无穷大的一个数学游戏

门外汉

下面引用由zhujingshen在 2011/05/11 05:40pm 发表的内容：
无穷数（1）是数中最大的，写不出来的数。10000……中的1在有限范围是不可能写出来的。
写为：（1）……0000。
在序列数中，可以看出：
序列{10，100，1000，10000，……}
...

你是承认皮亚诺公理的吧？
那么，你的无穷数（１）是自然数吗？
如果它是自然数，则根据皮亚诺公理，它必有后继。
请问：它的后继是比它大？还是比它小？还是与它相等？

zhujingshen

下面引用由门外汉在 2011/05/11 06:25pm 发表的内容：
你是承认皮亚诺公理的吧？
那么，你的无穷数（１）是自然数吗？
如果它是自然数，则根据皮亚诺公理，它必有后继。
请问：它的后继是比它大？还是比它小？还是与它相等？

（１）只是一个注解，
（１）.....00000.
代表100000.....00000.它的后续数是（１）.....00001.

zhujingshen

下面引用由门外汉在 2011/05/11 00:11pm 发表的内容：
皮亚诺公理的确很有趣，根据皮亚诺公理可以推导出下列的结论：在所有的自然数中，若某一个自然数是有限大的，则所有的自然数全都是有限大的；相反，若某一个自然数是无限大的，则可推出所有的自然数全都是无限大 ...

你们说的“无限大”，可能是指数值在变化。对“无限”的理解可能有所不同。”
第一：无限大数和无限小数是一样，都是位数的“无限”。
有限数的位数也是“无限”的，只是那些位数的数为0。
第二：无限大数是定数，不是变数，每个位数的数都是固定不变的。
既然承认无限小数，它的倒数“无穷大数”理应得到承认，它们都是一样的数，位数有无穷。
“无穷大数”和其它数的差别就是：“无穷大数”充分利用了这些无穷的位数，有限数只是利用了一点点的位数。
“如果承认在自然数中存在无穷大的自然数，则同时也要承认１无限大，２无限大......”
承认１的可以利用的位数有无限大，２的可以利用的位数有无限大......。
总不能1有1位数，其它都得1位数，那就不讲理了。

elimqiu

下面引用由zhujingshen在 2011/05/11 05:40pm 发表的内容：
...
……1111如果是（0）……1111，就比它小，如果是（1）……1111，就比它大，
...1111×9 表示为序列。
序列{9，99，999，9999，……}
……9999如果是（0）……9999，就比它小，如果是（1）……9999，就比它大，

这种东西是不符合你的【纯无限大数表达式】的定义的。什么叫如果是？你怎么鉴别？不知所云了吧？

zhujingshen

下面引用由elimqiu在 2011/05/11 00:34pm 发表的内容：
这种东西是不符合你的【纯无限大数表达式】的定义的。什么叫如果是？你怎么鉴别？不知所云了吧？

“一般的p进制纯无限大数表达式的定义： 给定正整数p (>1)，如果数列 {An} 满足 0 ≤ An < p, n =
1,2,…， 则称表达式
……A3 A2 A1.0= lim (A1*p^0+A2*p^1+A2*p^2+…+An*p^（n-1）)
               n→∞
为一个p进制纯无限大数。”
这里的（1）实际是标明（An*p^（n-1））
也就是
（An*p^（n-1））……A3 A2 A1.0= lim (A1*p^0+A2*p^1+A2*p^2+…+An*p^（n-1）)
这里，主要是一种应急的表示方法，如果两个数的（An*p^（n-1））可以比较，就可以比较两个数的大小。实际中是不可能使用这种表示方法的。

elimqiu

你的序列 {An} 有最终元吗？ 呵呵[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 elimqiu 在 时添加 -=-=-=-=-
玩无穷的游戏的大忌是：说无穷，想的却是有穷。

zhujingshen

[这个贴子最后由zhujingshen在 2011/05/12 05:11pm 第 1 次编辑]

下面引用由elimqiu在 2011/05/11 02:13pm 发表的内容：
你的序列 {An} 有最终元吗？ 呵呵-=-=-=-=- 以下内容由 elimqiu 在  时添加 -=-=-=-=-
玩无穷的游戏的大忌是：说无穷，想的却是有穷。

当 n→∞，{An} 就是最终元，当然，这里不可能实际写出来，在这里，就是标示一下。
从数学上讲，无穷也是有极限的，无穷就是最大，
不能超越“无穷大”=1/(1-0.99999......)，
所有的无穷都是（精确）相等的。
当到达无穷时，就到达了最终。无穷就是最终。
好像，人到达了山顶，向上再迈几步，还是山顶。
所以，数学的无穷和我们想的无穷，是有差别的。

zhujingshen

[这个贴子最后由zhujingshen在 2011/05/12 05:44pm 第 1 次编辑]

"给定正整数p (>1)，如果数列 {An} 满足 0 ≤ An < p, n = 1,2,…， 则称表达式
0.A1A2A3… = lim (A1/p^1+A2/p^2+…+An/p^n)
           n→∞
为一个p进制纯无限小数。"
*********************************
这里讲一下当n→∞时，p=10进制，{An}为什么是最小数。
因为：当n→∞时，An/p^n=An/10^n=0，后面，如果有An/p^（n+1）项，也都是0了。级数到此为止，该级数收敛。

zhujingshen

"给定正整数p (>1)，如果数列 {An} 满足 0 ≤ An < p, n = 1,2,…， 则称表达式
……A3 A2 A1.0= lim (A1*p^0+A2*p^1+A2*p^2+…+An*p^（n-1）)
                n→∞
为一个p进制纯无限大数。
*********************************
这里讲一下当n→∞时，p=10进制，{An}为什么是最大数。
因为：当n→∞时，An*p^（n-1）=An*10^（n-1）=∞=1/(1-0.99999.....)，
后面，如果有An/p^n项，也都是∞了,不再增大了，所以，不是"无限大数"的更高一级。级数到此为止，该级数对于∞收敛。

elimqiu

下面引用由zhujingshen在 2011/05/11 05:40pm 发表的内容：
...
……1111如果是（0）……1111，就比它小，如果是（1）……1111，就比它大，
...1111×9 表示为序列。
序列{9，99，999，9999，……}
……9999如果是（0）……9999，就比它小，如果是（1）……9999，就比它大，

什么叫如果是？你怎么鉴别？其实（0）……1111 中的那个 0 就是 {An} 的最终元，不过它可没有办法从 “n→∞，{An} ”得到。 化句话说， 最终元是扯蛋，进而你的‘如果是（0）’，‘如果是（1）’是扯蛋。

下面引用由zhujingshen在 2011/05/12 00:21pm 发表的内容：
当 n→∞，{An} 就是最终元，当然，这里不可能实际写出来，在这里，就是标示一下。
从数学上讲，无穷也是有极限的，无穷就是最大，
不能超越“无穷大”=1/(1-0.99999......)，
所有的无穷都是（精确）相等的。
...

所有的无穷都（精确）相等，导致所有的无穷大整数相等，于是游戏可以结束了。