请看一下用"二分法无限分割"得到的有理数集合是否与实数集合对等?

ygq的马甲

下面引用由门外汉在 2010/11/13 07:51pm 发表的内容：
我给你看一个数列:{2^1,2^2,2^3,2^4......2^n......}
这便是"二分法无限分割"的每一步操作步骤.
只要这个数列(或者说是集合)中的每一个元素都与全体自然数一一对应,便会认为这种操作方法是实无穷的.

仍然还是那句话，你（门外汉），混淆了两种不同的无穷
是否有【有限】的阶段，如果有，那么就是潜无穷。例如一个数列:{2^1,2^2,2^3,2^4......2^n......}
如果没有，那么就是实无穷

门外汉

下面引用由天茂在 2010/11/14 07:51am 发表的内容：
并不是任何道路都可以到达某个预定的目的地的。您的这个方法确实得不到任何一个无理数。
《数学辞海》中的“戴德金分割”词条内容为：
戴德金分割(Dedekindcut)  定义实数的一种方法．指按如下方法将一个有大小　...

戴德金分割与我的"二分法无限分割"的方法是不同的.
我只是想说:用"二分法无限分割"不能得到所有的实数(如陆教授所言),因为这种分割的方法得不到任何一个无理数.
但是另一个数学论坛上的两位数学专家却说用这种方法在限极限的情况下可以得到所有的实数,那么,用这种方法究竟是怎么能够得到某一个无理数的?
如果不能够证明用这种方法如何能够得到一个无理数,而又认为这种方法确实能得到全体实数,那么就只能得出来一个结论:在实数轴[0,1]区间,不存在无理数.

门外汉

下面引用由ygq的马甲在 2010/11/14 08:14am 发表的内容：
仍然还是那句话，你（门外汉），混淆了两种不同的无穷
是否有【有限】的阶段，如果有，那么就是潜无穷。例如一个数列:{2^1,2^2,2^3,2^4......2^n......}
如果没有，那么就是实无穷

一句话指明你犯的逻辑错误:你认为实无穷中不存在有限的部分.

门外汉

其实我早就总结出来了一条经验:如果你坚持的是潜无穷,那么他会用实无穷来反驳你;如果你坚持的是实无穷,他会用潜无穷来反驳你.

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2010/11/14 02:07pm 第 1 次编辑]

下面引用由门外汉在 2010/11/13 09:11pm 发表的内容：
请教一下陆教授:用我的"二分法无限分割"的方法真的不能得到所有的实数吗?
我在另外的一个数学论坛上,有一位专家说用这种方法能得到全体实数,我将他的发言给您复制过来您看一下:
..................... ...

    你问：用"二分法无限分割"的方法真的不能得到所有的实数吗?
    要回答这个问题，首先必须明确：你说的“得到”是什么意思。
    如果你说的“得到”，意思是说：任何一个［0,1］中的实数 x ，都会出现在用你的“二分法”
得到的分割点的集合中，那么，答案是“不能得到”。
    在你的“二分法”得到的分割点集合中，不会出现无理数，甚至连有理数也不能全部包括在内，所
以，按照这样来理解“得到”，应该回答说：用"二分法无限分割"的方法不可能“得到”所有的实数。
    如果你说的“得到”，意思是：任何一个［0,1］中的实数 x ，都可以成为你的“二分法”得到
的分割点集合中某个点列的极限，那么，答案是“能得到”。
    对任何一个［0,1］中的实数 x ，总可以在用“二分法”得到的分割点集合中，找到一个点列
{a(n)} ，使得当 n→∞ 时，这个点列的极限，就是实数 x 。
    按照这样来理解“得到”，应该回答说：用"二分法无限分割"的方法能够“得到”所有的实数。

门外汉

我觉得陆教授的回答是相当严谨的.
但是我还有一点疑问:您的意思是说:在第二种的情况下:其实还是不能将所有的实数按照这种分割法纳入到一个集合之中,是吗?

ygq的马甲

下面引用由门外汉在 2010/11/14 10:04am 发表的内容：
一句话指明你犯的逻辑错误:你认为实无穷中不存在有限的部分.

非常【明确】的说，实无穷，不涉及【有限】的

门外汉

下面引用由ygq的马甲在 2010/11/14 00:07pm 发表的内容：
非常【明确】的说，实无穷，不涉及【有限】的

你将无限与有限完全的割裂?二者之间没有任何的联系?
如果你是这样的观点,即是潜无穷的观点.
因为按照你的观点,{1,2,3,4.......n}不能构成集合.

门外汉

请陆教授看一下我的证明对不对?有没有错误的地方?
证明:用二分法无限分割不能得到全体实数.
证明如下:
将实数区间[0,1]折半,使其成为两个互不相交的区间:[0,1/2),[1/2,1].
区间[0,1/2)为半开区间,右端无最大元素,也就是说:区间[0,1/2)右端无极限.
将区间[0,1/2)无限折半,而始终保留右端,如:[1/4,1/2);[3/8,1/2),[7/16,1/2).......
因为区间[0,1/2)右端无极限,所以用无限折半的方法不能得到最后一个实数,因为假使用这种方法能得到最后的一个元素Y,则Y为[0,1/2)的最大元素,这与[0,1/2)无最大元素相矛盾.
而用无限折半的方法不能得到[0,1/2)区间的最后一个元素,也即是意昧着用二分法无限分割的方法不能得到[0,1/2)区间的全体实数,所以更不能得到[0,1]区间的全体实数.
所以用二分法无限分割的方法在取极限的情况下所得到的集合必为可数无穷集.

luyuanhong

下面引用由门外汉在 2010/11/14 11:26am 发表的内容：
我觉得陆教授的回答是相当严谨的.
但是我还有一点疑问在第二种的情况下:其实还是不能将所有的实数按照这种分割法纳入到一个集合之中,是吗?

对。从一个集合中取出一些元素，组成一个序列，这个序列的极限，不一定在这个集合中。
例如，所有形为 1/n 的数组成一个集合 { 1/n | n=1,2,3,… } ，当 n→∞ 时，1/n→0 ，
极限 0 并不在集合 { 1/n | n=1,2,3,… } 中。