几何一探－最弱条件的等腰三角形证明

谢芝灵

ccmmjj 发表于 2017-8-17 23:16
我把证明公布。

以楼主 2# 的图为准，再扩充：
EG交AC于Q点，
再用楼主的原理在AB方向做等腰三角形BDT：即 BD=DT
DT交AB于P，
EG和DT相交H，得到平行四边形 HEFD，
所以∠HDF=∠HEF  ，得 等腰△EGC≌△DTB       （i）
作OC∥BF，作BO∥CF，得 CO与BO相交于O
得到 ：平行四边形HEFD∽平行四边形FBOC
得到两种可能性
（一）HE：FC=HD：FC
（二）  HE：FB =  HD  ：FC       （1）
先解（一）： ED此时还不确定平行于BC
得到：∠DEC=∠DBC和 ∠EDB=∠ECB
                  得到 EDCB共圆，得 ∠1=∠4
结合 已知 ∠1+∠2=∠3+∠4
可证得 ：AB=AC
再解（二）：ED肯定平行BC，
又可证得 △PHE∽△EFB      （角，角）
得 ：PE：EB=HE：FB             （2）
同理得：QD：DC=HD：FC       （3）
由上面（1）（2）（3）得：PE：EB=QD：DC         （4）
由已知 BD=CE，得到 EQ=DP                                 （5）
所以 QG=PT     （等量减等量）
所以 得 △CGQ≌△BPT    边角边见上（i）和（5）
得 QC=PB  
再结合 （4）得到 EB=DC
就证得了 ∠ABC=∠ACB   得 AB=AC

注：上面（一）与（二）的区别：（一），即ED此时还不确定平行于BC；（二），即 ED肯定平行BC，

chaoshikong

谢芝灵 发表于 2017-8-27 12:42
以楼主 2# 的图为准，再扩充：
EG交AC于Q点，
再用楼主的原理在AB方向做等腰三角形BDT：即 BD=DT

你是如何得到四边形 HEFD是平行四边形的？？？

天元酱菜院

但我认为楼主的2楼证明无可挑剔。

1） 他做了一个平行四边形。（对边平行且相等）

2） 三角形EGC等腰。【 由 1）的关系，EG与BD 平行且相等; 而BD=EC是已知，所以EG=EC）

3) 其实此时已有 <1+<6 = <4+<5    (等腰三角形底角)

    如果<4  >   <1,  则<6  >  <5   从而CD>DG =BE
    但如果 <4 >1  由已知可得<2  > <3,  

    在三角形BCD和三角形BCE中， BC 公用边， EC=BD 是已知
    两边分别相同，夹角大者对边较大，得BE>CD。（这，分别使用余弦定理也可得出同样结论。）
   
    这个矛盾说明不能有<4 > <1。  
    同样不能有<1 >  <4.

天元酱菜院

天元酱菜院 发表于 2017-8-27 14:42
但我认为楼主的2楼证明无可挑剔。

1） 他做了一个平行四边形。（对边平行且相等）

好，不用大边对大角，用余弦定理可以吧，在三角形abc和三角形def中，a=d, b=e C角大于F角； 各自用余弦定理，也可得出c>f。
余弦函数，在（0，π）区间是减函数。所以，即使夹角大于90度也没得问题。

谢芝灵

谢芝灵 发表于 2017-8-27 04:42
以楼主 2# 的图为准，再扩充：
EG交AC于Q点，
再用楼主的原理在AB方向做等腰三角形BDT：即 BD=DT

两个平行四边形，一个角对应相等。

天元酱菜院

不赞成随意贬低别人。
某伟人说过世界上怕就怕认真二字，数学人就最讲认真。
我们争辩也是因为要追求真理，同时也要学习人家的思路和技巧。
数学思维也是首先刁难自己，而后找理由否定刁难，理由找对了就通了。

