[求助](sin A)^4 的几何意义？

drc2000

下面引用由schaumal在 2011/05/28 04:25pm 发表的内容：
...能非常直观的将（sin A)^n，（cos A)^n，（tg A)^n 等的几何意义用规则图形的面积比呀、体积比呀等来表示。而且，潜意识告诉我，这会很有意义。...
    我喜欢自然而然，喜欢随意，不喜欢刻意。这个“模型”在自己心里已憋了十多年，其后并未刻意地去“研究”它。不过它时不时地想从心里冒出来，所以也不知道该贴出来呢，还是让它憋死在自己心里算啦...

从本质上来说,角的正弦是一个比值,也就是一个数.(sin A)^4就是一个数的四次方,
换言之,就是四个相同的数的乘积.
两数之积对应面积
三数之积对应体积.
四数或以上之积对于为高维几何体体积...
很多数学表达式有明确的几何意义,它可以帮助我们更深入分析理解问题.
    数学表达式和几何意义虽然往往有联系,毕竟数学表达式和几何意义是两个不同范畴内的问题.
    所以;不是任何的数学表达式都有明确的几何意义的.
    恕我直言:此问题有些意义,但估计不会"很有意义"
    随意的背面是刻意,一句"模型在自己心里已憋了十多年"正是你心中执着的的表现.想让"它憋死在自己心里算啦"却又盼着更多的人来讨论此问题.
心情如此复杂,这怎么又能够"顺其自然"呢?
    舍和得,选择其一,还是放弃吧!

schaumal

谢谢 21楼 drc2000 !
你说，“毕竟数学表达式和几何意义是两个不同范畴内的问题”。呵呵，是这样。
不过，知道吗，直到19世纪中叶，电和磁也被看作是两种相对不同的事物，可后来麦克斯韦在“思想实验室”中愣是把它们联系了起来，再借助于数学工具（麦克斯韦方程组），完成了电和磁的统一，表达了电磁场的本质。
再就是，我们人类目前知道自然界的力无非就是四种相互作用，也就是：强相互作用、弱相互作用、万有引力、电磁相互作用。尽管它们表面上看起来是那么的不同，但为什么人们却总是试图用一个什么“大统一理论”（grand unified theories，GUTs）去把它们统一起来呢？总是试图用同一组方程式去描述全部粒子和力的物理性质呢？这样的能表述“万物之理”（Theory of Everything，TOE）的理论或模型真的存在吗？真能被人类找到吗？呵呵，无论怎样，总值得人们一试，对吧？
再回到“毕竟数学表达式和几何意义是两个不同范畴”这个问题。借助坐标系，用代数方法研究集合对象之间关系和性质的解析几何，是不是已经是一个把数学表达式和几何（平面、立体）这两个不同范畴事物拉近了的成功范例？
还有就是，量子力学发展迅速，逐渐地，许多物理学家甚至相信：“量子力学是普适的”。但与此同时，人们长期以来对量子理论又抱有成见——太玄。人们急于知道：与直觉相悖的量子力学原理是如何作用于我们宏观世界的？全世界的实验物理学家都在不遗余力地探索从量子力学到经典力学之间的转变。量子叠加态的“模棱两可”是在什么时候、以及是怎么样转变成“非此即彼”，即一个确定的宏观世界的？除了许多人比较认可的“退相干”（Decoherence）理论外，还有“我在这里，我在那里”的“多重世界”理论，不过“你还是需要一个自洽的理论来解释我们在这个世界中切实感受到的物理”[罗格•彭罗斯（Roger Penrose）语]。呵呵，眼见为实嘛！如果缺少了这样的理论，你“就虚论虚”，你“多重世界”理论不就显得本末倒置了吗？
所以，无论“思想实验室”也好，还是数学方法演绎也罢，人们要求有一个能自圆其说的理论“来解释我们在这个世界中切实感受到的物理”的愿望是可以理解的。也就是说，人们有“眼见为实”的愿望是自然的，是可以理解的啊。否则，“就虚论虚”才真是没有多大意义。
正是从这个意义上说，明了一个数学表达式的几何意义，除了可以帮助我们更深入地分析、理解问题外，更重要的是：人们“眼见为实”后，说不定它还隐含着更深的物理、哲学等意义呢。
一句话，任何原创性的东东，尤其是自洽的原创性东东，都是应该鼓励的。

schaumal

任举一例。比如讲，根据我的“模型”：
(cosα)^4 可以表示为两“规则体”的面积比，也可用“模型”中其他两相关的“规则体”的体积比来表示。等等。

schaumal

是否需要再提示呀？

schaumal

在我的模型中，除了三角函数可以表示为面积比、体积比外，还有许多有趣的结果。比如，在某特定条件下，甚至可得到这样的结果:
1, 两体积之差，正好等于π；
2，此时，与黄金分割数Ф（1.61803398…） 有千丝万缕的联系…
这样一来，使数学中的两个著名常数相关啦，呵呵！

schaumal

这坛子真奇怪：上图很困难，但偶尔也能上。不知为什么。

schaumal

Niemand hat Lust dazu?

schaumal

呵呵，在我的这个模型中，我甚至有机会碰到这样一种情况：
sin(x)=f(x)/F（x）=[f(x)+ ψ(x)]/[F（x）+ψ(x)]
也就是说，分子分母同加一个相同函数（数），其比值不变。
嘿嘿，世界真奇妙！

schaumal

此贴不该沉下去呀：在我的这个模型中，许多三角函数关系式都能得到非常直观的证明。呵呵。