集合，映射，一一对应， 无穷大

elimqiu

与直觉主义的潜无穷的无穷观不同的是实无穷的无穷观。实无穷观不是否定潜无穷的数学对象，而是认为数学的存在不仅仅是可构造意义下的存在，也可以是不以人的意志为转移，非构造性的存在。例如对实无穷论者来说，自然数的全体是一个完全确定了的（不再增长的）集合。已经含有并且仅仅含有一切自然数。同理，数轴与由其上的点的全体所成的集合等同，平面上的一个圆周就是平面上与某个定点的距离等于某常数的点的全体等等。
如果认为这里提到的‘全体’确实构成了集合（这样的集合确实存在），那么显然这种集合不是有限的因而它们是实无穷的例子。
我们提到潜无穷论和实无穷论都无法从绝对的意义上证明其真理性。并且显然潜无穷论有实无穷论不具有的有点，实无穷也有潜无穷论不具备的优点。例如大家关注哥猜。然而哥猜如何潜无穷地陈述还真有点棘手是吧？
思考题：有没有可能用构造来证明费马猜想？
人就是人，在对自己和世界不完全清楚的时候已经被迫要作很多决定。于是有人采取潜无限的立场，有人采用实无穷的立场。 毛说一万年以后还会有左中右，那还是假定了某种真理的存在。而在潜实无穷的争论中未必有什么普遍性的真理可言。也许对某些无穷是实的，而另一些是潜的？ 换句话说，实/潜无穷也许都不能作为对无穷的全称判断。
那么应该如何面对无穷？ 这是每个人在每个遇到的具体问题上可以作的选择。对于我来说，我不会去依靠改变实无穷的数学中的概念来否定某个实无穷的数学中的某个结果。我会尽可能地使用有限构造的方法处理数学问题。

wangyangkee

elimqiu不是笨蛋，不愚蠢，不驴打滚，不狗屎堆逻辑，elimqiu不是白痴，elimqiu不是饭桶，不是网痞，不是下三滥，

elimqiu

既然潜无穷论者不承认实无穷集合，所以我们关于无穷集合的讨论就统统是实无穷论者的戏了。
先看看无穷与有穷的显着区别： http://baike.baidu.com/view/1340852.html
希尔伯特在谈到“无限大”的奇怪而美妙的性质时说到：
　　我们设想有一家旅馆，内设有限个房间，而所有的房间都已客满。这时来了一位新客，想订个房间，“对不起”，旅馆主人说，“所有的房间都住满了。”
　　现在再设想另一家旅馆，内设无限个房间，所有的房间也都客满了。这时也有一位新客，想订个房间。“不成问题！”旅馆主人说。接着他就把１号房间的旅客移到２号房间，２号房间的旅客移到３号房间，３号房间的旅客移到４号房间等等，这样继续移下去。这样一来，新客就被安排住进了已被腾空的１号房间。
　　我们再设想一个有无限个房间的旅馆，各个房间也都住满了客人。这时又来了无穷多位要求订房间的客人。“好的，先生们，请等一会儿。”旅馆主人说
　　。于是他把1号房间的旅客移到2号房间，2号房间的旅客移到4号房间，3号房间的旅客移到6号房间，如此等等，这样继续下去。现在，所有的单号房间都腾出来了，新来的无穷多位客人可以住进去，问题解决了！

elimqiu

定义： 集合A的真子集B是一个集合，B的元素皆是A的元素，但A的元素不全是B的元素。
希尔伯特旅馆的比喻说明无穷集合有一个出乎人们经验常识的性质：它可以与自身的真子集对等。
可以看出法则 r(n) = n+1 确定了从 【正整数全体】 到 【大于1的正整数全体】 的一一对应。按照习惯的记法，就是 {1,2,3,…} 到 {2,3,4,…} 的一一对应。正是这种对应腾出了一号房间。
同理，法则 R(n) = 2n 确定了从 【正整数全体】 到 【正偶数全体】的一一对应，这个对应腾出了所有奇数号的房间。可以接待（可数）无穷多个新房客。
我们需要一点时间来看看这些东西究竟有没有合理性。

hxl268

elimqiu 是有老年痴呆症的白痴啊！

wangyangkee

下面引用由hxl268在 2010/10/27 03:31am 发表的内容：
elimqiu 是有老年痴呆症的白痴啊！

hxl268 对 elimqiu老师的言辞过激而不符事实；
   因为elimqiu老师不是笨蛋，不愚蠢，不驴打滚，不狗屎堆逻辑，elimqiu不是白痴，elimqiu不是饭桶，不是网痞，不是下三滥，
   显然，elimqiu老师不是有痴呆症的白痴！

elimqiu

[这个贴子最后由elimqiu在 2010/10/26 11:41pm 第 1 次编辑]

两位在这个主题下进行白痴的讨论白痴不白痴？
5000年一出是hxl268自己号称的。如果wangyangkee 推翻了hxl268的英明，或者说证明了hxl268 所言错误。那么wangyangkee 就证实了hxl268 的5000年白痴成分（出身）。否则 wangyangkee 就与人家 5000年的英明伟大抵触，沦为白痴。
不管怎么说，看来是节气关系，两位同时驴滚到此。就自己照顾自己把。

wangyangkee

hxl268 对 elimqiu老师的言辞过激而不符事实；
   因为elimqiu老师不是笨蛋，不愚蠢，不驴打滚，不狗屎堆逻辑，elimqiu不是白痴，elimqiu不是饭桶，不是网痞，不是下三滥，
   显然，elimqiu老师不是有痴呆症的白痴！

elimqiu

为了理解24楼，看看这个连接：
http://www.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=10584&start=144&show=0#155[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 elimqiu 在 时添加 -=-=-=-=-
令 M 为全体正偶数， N 为全体正整数， f 是 M 到 N 的映射，
定义为 f(m) = m/2  ( m ∈ M ).
显然 f 把不同的正偶数对到不同的正整数。而且对任给的正整数 n, 2n 是正偶数，
按照f 的定义， f(2n) = n。 所以 f 是正偶数全体到正整数全体的一一对应。

设想 {1,2,3,......} 的元素是编号为 1，2，3,... 的坑
每个坑里长了一个萝卜。我们给第n个坑中的萝卜代上一顶帽子，帽子的编号是 2n
1 对应坑1 对应 帽子 2 对应  2
2 对应坑2 对应 帽子 4 对应  4
3 对应坑3 对应 帽子 6 对应  6
4 对应坑4 对应 帽子 8 对应  8
5 对应坑5 对应 帽子10 对应 10
6 对应坑6 对应 帽子12 对应 12
7 对应坑7 对应 帽子14 对应 14
.............................
k 对应坑k 对应 帽子2k 对应 2k
.............................

这就是说全体正整数和全体正偶数一一对应。

elimqiu

相信楼上给出了相当多的人可以信服的演示，说明正整数全体可以与它的‘一半’对等（即一一对应）。
不难证明，任何无穷集合都有一个与正整数全体对等的子集。
不过搞这些东西到底有什么意思？ 为什么人们会接受无穷集合的存在，还要去探究，比较无穷集合的元素的‘个数’？
这是一个很好的问题。有时间再继续。