证明：1^2+2^2+…+x^2=N^2有且仅有一个整解。

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2011/09/11 04:40pm 第 1 次编辑]

下面引用由moranhuishou在 2011/09/10 09:04am 发表的内容：
丑媳妇总是要见公婆滴——
证明
假设N有整解，不妨设N=x+y
由
...

在第 4 楼的证明中，说到：
“对照（2），试令 a=k(x-1)，”
请问：为什么从（2）式 ab=-x(x-1)(2x-1)/6 就能断定必有 a=k(x-1) ?
举个例子，设 x＝25 ,这时有
ab＝-25×(25-1)×(2×25-1)/6＝-25×24×49/6＝-4900 。
完全有可能 a 和 b 都不是 x-1＝24 的倍数。
例如 a＝10 ，b＝-490 ，10×(-490)＝-4900 ，
     a＝14 ，b＝-350 ，14×(-350)＝-4900 ，
     a＝35 ，b＝-140 ，35×(-140)＝-4900 ，
     ……
既然不一定有 a=k(x-1) ，也就不能断定此题没有其他解，“证明”也就无法成立了。

任在深

哈哈！
     蚂蚱眼睛长长了吧？
     缕竿往上爬是不行滴！[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 任在深 在 时添加 -=-=-=-=-
人贱也得有自知之明！
晴天下雨不知道！
自己半斤八两还是应该知道的！！

moranhuishou

下面引用由luyuanhong在 2011/09/11 04:36pm 发表的内容：
在第 4 楼的证明中，说到：
“对照（2），试令 a=k(x-1)，”
请问：为什么从（2）式 ab=-x(x-1)(2x-1)/6 就能断定必有 a=k(x-1) ?
举个例子，设 x＝25 ,这时有
...

我想，陆先生大概看错了:
这个试令是根据（1）（2）两个式子确定的，并且主要是根据（1）确定的，（2）仅仅是参考，所以暂时不能确定k值。 绝不是单单根据（2）式确定的。

x=25时根本没有整数解，不能满足方程，所以你的例子与整数方程无关。
所以，你下面举得数据也没有一个能满足（1）的。

luyuanhong

下面引用由moranhuishou在 2011/09/11 05:25pm 发表的内容：
我想，陆先生大概看错了:
这个试令是根据（1）（2）两个式子确定的，并且主要是根据（1）确定的，（2）仅仅是参考，所以暂时不能确定k值。 绝不是单单根据（2）式确定的。
x=25时根本没有整数解，不能满足方程， ...

那么请问：你是怎样从（1）（2）两个式子确定必有 a=k(x-1) 的呢？
不能只是说说而已，必须要有一个详细的使人信服的推理过程才行。

moranhuishou

a＝10 ，b＝-490 ，10×(-490)＝-4900 a+b=-480<>-2*x=-2*25=-50 a＝14 ，b＝-350 ，14×(-350)＝-4900 a+b=-336<>-2*x=-2*25=-50 a＝35 ，b＝-140 ，35×(-140)＝-4900 a+b=-1056<>-2*x=-2*25=-50

moranhuishou

[quote]下面引用由luyuanhong在 2011/09/11 05:32pm 发表的内容：
那么请问：你是怎样从（1）（2）两个式子确定必有 a=k(x-1) 的呢？

不能只是说说而已，必须要有一个详细当然不是说说，是根据方程的解得出来的：
因为
x=1,a=0,b=-2
结合（2）各项，只有x-1=0,因为还有其他项，所以再乘以未定的k，合情合理。

moranhuishou

当然不是说说，是根据方程的解得出来的：
因为
x=1,a=0,b=-2
结合（2）各项，只有（x-1）=0,因为还有其他项，所以再乘以一个未定的k，合情合理。
我想，这正是这个证明的巧妙处之一。

任在深

>>>已知有 1^2+2^2+3^2+…+24^2=70^2=(24+46)^2 即当x=24时 a=46= k(12-1) 可得b=-94 可解得k=2,即<<< 利用已知条件！可以吗？ 46=k(12-1) k=46/11≠2.？？？？？？？？？？？ 一塌糊涂！

moranhuishou

下面引用由任在深在 2011/09/11 05:58pm 发表的内容： >>>已知有 1^2+2^2+3^2+…+24^2=70^2=(24+46)^2 即当x=24时 a=46= k(12-1) 可得b=-94 可解得k=2,即<<< ...

噢，这一次你比陆先生看的还清，不过你也没有必要大惊小怪，这仅仅是一个小小的笔误（你如果能看出这是笔误那才是真的眼尖），与证明的实质无关（已经改过了）。 不过，还是得谢谢了。

moranhuishou

哪位还能再找到证明的漏洞？