[原创]八个连续的正整数,它们分别是2,3,5,7,11,13,17,19的倍数,求最小的这八个数.

trx

本帖主题继续讨论
问：在本命题已得解的8个连续数中，有几个数含有质因数11，而又有几个数含有质因数7？为什么？

luyuanhong

下面引用由trx在 2010/11/03 03:42pm 发表的内容：
本帖主题继续讨论
问：在本命题已得解的8个连续数中，有几个数含有质因数11，而又有几个数含有质因数7？为什么？

5316098 = 2×2658049
5316099 = 3×1772033
5316100 = 2^2×5^2×53161
5316101 = 7×41×18523
5316102 = 2×3^2×11×26849
5316103 = 13×191×2141
5316104 = 2^3×17×39089
5316105 = 3×5×19×23×811

trx

下面引用由luyuanhong在 2010/11/03 04:58pm 发表的内容：
5316098 = 2×2658049
5316099 = 3×1772033
5316100 = 2^2×5^2×53161
5316101 = 7×41×18523
...

主要必须论说出为什么这样！！！！

luyuanhong

下面引用由trx在 2010/11/03 07:20pm 发表的内容：
主要必须论说出为什么这样！！！！

5316101 是 7 的倍数，是因为题目要求它是 7 的倍数。其他的数，如果也要是 7 的倍数，
就必须与 5316101 相差一个 7 的倍数，但其他的数，与 5316101 相差不到 7 ，所以，其他
的数都不是 7 的倍数。
5316102 是 11 的倍数，是因为题目要求它是 11 的倍数。其他的数，如果也要是 11 的倍数，
就必须与 5316102 相差一个 11 的倍数，但其他的数，与 5316102 相差不到 11 ，所以，其他
的数都不是 11 的倍数。

wangyangkee

5316105≡-4383585      mod9699690
9699690≡0     mod(2,3,5,7,11,13,17,19)

trx

下面引用由luyuanhong在 2010/11/03 09:00pm 发表的内容：
5316101 是 7 的倍数，是因为题目要求它是 7 的倍数。其他的数，如果也要是 7 的倍数，
就必须与 5316101 相差一个 7 的倍数，但其他的数，与 5316101 相差不到 7 ，所以，其他
的数都不是 7 的倍数。
5316102 　...

luyuanhong的此解答如同网友对“哥猜”的解答，行吗？？？！！！

luyuanhong

下面引用由wangyangkee在 2010/11/04 07:05am 发表的内容：
5316105≡-4383585      mod9699690
9699690≡0     mod(2,3,5,7,11,13,17,19)

    前面我们已经求得：
按照正序是 2,3,5,7,11,13,17,19 倍数的最小一组连续正整数为：

(5316098,5316099,5316100,5316101,5316102,5316103,5316104,5316105)

按照逆序是 2,3,5,7,11,13,17,19 倍数的最小一组连续正整数为：

(4383585,4383586,4383587,4383588,4383589,4383590,4383591,4383592)

楼上发现，第一组数末尾的那个数，与第二组开头的那个数之间，有这样的关系：
5316105≡-4383585（mod 9699690），9699690≡0（mod 2,3,5,7,11,13,17,19）。
    实际上，还可以写得更简单一些，就是有

       5316105 + 4383585 = 9699690 = 2×3×5×7×11×13×17×19 。

这个发现很有意思，下面探讨一下，为什么会有这样的关系：

    容易看出，满足条件的每一组数，加减 9699690=2×3×5×7×11×13×17×19
后，仍然是满足条件的一组数。
    例如，(5316098,5316099,5316100,5316101,5316102,5316103,5316104,5316105)

加 9699690 后，得到一组数：

  (15015788,15015789,15015790,15015791,15015792,15015793,15015794,15015795)

这组数，也满足条件：
  15015788÷2 = 7507894
  15015789÷3 = 5005263
  15015790÷5 = 1063220
  15015791÷7 = 2145113
  15015792÷11 = 1365072
  15015793÷13 = 1155061
  15015794÷17 = 883282
  15015795÷19 = 790305
  同样道理，(5316098,5316099,5316100,5316101,5316102,5316103,5316104,5316105)

减 9699690 后，得到一组数：

  (-4383592,-4383591,-4383590,-4383589,-4383588,-4383587,-4383586,-4383585)

这组数，同样也满足条件：
  -4383592÷2 = -2191796
  -4383591÷3 = -1461197
  -4383590÷5 = -876718
  -4383589÷7 = -626227
  -4383588÷11 = -398508
  -4383587÷13 = -337199
  -4383586÷17 = -257858
  -4383585÷19 = -230715
    去掉这组数的负号，再把它们按照逆序排列，就得到：

(4383585,4383586,4383587,4383588,4383589,4383590,4383591,4383592)

它们当然满足逆序条件：
  4383585÷19 = 230715
  4383586÷17 = 257858
  4383587÷13 = 337199
  4383588÷11 = 398508
  4383589÷7 = 626227
  4383590÷5 = 876718
  4383591÷3 = 1461197
  4383592÷2 = 2191796
    这样，我们就解释了为什么会有 5316105 + 4383585 = 9699690 的道理，
其实是因为有 5316105 - 9699690 = -4383585 的缘故。

trx

luyuanhong ，如果本帖主题之解用8个不同字母表示出，又该如何讨论本人问的为什么？？？

luyuanhong

下面引用由trx在 2010/11/04 01:05pm 发表的内容：
luyuanhong ，如果本帖主题之解用8个不同字母表示出，又该如何讨论本人问的为什么？？？

一般来说，在连续 p 个整数中，总是有且仅有一个整数是 p 的倍数。
例如，在连续 7 个整数中，总是有且仅有一个整数是 7 的倍数。
在连续 11 个整数中，总是有且仅有一个整数是 11 的倍数。

trx

[在本命题已得解的8个连续数中，有几个数含有质因数11，而又有几个数含有质因数7？为什么？]
解答：在本命题已得解的8个连续数中，只有1个数含有质因数11，也只有1个数含有质因数7.
   讨论：P为无限自然数数列1，2，3，4，5，...，P，…中任意质数，以质数P的自占位为起点，以自身值为周期在该数列中作周期占位，则被占数位的值依序为2P，3P，4P，5P...，显然，此含有质因数P的无限合数数列为含有质因数P的合数的全部集合，其它不被占数位中不再存在有含有质因数P的合数。此讨论可得一定理。
    定理：在整个自然数中，含有质因数P的全部合数所处位置，皆为以质数P的自占位为起点，以自身值为周期作周期性占位所定。
    该定理又可解释为：在整个自然数中，每连续p个数位中，有且只有一个数位含有质因数p.
   据该定理可知：在本命题已得解的8个连续数中，已知有一数含有质因数11，则其它数位不再含有质因数11；而在这8个连续数中，含有质因数7的数居其第五数位，则其它数位中不再含有质因数7.