网上关于连乘积有三种不同的意见，请网友讨论或者用数据检验哪个正确？

大傻8888888

下面引用由pAq在 2011/06/19 00:45pm 发表的内容：
大傻8888888先生：
(www.mathchina.com/usr1PvjRWKew/5/28/luyuanhong_1293372287.bmp)
“看全luyuanhong教授的证明后”，也没看到∏(1-1/p)=1/lnx ， p≤√x ，x→∞。
请您赐教。谢谢！

pAq先生：
如果你看全luyuanhong教授的证明后，也没看到∏(1-1/p)=1/lnx ， p≤√x ，x→∞。那我就没有什么话可说了。

大傻8888888

下面引用由zhujingshen在 2011/06/19 06:29pm 发表的内容：
素数数量的公式为：π(n)=n*∏﹙1-1/p﹚-1+π(√n)，（其中p≤√x）
所以，π(n)与∏﹙1-1/p﹚的函数关系，严格地说，是：
∏﹙1-1/p﹚=（π(n)-π(√n)+1）/n
∏﹙1-1/p﹚=π(n)/n   是近似公式。

zhujingshen先生：
当n→∞  π(√n)/π(n)-->0
所以π(n)=n*∏﹙1-1/p﹚-1+π(√n)和∏﹙1-1/p﹚=π(n)/n)，（其中p≤√n，n→∞） 实际是一回事。
如果qingjiao 先生和 liudan 先生的公式是正确的，则有
π(n)=n∏﹙1-1/p﹚/2e^(-γ)=n/ln(n))，（其中p≤√n，n→∞）

大傻8888888

下面引用由天山草在 2011/06/19 11:45am 发表的内容：
先答复第一个问题。表中倒数第 2 行中，值是 60000000，表示第 60000000 个素数，这个素数等于 1190494759， 由于 p≤√x， 说明此时 x 的值要取到 p^2，因此 ln(x)=ln(p^2)=2*ln(p), 所以 a=1/ln(x)=0.5/ln(p)= ...

天山草先生：
pAq先生指出了你表里的两个小错误，这两个错误还是比较容易看出来和验算的，如果是
   n               H                       a
----------------------------------------------------------
上面中间的 H 出了问题可就不容易看出来和验算了，仍举第 60000000 个素数为例，这个素数等于 1190494759， 由于 p≤√x，∏﹙1-1/p﹚里面的连乘的素数至少八百多个，其中有一个素数出现错误，得出的结果就是错误的。请问天山草先生你是如何保证 H 的计算不出错误以及如何计算出 ∏﹙1-1/p﹚的值？再次向你的数据表示感谢！

天山草

下面引用由大傻8888888在 2011/06/26 11:18pm 发表的内容：
天山草先生：
上面中间的 H 出了问题可就不容易看出来和验算了，仍举第 60000000 个素数为例，这个素数等于 1190494759， 由于 p≤√x，∏﹙1-1/p﹚里面的连乘的素数至少八百多个，其中有一个素数出现错误，得出的结果就是错误的。请问天山草先生你是如何保证 H 的计算不出错误以及如何计算出 ∏﹙1-1/p﹚的值？再次向你的数据表示感谢！

要保证数据不出问题，首先必须素数表正确，此表是郭先强的大数运算软件得来的，为检验其是否正确，曾与美国的 mathematica 软件对照过，二者没有出入。关于连乘积，那是编程而来的，很简单，那里不会出错的。所以我相信算出来的结果不会有错。我还可以完全采用 mathematica 检验一下连乘积的计算结果。算出后将会贴出来。

天山草

下面是用美国软件 mathematica 对前 1000000 个素数的有关连乘积计算结果是否正确进行验证。算到小数点后第 25 位：

本人的计算结果是：
0.0339136565286619， 最后二位数字 19 开始不正确了，前面都对。

天山草

对前 10000000 个（一千万个）素数的有关连乘积计算结果是否正确进行验证。算到小数点后第 25 位：

本人的计算结果是：
0.0295421465962928， 最后三位数字 928 开始不正确了，应是 890……，前面的都对。
电脑算了一个小时。
算了二个数，可以证明，本人的计算结果中，小数点后面 12 位都是正确数字。

大傻8888888

下面引用由天山草在 2011/06/27 00:49pm 发表的内容：
对前 10000000 个（一千万个）素数的有关连乘积计算结果是否正确进行验证。算到小数点后第 25 位：
本人的计算结果是：
0.0295421465962928， 最后三位数字 928 开始不正确了，应是 890……，前面的都对。
电脑　...

[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 大傻8888888 在 时添加 -=-=-=-=-
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再次对天山草先生的数据表示感谢，因为这次彻底解决了我关于连乘积的一个错误认识，我原来是一直认为当x→∞时，∏﹙1-1/p﹚=1/lnx，（其中p≤√x），特别是看到luyuanhong教授的证明就更是这样认为。现在我觉得由梅滕斯定理.∏(1-1/p)=e^(-γ)/lnx+O(1/(lnx)^2)，p≤x x→∞推论出的x→∞时，∏(1-1/p)=2e^(-γ)/lnx+O(1/(lnx)^2)，（其中p≤√x）才是正确的，因为是网友qingjiao先生和liudan最早推出，不妨称为qing-liu定理。这样可以防止以后别的网友在这个问题误入迷途，浪费时间。不知广大网友以为如何？

qingjiao

下面引用由大傻8888888在 2011/06/27 09:30pm 发表的内容：
因为是网友qingjiao先生和liudan最早推出，不妨称为qing-liu定理。这样可以防止以后别的网友在这个问题误入迷途，浪费时间。

不好。这不过是Mertens定理的简单应用，俺受不起。
或者liudan自认为受得起，你去问问他？

qingjiao

其实如果正确理解了Mertens定理，还有许多类似的结果，例如：
p<=x^(1/3)，∏(1-1/p)-->3*e^(-γ)/lnx
p<=x^(1/4)，∏(1-1/p)-->4*e^(-γ)/lnx
p<=x^(2/3)，∏(1-1/p)-->1.5*e^(-γ)/lnx

天山草

请教 qingjiao 先生一个问题：
下面这个公式也叫梅腾斯公式吗？如果不是，那它叫做什么公式？