[求助]请luyuanhong和elimqiu二位老师审查：这是不是对角线方法的一个疏漏?

elimqiu

下面引用由天茂在 2010/11/01 09:21am 发表的内容：
如果规定只使用0.011111… 表示 0.1. 这样的规定是正确的。我在文章的第五小节也采取了类似的做法，不同的是，我是留下了0.1，而舍弃了0.011111……，这样更简便一些。
但是，即便如此，所有小数的个数也是2^阿列夫0-1，而不是阿列夫0。而2^阿列夫0-1仍然是大于阿列夫0的。
这就是说，小数排列矩阵的行数大于列数，这不是方阵，因此就不会产生对角线。

你的简便使得对角线法失效。

天茂

[这个贴子最后由天茂在 2010/11/01 09:39am 第 1 次编辑]

下面引用由luyuanhong在 2010/11/01 09:15am 发表的内容：
在（0,1) 中的任何一个实数，都可以写成一个有无穷多位二进制小数的数。
注意：即使从某一位以后的小数都是“0”，如“0.1000000000……”同样也应看作有无穷多位小数。
把这些有无穷多位小数的实数，从上到下排 ...

康托尔定理说什么来着？2^阿列夫0＞阿列夫0！这不就是一个无穷大大于另一个无穷大吗？
而现在这个矩阵的宽度正好就是阿列夫0，而高度恰恰又是2^阿列夫0！

天茂

下面引用由luyuanhong在 2010/11/01 09:15am 发表的内容：
“阿列夫0”是集合论中的基数，不是一个数，不能当作数来使用。
所以，不能说什么“Xi 有阿列夫0位小数”等等。

一个无限小数的小数位数是不是可数无穷个？

elimqiu

下面引用由天茂在 2010/11/01 09:29am 发表的内容：
一个无限小数的小数位数是不是可数无穷个？

可以这么说。

天茂

下面引用由elimqiu在 2010/11/01 02:31am 发表的内容：
可以这么说。

那么，说一个无限小数的小数位数就应该是阿列夫0个，这就是说矩阵的宽度是阿列夫0。
高度是多少呢？下面就来计算一下：

elimqiu

您的计算说明实数的基数等于自然数集的幂集的基数。按照康托关于幂集的基数的定理，自然数集的幂集的基数大于自然数集的基数，所以前者是不可数无尽集的基数。

天茂

下面引用由luyuanhong在 2010/11/01 09:15am 发表的内容：
楼主给出的“（0，1）中二进制小数的排列方法”，其实只包括了所有能表示成有限位二进制小数的那些实数，并没有包括所有的实数，甚至连有理数，也没有能做到全部包括在内。
例如，有理数 1/3 ，它的二进制小数是 0.01010101… ，请问它在楼主给出的排列方法中，排在第几个？能不能给出一个具体的数字来？

这确实是一个很麻烦的事情。事实上，这个数字大概位置在“阿列夫0/2”类型的中部。不过，这都是第五小节的内容，我的重点不在这里。
我知道我这篇文章的结论肯定是错的，但却不知道错在哪里。
前四小节是一个整体，希望陆老师能继续针对前四小节提出批评指导意见。

天茂

下面引用由luyuanhong在 2010/11/01 09:15am 发表的内容：
要找到一种将全体有理数逐一排列起来的方法，那还是可以的。
但是，不可能找到一种将全体实数逐一排列起来的方法。

请问陆老师：下面的这种排列方法只能穷尽有限小数吗？无限小数是不是也包含在其内呢？
把[0，1]上的全体二进制小数按照二进制进位的相反方向进行排列，如下所示：
0.0，0.1,0.01,0.11,0.001,0.101,0.011,0.111,0.0001,0.1001,0.0101,0.0011,0.1011，……

天茂

下面引用由elimqiu在 2010/11/01 02:49am 发表的内容：
您的计算说明实数的基数等于自然数集的幂集的基数。按照康托关于幂集的基数的定理，自然数集的幂集的基数大于自然数集的基数，所以前者是不可数无尽集的基数。

康托定理是先假设自然数集的基数等于其幂集的基数，推出矛盾，所以结论就是自然数集的基数小于于其幂集的基数；
而我的证明则是由自然数集的基数小于其幂集的基数出发，最后推出自然数集的基数等于其幂集的基数。
这好像是一个悖论。

luyuanhong

下面引用由天茂在 2010/11/01 10:11am 发表的内容：
请问陆老师：下面的这种排列方法只能穷尽有限小数吗？无限小数是不是也包含在其内呢？
把上的全体二进制小数按照二进制进位的相反方向进行排列，如下所示：
0.0，0.1,0.01,0.11,0.001,0.101,0.011,0.111,0.0001, ...

这样的排列方法，不能说“无限小数也包含在内”。
因为，对任何一个无限小数，你都不可能用一个具体的数字，说出它是排列中的第几个。