x＜b 的一切 x，恒有|f(x)－A|＜ε，则称x从左边趋于b时，f(x)收敛于极限A，即A为f(x)当x→b的左极限。
右极限的定义与此类似，在此不表。
如果一函数在a点的左极限与右极限同时存在并且相等，则函数在该点的极限存在，否则极限不存在。
在本系统中，不仅要考察函数在a点的左极限与右极限是否存在，同时也要考察，函数在a点的左极限与右极限究竟是实极限还是虚极限。
如果函数在a点的左极限A存在，并且左函值极限Ao也存在，则称A为函数的左实极限，否则，如果函数在a点的左极限A存在，但左函值极限Ao不存在，则称A为函数的左虚极限。
函数右实极限与右虚极限的定义与此类似，在此不表。
因此有如下判定法则:
①:如果函数f(x)当x→a时，如果函数在a点的左右极限同时存在，并且左右极限同为实极限，则函数在该点的极限为实极限。②:如果函数f(x)当x→a时，如果函数在a点的左右极限同时存在，并且左右极限同为虚极限，则函数在该点的极限为虚极限。
③:如果函数f(x)当x→a时，如果函数在a点的左右极限同时存在，并且左右极限一个为实极限，另一个为虚极限，则函数在该点的极限为虚极限。

elim

jzkyllcjl 发表于 2019-3-15 21:28
你说的对。现行教科书确实存在着混乱。

现行教科书经你胡乱解读，要多错乱就有多錯乱．这就是你书著必须泡汤的原因：