——这是对25楼点评人说的。
——在自己的贴下，怎样与点评人交流，我还不知道方法

天元酱菜院

例：
三角形ABC，A坐标（0,10），B坐标（0,0），C坐标（3,0）;
D为AC上一点，坐标（保留四位小数） （1.5765,  4.7450）；E为AB上一点，坐标（0,4）
这个三角形是直角三角形，不会有AB=AC。 可以仿效本帖原题做出BD和CE,  并有BD=CE=5
可以有<1，<2，<3，<4， 但<1+<2  不等于 <3+<4
可以仿效2楼做出G点，（1.5765,  8.7450），可以仿效22楼做出T点 （-1.4235, 8.7450）
BD交CE于F, DT交EG于H
如此做出的四边形HEFD,由于两对边分别平行，当然是平行四边形；对角也当然相等。
可效仿22楼做出O点，使四边形FBOC两对边分别平行。
并且，HEFD与FBOC的两组对角分别相等。
+++++++
22楼的一切条件都具备。居然能证明这是等腰？

问题还是出在平行四边形的相似上。

比如，某平行四边形（1,0），（2,0），(1,1)，（0，1）
它和（1,0），（2.1 , 0），（1.1,1），（0,1）  并不相似。

回到本题，如果抛弃<1+<2=<3+<4的条件，是不能正确地证明出来的。
（22楼相似后面所写内容，实际上只要落实到四点共圆，根据等弦对等圆周角，就有<B等于<C, 是用不着<1+<2=<3+<4的。）
（那么他的第二种情况，ED//CB, 由于对角线相等，这是等腰梯形，等腰梯形四角共圆）

jzkyllcjl

我不行了，但看到网友们的上述争论，根据笔者的几何学需要极限概念的思想，勉强写了对1楼问题的数学分析的证法。请网友审查。我的解法草写如下。 首先记: ∠B=(90-∠A/2-x)度，∠C=(90-∠A /2 +x)度，不妨设BC=1，∠1=10度，则∠3=(80-∠A /2-x)度，则AB=sin(90-∠A /2 +x)/sin∠A ;AC=sin(90-∠A/2-x)/sin∠A ; BD=sin(90-∠A /2 +x )度 /sin(∠A+10)度 ；CE=sin(90-∠A /2 -x)度/ sin(∠A +∠4)，根据BD=CE的条件，得∠4=arcsin(cos（ ∠A/2+x ) * sin(∠A +10）/cos（∠A /2 -x ）)- ∠A.显然，当x=0 时，∠4=∠1=10度，∠3=∠2=80-∠A/2，AB=AC，且满足∠4+∠3=∠2+∠1的条件。下边考虑x不等于0的情形，这时，首先需要 考虑∠4+∠3=∠2+∠1的条件。根据上述表达式，得到： ∠3=（80-∠A/2-x），∠2=(90-∠A /2 +x -∠4)，∠1+∠2=(100-∠A /2 +x -∠4)；∠3+∠4=（80-∠A/2-x+∠4），于是得(100-∠A /2 +x -∠4)=（80-∠A/2-x+∠4），化简后得 10+x=∠4 ，再根据上述∠4的表达式，得：
10+x= arcsin(cos（ ∠A/2+x ) * sin(∠A +10）/cos（∠A /2 -x ）)- ∠A.
记：f(x)= 10+x - arcsin(cos（ ∠A/2+x )/cos（∠A /2 -x ） * sin(∠A +10）)+ ∠A ,
根据上述研究 ，已知: x=0是这个函数的一个0点，还需要证明：这个函数在区间（0，80）上没有异于x=0的其它0点。才可以说必有AB=AC成立。 为此，设x=∠A/2, 得f(x)=10+3∠A/2- arcsin(cos∠A * sin(∠A +10）)> ∠A/2>0, 再研究这个函数的导数，得f’(x)=1-(1/√(1- (cos（ ∠A/2+x )/cos（∠A /2 -x ） * sin(∠A +10）^2 )* sin(∠A +10）* (-sin∠A)/(cos（∠A /2 -x ）)^2 =1+ sin(∠A +10）* sin∠A)/ ((cos（∠A /2 -x ）)^2 *√(1- (cos（ ∠A/2+x )/cos（∠A /2 -x ） * sin(∠A +10）^2 ))>0,故这个函数f(x)在区间（0，80）上恒大于0，在题设的条件下，必有AB等于 AC成立。

denglongshan

过来看看泰博定理。

jzkyllcjl

denglongshan 发表于 2017-8-29 11:20
过来看看泰博定理。

泰博定理如何叙述？