[原创]看老夫手段如何——新"勾股定理"：x^2+y^2+z^2=u^2

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2010/10/12 06:57pm 第 3 次编辑]

下面引用由moranhuishou在 2010/10/11 05:28pm 发表的内容：
主要是没有弄明白m n p是怎么取的。

    如果已知有 x^2+y^2+z^2=u^2 ，要求 m ，n ,p ,w ，可以这样做：
先取 m=x+u ，n=y ，p=z ，w=2(x+u) 。再看它们有没有公约数，如果有最大
公约数 d ，从 m , n , p 中约去这个公约数 d ，从 w 中约去 d^2 。
这样，就得到了 m ，n ,p ,w ，可以使得
    x=(m^2-n^2-p^2)/w , y=2mn/w , z=2mp/w , u=(m^2+n^2+p^2)/w 。

例如，已知有 3^2+16^2+24^2 = 29^2 ，这里 x=3 , y=16 , z=24 , u=29 。
    要求 m ，n , p ,w 。
先取 m=x+u=3+29=32 ，n=y=16 ，p=z=24 ，w=2(x+u)=2×(3+29)=64 。
它们的最大公约数是 d=8 ,于是有
    m=32/8=4 ，n=16/8=2 ，p=24/8=3 ，w=64/8^2=1 。
可以验证一下，确实有：
     x=(m^2-n^2-p^2)/w = (4^2-2^2-3^2)/1 = 3 ,
     y=2mn/w = 2×4×2/1 = 16 ,
     z=2mp/w = 2×4×3/1 = 24 ,
     u=(m^2+n^2+p^2)/w = (4^2+2^2+3^2)/1 = 29 。
满足  x^2+y^2+z^2 = 3^2+16^2+24^2 = 29^2 = u^2 。

技术员

佩服陆教授!

moranhuishou

陆教授的推理无疑是正确的。但这里的关键是，这个推理是在“已知有”的前提下进行的，也就是当给出的一组参数满足给定条件之后，则这个平方和成立。
而本楼的公式是可以随意地构造出无数个任意大的这样的满足条件的平方和等式。
虽然他们是等价的，但毫无疑问，这样的构造过程却非常的简单，一般人一看就明白。

由此也想到下面的“勾股定理”公式同样存在这样一个问题：
m^2-n^2    2mn    m^2+n^2
待续。

changbaoyu

下面引用由moranhuishou在 2010/10/12 08:18pm 发表的内容：
陆教授的推理无疑是正确的。但这里的关键是，这个推理是在“已知有”的前提下进行的，也就是当给出的一组参数满足给定条件之后，则这个平方和成立。
而本楼的公式是可以随意地构造出无数个任意大的这样的满足条　...

分析的完全正确！续深入到何程度！？抓住要点！二〇一〇年十月十三日星期三

moranhuishou

关于勾股定理公式，我们可以采用下面的更加简洁实用的,可以很容易构造出任意勾股数组的公式：
x=a     y+z=a^2/t   t=z-y  ，其中 t|a^2    （1）
当t=1时，即有
x=a     y=[a^2/2]    z=y+1 ,   [取整]      （2）
显然，若x=a为素数，则由a构成的勾股数只有（2）一种形式
例如
x=7    y=[49/2]=24      z=24+1=25
若a为复合数，则构成的勾股数与这个数的分解因数有关，（详细分析略，仅举一例）
x=21  =3 *7
第一组：  21    220     221
第二组：  21 （3）    28（4）     35（5）
第三组：  21 （7）   72（24）    75（25）
第四组：  21          20          29
其中第一 四组为基本勾股数。

moranhuishou

下面引用由风花飘飘在 2010/10/13 02:43pm 发表的内容：
16X^4-8√3X^3-12X^2+8√3X-3=0 （鲍丰武九等分圆方程）
方程的四个根全为实数：
（1）√3/2，也就是 cos30°；
（2）-cos10°；
...

没研究过这个，不知道方程的四个根全为实数说明什么问题。