对正整数 m,n ，令 q=[(m+3)^n+1]/(3m) ，试证若 q 为正整数, 则 q 必为奇数

elim

主贴说，如果这个商是整数，那么它必为奇数。所以没有理由担心它不是整数，它可能极少有机会成为整数，但只要在它是整数的时候必不是偶数，主贴的命题就成立。

这个问题很难，所以很能刺激天才网友的数论兴趣

谢芝灵

elim 发表于 2017-4-11 04:28
主贴说，如果这个商是整数，那么它必为奇数。所以没有理由担心它不是整数，它可能极少有机会成为整数，但只 ...

(m+3)^n+1)/(3m) 中，当m，n为正整数时。

(m+3)^n+1)/(3m)≠整数

谢芝灵

谢芝灵 发表于 2017-4-11 05:01
(m+3)^n+1)/(3m) 中，当m，n为正整数时。

(m+3)^n+1)/(3m)≠整数

对不起，笔误。
应为之前我说过的，我就没看顺手抄了。
应为(4m+3)^n+1)/(12m) 中，当m，n为正整数时。

(4m+3)^n+1)/(12m)≠整数

awei

elim 发表于 2017-4-11 04:28
主贴说，如果这个商是整数，那么它必为奇数。所以没有理由担心它不是整数，它可能极少有机会成为整数，但只 ...

高次剩余远比二次剩余复杂的多。
只能向答案一步一步靠近，不能完全解决，也不见怪。
一，m为奇数，q为奇数。
二，m为4k+2型偶数，q为奇数。
因为（m+3）^n+1≡2（mod4）→q×（4k+2）≡2（mod4）→q被4除余1或者3→q为奇数。
三，m为4k型偶数。还无法解决。

关于（m+3）^n模3m的循环规律。
①m一定时，d为最小正整数使（m+3）^d≡1（mod3m）成立。
    那么d|δ（3m）∧（3，m）＝1
→d|δ（3）δ（m）
→d|2δ（m）
当m+3≠3m-1时，即m＞2时，
有d|δ（m）。*4k型偶数的欧拉函数为偶数，②会讲到d也为偶数*
②若有最小正整数r使（m+3）^r≡－1（mod3m）成立。
必然2r＝d∧2|d。
由①知d|2δ（m）→2r|2δ（m）→r|δ（m）。
当m＞2时，有r|δ（m）∧2|δ（m）。
③综合上述，m一定时，有最小正整数r使（m+3）^r≡－1（mod3m）成立，3m则整除（m+3）^[r+2kδ（m）]+1。当m＞2时，3m则整除（m+3）^[r+δ（m）]+1。

如m＝2，δ（2）＝1，r＝1，2×3|（3+2）^（1+2k)+1

m＝14，δ（14）＝6，r＝3，14×3|（3+14）^（3+6k）+1

王成5

谢芝灵 发表于 2017-4-11 11:45
q=[(m+3)^n+1]/3m
在上式，q，m，n 均为正整数，且q为奇。
当m为奇，必有q为奇。

  当m为偶数时，不一定被4整除
    如 m=14，n=3,     q=((14+3)^3+1)/(3*14)=117
         

谢芝灵

王成5 发表于 2017-4-13 12:52
当m为偶数时，不一定被4整除
    如 m=14，n=3,     q=((14+3)^3+1)/(3*14)=117

m被2整除还要你说。我前面有证明。你回过头去看。
其实楼主的题我能证明，只是不想写出来。

elim

看谢芝灵怎么证 0 不是实数就知道，他的‘证明’靠谱的可能性几乎为0.

谢芝灵

elim 发表于 2017-4-13 14:30
看谢芝灵怎么证 0 不是实数就知道，他的‘证明’靠谱的可能性几乎为0.

你自已的题你证不了。0你更是糊里糊涂了。

对于  奇数n， 当 m│（3^n+1）/4,  得 m的每个素数因子p都有   3│p-1，=== 这个定理估计你没见过。
故有 3│m-1, 得 m=3v+1
所以 3 qm=[（m+3）^n+1]/4=[（3v+1+3)^n+1]/4=3(整数）+2   === 矛盾！
所以  4│m 不成立。
之前知道 m奇q奇，m只能被2整除 q奇。故全题得证。

awei

谢芝灵 发表于 2017-4-13 15:49
你自已的题你证不了。0你更是糊里糊涂了。

对于  奇数n， 当 m│3^n+1,  得 m的每个素数因子p都有   ...

m＝14时，14|3^3+1，2是14的素因子，3|2-1吗？
m＝2时，一开始就……不说了，这样的定理的确没见过。

谢芝灵

awei 发表于 2017-4-13 16:07
m＝14时，14|3^3+1，2是14的素因子，3|2-1吗？
m＝2时，一开始就……

（3^3+1）/4=7
3|7-1
全部去掉“上浮”数！
上浮数 指 x^n+1 的 x+1，下沉数指 （x^n+1） /（ x+1），
请你不要拿能 去掉的上浮数来说事。
这是费马大定理中的定理：k|x^k+y^k,则≤k的数全上浮在 x+y中。下沉数 （x^k+y^k）/（x+y）只含一个k因子。其它的素数因子 q 都 有 k|q-1