[讨论]数系构造的逻辑历程

popo

再比如无限的概念
整数系的无限，分数系的无限，非实数系统的无限等等
当两者之间可以建立完全对应时，我们就说这两者的无限是相等的
而不能建立完全对应时，两者的无限的大小就出来了
这里的大小，好象就不再是序含义了，而是范畴的大小或者有无交集的概念了
比如正整数和分数的无限相等
再比如说边界的概念
如果一个数系是收敛于确定值域的，我们则说该数系是有边界的，反之，则是发散的
比如绝对值小于1的小数
而存在边界和是否无限是完全不同的概念……
……奶奶的，搞不明白，我只是个门外汉，胡说而已，哈哈哈

popo

下面引用由ygq的马甲在 2010/10/06 02:02pm 发表的内容：
一所房子，其结点是数，其结构是构造规则

好象这个比喻有问题，我试着用下你的比喻啊：
一所房子，是按照特定的构造方式和规则生成的
房子的所有建造材料的放置方式，在生成房子之间，是一个空间
在生成了房子之后，则形成了另一个空间
或者这样表述，在生成房子之间，材料的定义为：所有可用于建造房子的元素的集合
在房子生成之后呢，材料就变成了两部分：1、所有已用于房子的材料 2、所有没用于房子的材料
所有已用于房子的材料，服从的运算及规则，与所有没用于房子的材料所服从的运算及规则是不同的
那我们就说：两者形成了不同的数系或者不同的集合
如果我们在两类材料中进行比较
那么材料的强度部分是可以比较的，而材料间的空间位置部分，则是不能比较的
只有同一集合的材料，可以比较它们的空间位置[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 popo 在 时添加 -=-=-=-=-
或者可以这么说：
如果我们将房子里的材料作为一个空间
没用于房子的材料的堆放作为另一个空间
两者的直接如果存在参照系（比如更大的空间），也就还是可以比较的
或者换一句话来说，可能是这样的：
数系间的关系处理，隐含着参照系的选择
不恰当的选择，造成了两者关系运算的荒谬

popo

现在我们回过头来，考虑一下现有的数系：
实数系是由加减乘除乘方开方生成的
那么实数系中的所有数都服从相应的运算及运算法则
同时，实数系存在着序结构，因此可以相互比较大小
而复数系呢，则已经拓展了数的概念，将数赋予了空间的含义
即复数=实数的含义+空间的含义
由于范畴发生了变化，实数与复数就不再能比较大小了
同时由于复数的范畴大于实数（且包含了实数，即把实数看作同方向轴上的复数）
实数的运算可以作为复数的特例来处理，但实数的运算法则就不能完全适用于复数了

popo

那么什么叫代数结构呢
是不是可以这么理解：
所谓代数结构，即不同数系
以及不同数系相应的运算和运算法则所形成的结构
本质上是不同的代数空间所形成的结构
按这种方式，我再理解一下拓扑结构
我把拓扑理解为连续变形（不能有撕裂和粘连）
那么拓扑结构是不是可以理解为：连续变形的可能性空间所形成的集合结构
那么什么叫序结构呢
可不可以这么理解：所谓序结构，首先依赖于运算或者变换甚至于人为设定的方式
如果这种方式是有趋向性的，则相应的序结构存在，否则就是不存在的

popo

如果我上面那些思路可行
那么重点就不在数系了，而在于运算以及变换的特点上
或者说放在相应空间所能允许的逻辑方式及逻辑法则上
（也可以说放在相应空间的生成方式上）

[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 popo 在 时添加 -=-=-=-=-
换句话说：
与其考察数系
不如去考察空间的特性

popo

如果按照这个角度
有两个概念的区别，就是在实用上很重要的了：
运算与推理
所谓运算，即相应空间的生成方式与法则的统一体
所谓推理呢，则是运用相应空间的生成方式与法则，对命题进行判断
这就等于说：推理的基础在于首先要搞清楚运算与运算法则
在运算与运算法则不清晰的情况下
所谓的推理或者证明的可靠性，是很值得怀疑的[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 popo 在 时添加 -=-=-=-=-
在这个基础上，我们对公理系统进行考察：
所谓公理系统，即首先设定一个公理
然后进行推演的知识体系
其公理设定的本质，其实是首先直接认定一个或几个运算或生成法则的成立
然后在此基础上进行
本质上，公理系统是知识体系是方法论意义上的，而不是认识体系和认识论意义上的
公理系统的优缺点都来自这点：
公理中蕴涵的生成法则的局限性，必然带来相应知识系统的局限性
如果公理中完全蕴涵了相应空间的生成法则，则公理系统能最简洁化了统一本知识体系

popo

于是，事情的关键就变化了
证明是不重要的，重要的是：
我们有什么办法，可以可靠的得到相应空间的运算与运算法则
（但证明中也是很有门道的：如证明的路径依赖问题）
形式逻辑自身能证明自身吗？
形式逻辑中的悖论，只说明了形式逻辑自身的不完备性
通常，我们是通过引入另外的假定来拓展体系的
（是否可以理解为引入的假定中，其实是引入了新的运算？）
还有什么更好的方法吗？
----这其实，才是最为关键的问题
[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 popo 在 时添加 -=-=-=-=-
我们证明和解决一个问题，通常有两个武器：
1、已有的知识体系  2、我们自身
已有的知识体系带给我们证明能力的同时，也把它的缺陷给了我们，它无法给更多了
我们自身却不受已有知识体系的限制，可以充分运用直觉和想象力
数学的关键，从来就不在知识体系的掌握程度上，而在于我们自身
再职业化和技术化的数学家，都无法运用他的建立在现有知识体系上的职业素质，去发现和证明新的领域

ygq的马甲

这个人（ popo ）喜欢自言自语 ？？？

申一言

下面引用由ygq的马甲在 2010/10/06 03:48pm 发表的内容：
这个人（ popo ）喜欢自言自语 ？？？

  他是大师一级的！
  在启发大家开拓创新！

changbaoyu

“如果公理中完全蕴涵了相应空间的生成法则，则公理系统能最简洁化了统一本知识体系”
[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 changbaoyu 在 时添加 -=-=-=-=-
自言自语自新创新无干扰！[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 changbaoyu 在 时添加 -=-=-=-=-
引：guanchunhe ：素勾股数的最简公式为：x=p(p+2q), y=2q(p+q), z=(p+q)^2+q^2
其中：p，q均为正整数，且p只取奇数。
请见《空间勾股定理及空间勾股数》一文(guanchunhe)。
[第 12 楼］素勾股数公式的求法，可以令：
Ｒ＝２ｐｑ，则：Ｒ＾２＝２×２ｐ＾２×ｑ＾２＝２ｒδ，
即有：ｒ＝２ｐ＾２，δ＝ｑ＾２。由：
Ｘ＝Ｒ＋ｒ，   ＝＞２ｐｑ＋２ｐ＾２        ＝２ｐ（ｑ＋ｐ），
Ｙ＝Ｒ＋δ，    ＝＞２ｐｑ＋ｑ＾２          ＝ｑ（２ｐ＋ｑ），
Ｚ＝Ｒ＋δ＋ｒ，＝＞２ｐｑ＋ｑ＾２＋２ｐ＾２＝２ｐ（ｑ＋ｐ）＋ｑ＾２，
因：偶＋奇＝奇，不难看出，显然有：（Ｘ，Ｙ，Ｘ）＝１，且ｑ为奇数。
然：Ｒ＝Ｘ＋Ｙ－Ｚ，是固有的！所以：Ｒ＾２＝２ｒδ，而ｒ，δ两数存明。【蕴涵了相应空间的生成法则】。