【旧帖重提】梅腾斯公式推广

白新岭

天山草 发表于 2016-11-24 20:37
所谓推广的梅腾斯公式，是指下面这个公式：

不过近几年天山草先生对与素数有关的问题很少参与讨论了。更不用说发表主题了。

独木星空谁

天山草 发表于 2016-12-8 18:41
大傻8888888，我已将这东西完整的发到了数学研发论坛，帖子名为【数论问题，证明一个梅腾斯公式的推广】。

我实际计算了n=3与n=4的情况，其值与天山草的大相径庭，差距有点大；如果天山草先生有空的话，希望从新计算一下：\({Ln}^3(x)*∏(1-{3\over P})\)的值，P≥5，为素数，趋于无穷大，x→∞，即此式的极限值。接着计算一下：\({Ln}^4(x)*∏(1-{4\over P})\)的值，P≥5，为素数，趋于无穷大，x→∞

天山草

独木星空谁 发表于 2021-8-25 08:30
我实际计算了n=3与n=4的情况，其值与天山草的大相径庭，差距有点大；如果天山草先生有空的话，希望从新计 ...

下面这个是 n=3 和 n=4  的情况。换个书写方式再次验算一下，其值如下：

独木星空谁

天山草 发表于 2021-8-25 09:09
下面这个是 n=3 的情况。可以实际验算一下，它的值并不是无穷大。

它们的值都是一个确切值。只是当x趋于无穷大时，表达式的极限值，与天山草先生给出的值差距较大，并不一致。我在数学研发论坛也发一个同样的问题，希望天山草先生有空，从新计算一下它们的值（n=3和n=4时的情况）。问题可能出现在f(m)=f(m-1)*(1-1/(p-m)^2)上，在素数5以下不成立，对于n=3和n=4时，当大于等于5时，成立，因为它们并不连贯（贯通），这就与微积分中的0/0相似，微积分中，过程变量可以那样过度，而这里是无法过度的。

白新岭

天山草 发表于 2016-11-24 20:37
所谓推广的梅腾斯公式，是指下面这个公式：

梅腾斯公式的推广可以转化到k生素数的数量公式的系数上来，它们有一定的数值联系，推导过程如下：
\({ln}^k(P)∏(1-{k\over P_k})\)=\(∏({P\over(P-1)})^k∏(1-{k\over P_k})\)=\(∏({P\over(P-1)})^k∏{{P_k-k}\over P_k}\)=\(∏({P_i\over(P_i-1)})^k∏{{P_k^{(k-1)}(P_k-k)}\over (P_k-1)^k}\),前一部分\(P_i\)是小于等于（k+1）的，后边\(P_k\)>（k+1）的，这样后半部分 基本上与k生素数的数量公式中的系数一致（也有部分缺项和值不等的情况，针对着做恒等变形即可），前部分是不一致的地方，需要单独处理。
鉴于这种关系，可以计算出，k生素数的数量公式中的系数与梅滕斯推广公式的值之间的相互关系（k与n一一对应）。最密3生素数的数量公式，还有最密4生素数的数量公式中的系数已有（特别是4生，能从互联网上查到），无论用什么方法计算其值，应该不产生矛盾才是，所以它们的值必然有一个是错误的。

白新岭

最近几天要用到此贴的一些数据，有空时详细的阅读一遍。

白新岭

n值        常数
2        0.819802446761417000
3        0.670891137176445000
4        0.840258827690047000

独舟星海

n值        常数
2        0.819802446761417000
3        0.670891137176445000
4        0.840258827690047000
6        0.913696498927949000
7        0.882170421101332000
8        0.821858222440805000

独木星空谁

天山草 发表于 2016-11-24 20:37
所谓推广的梅腾斯公式，是指下面这个公式：

n值        常数
2        0.8198024467614170
3        0.6708911371764450
4        0.8402588276900470
6        0.9136964989279490
7        0.8821704211013320
8        0.8218582224408050
9        0.6728058758352150
10        0.8430124893896950
11        0.7021951679445290
12        0.9177718695843230
13        0.8868498480188450
14        0.8271250132350180
15        0.6781131738061740
16        0.8513854007840780
17        0.7112251442524340
18        0.9336034327102970
19        0.9083474490046500
20        0.8571665659730140
21        0.7187089112867240
22        0.9500455911008540

独木星空谁

n值        常数
\(C_{15}\)        0.6781131738061740
\(C_{16}\)        0.8513854007840780
\(C_{17}\)        0.7112251442524340
\(C_{18}\)        0.9336034327102970
\(C_{19}\)        0.9083474490046500
\(C_{20}\)        0.8571665659730140
\(C_{21}\)        0.7187089112867240
\(C_{22}\)        0.9500455911008540
\(C_{23}\)        0.9382492774747350
\(C_{24}\)        0.9201934432369970
\(C_{25}\)        0.8898283297453090
\(C_{26}\)        0.8307658474580030
\(C_{27}\)        0.6821664445538960
\(C_{28}\)        0.8586062036883280
\(C_{29}\)        0.7202795644250320
\(C_{30}\)        0.9528429983828730