a,b,c＞0，a+b+c=1，证明：(a^2+b^2)/(a+3b)+(b^2+c^2)/(b+3c)+(c^2+a^2)/(c+3a)≥1/2

天元酱菜院

这题有一个多月了。 看见的证法，总是说服不了我自己去认可。想着放下这题又总是放不下。
今天来了灵感，果然【有了】。

题目：a,b,c均为大于0的实数，a+b+c=1,
试证(a^2+b^2)/(a+3b) + (b^2+c^2)/(b+3c) + (c^2+a^2)/(c+3a) >=1/2
证明：
    (a^2+b^2)/(a+3b) = (a^2+b^2)(3a+b) / [(a+3b)(3a+b)]
=(a^2+b^2)(3a+b) / (3a^2+3b^2+10ab) >= (a^2+b^2)(3a+b) / [3a^2+3b^2+5(a^2+b^2)]
=(a^2+b^2)(3a+b) / (8a^2+8b^2) = (3a+b) /8

同样方法可得：
   (b^2+c^2)/(b+3c)  >=  (3b+c)/8
   (c^2+a^2)/(c+3a)  >= (3c+a)/8

所以有：
   (a^2+b^2)/(a+3b) + (b^2+c^2)/(b+3c) + (c^2+a^2)/(c+3a)
>=  [(3a+b)+(3b+c)+(3c+a)] /8 =4(a+b+c)/8 =1/2   
证毕

思路轨迹： 开始时看到本题3项的对称方式， 还有一个对称。
即： (a^2+b^2)/(a+3b) 与 (a^2+b^2)/(3a+b) 是一种对称，
相应的   (b^2+c^2)/(b+3c) 与（b^2+c^2）/(3b+c) 对称
            (c^2+a^2)/(c+3a) 与 （c^2+a^2）/ (3c+a) 对称
即，这6项才是一个完全的对称结构。
想到尝试  [（a^2+b^2）/(2*(a+3b))  + (a^2+b^2) / (2*(3a+b)) ]   +
          +  [  (a^2+b^2) / (2*(a+3b))  - (a^2+b^2) / (2*(3a+b)) ]
通分后分母出现了令人鼓舞的情况。 并且计算的结果与分子分母同乘 (3a+b)效果一致。

天元酱菜院

可以推广到： a,b,c,u,v 均大于0，  a+b+c=1,  
则有
(a^2+b^2) / (ua+vb) + (b^2+c^2) / (ub+vc) + (c^2+a^2)/(uc+va)   >=  2 / (u+v)


还可以从3项推广到多项。

a(i) >0  (i=1,2,3,.....n);    u，v大于0， 且 ∑(i=1 to n) a(i)  =1          (其中n>=2)

则有：
  ( a(n) ^2+ a(1)^2) / ( a(n)*u+a(1)*v) + ∑ (i=1 to n-1)  [ ( a(i)^2+a(i+1)^2) / ( a(i) *u + a(i+1)*v) ]  >= 2 / (u+v)

luyuanhong

楼上 天元酱菜院 的解答很好！我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

195912

天元酱菜院先生：
      这里
            (a+3b)(3a+b)=3a^2+9ab+ab+3b^2
                               =3a^2+3b^2+10ab
若存在
            10ab=5(a^2+b^2)
即
            (a-b)^2=0
            a=b
先生的证明才有意义.

天元酱菜院

天元酱菜院 发表于 2017-10-28 20:24
可以推广到： a,b,c,u,v 均大于0，  a+b+c=1,  
则有
(a^2+b^2) / (ua+vb) + (b^2+c^2) / (ub+vc) + (c^2 ...

推广的范围还可以扩大一点。

若  a(i) >0  (i=1,2,3,.....n);    u,v非负且不全为0；  ∑(i=1 to n) a(i)  =1  (其中n>=2)；
         设a(n+1)=a(1);
则有：
  ∑ (i=1 to n)   [ ( a(i)^2+a(i+1)^2) / ( a(i) *u + a(i+1)*v) ]   >= 2 / (u+v)

例： a,b,c均大于0,，a+b+c=1;      则有  a^2 / b + b^2 / c + c^2 / a  >= 1
证明： a^2 / b + b^2 / c + c^2 / a  
      =  a^2 / b + b^2 / c + c^2 / a     + (b+c+a) - (b+c+a)
      = (a^2+b^2) / (1*b+0*a)  + (b^2+c^2) / (1*c+0*b) + (c^2+a^2) / (1*a+0*c)   -  (b+c+a)
      >= 2 / (0+1)  - 1  
      = 1

195912

天元酱菜院先生：
       哦，先生用的是“≥”符号，漏看了“>”符号,先生论证严谨.

天元酱菜院

195912 发表于 2017-11-2 10:52
天元酱菜院先生：
       哦，先生用的是“≥”符号，漏看了“>”符号,先生论证严谨.

不客气。   问好。