数学的本质与数学的基本研究方法

jzkyllcjl

在数学本质、数学是什么的问题上，根据黄燿枢《数学基础引论》中的叙述，存在着逻辑主义、直觉主义、形式主义、约定主义、柏拉图主义、拟经验主义。笔者不同意这些主义。笔者学习了辩证唯物主义的世界观。虽然不能说“哲学是科学的科学”，但需要知道：哲学的基本问题是思维对存在的关系，所有的哲学派别分成两大类——唯物主义阵营和唯心主义阵营。“恩格斯认为：辩证唯物主义的哲学必须以自然科学和数学的全面知识为基础，而自然科学和数学也只有在辩证唯物主义的基础上才能得到良好的发展”[1]。因此，笔者提出：数学理论的本质是研究现实数量（包括形）大小及其关系表示方法的科学及其工具。作为科学需要尊重实践尊重逻辑法则，作为工具需要具有可操作性。对于现实数量，笔者察看了[苏]罗森塔尔，尤金编，《简明哲学辞典》“物质”词条中讲到：“物质具有许多重要的性质，其中最主要的是运动。物质在空间和时间中存在着。空间和时间是物质存在的客观形式。”在“运动”词条中讲到：“只有运动才是永恒的，绝对的，持久的，静止始终是相对的，暂时的”[1]。这说明，任何现实数量的大小或线段的长度，只有在相对、暂时的意义下，才存在着确定的大小（例如线段长度就是如此）；而且也说明：寻求绝对不变的长度度量单位与线段长度的绝对准度量方法是办不到的；列宁说过：“如果不把不间断的东西割断，不使活生生的东西简单化、粗糙化，不加以割碎，不使之僵化，那么我们就不能想象、表达、测量、描述运动”（参看：《列宁全集》第38卷人民出版社1959年版，第285页）。这说明：第一，绝对准研究方法很难达到；近似方法是研究现实数量的一个可行的根本方法；第二，当近似方法不满足需要时，可以提出以现实数量大小为极限（即趋向）的逐次逼近方法与 暂时不计误差的或暂时以极限值为绝对准的理想的绝对准方法；第三，必须知道：现实数量大小的绝对准测量方法是不存在，它的绝对准数字表示只是一种偶然可能的情形；绝对准理想方法与近似方法两种方法都有使用的地方与价值，而且两者之间存在着相互依存、相互补充的对立统一关系。例如：在导数与瞬时速度的定义中，不仅必须知道：Δt 趋向于0，但始终不等于0，否则它就不能做除数的意义，而且还需要知道：用极限方法求出的导数和瞬时速度具有不可达到的性质；并需要使用它的近似值，即需要知道这个极限值代表的是一个足够小时段（即时间量子上）平均速度的近似值，否则，这样的瞬时速度就无法解释量子力学中的海森堡（Heisenberg）测不准关系，也解释不了飞矢不动的芝诺悖论。以上问题也说明：数学理论应当以实践为基础、为检验其真理性质的一个重要标准。
在研究无穷集合问题时，现行ZFC集合论中采用了无穷公理。关于这个公理，汪芳庭在他的《数学基础》中讲道：“归纳集是存在的”；他还讲到：“ 这个最小的归纳集是我们在集论中遇到的第一个实无穷。有了无穷公理，集论便进入了实无穷的领域，实无穷（无穷集）是现代数学的基本工具，是集论的本质”；“历史上，由Peano公理所确定的自然数集N是抽象的，而这里的我们得到的  这个自然数集是具体的。关于自然数，我们从抽象走到了具体。无穷公理的引入，无非是为了肯定  这个集合作为整体的存在性”。笔者认为：康托尔采用的“数学必须肯定实无穷”、“无穷（在数学中表现为无穷集）是一个现实的、完成的、存在着的整体”(参看王宪钧《数理逻辑引论》344-345 页)的“实无穷”观点违背了“自然数集合中的元素永远写不完”的事实。“归纳集是存在的”即“自然数总体”是存在的观点，是柏拉图主意的、联系实践不够深入的观点。为此笔者将在下文中提出无穷集合是极限性质的不能构造完毕非正常集合的定义与公理。
    笔者不同意把数学分为纯粹数学与应用数学两类；在生产实践上没有得到应用的形式公理系统，只能叫做准数学理论。有人反对说：“数学是形式系统的科学”，“康托尔创立的集合论是全部数学的基础”、“数理逻辑是数学的基础”。当我说到康托尔集合论中存在着“康托尔悖论、罗素悖论”时，他们说：康托尔集合论是朴素的集合论，现在的ZFC公理集合论已经消除了那些悖论。当我说道：“连续统假设问题”还没有解决时，他们说：那不是问题，人们可以建立ZFC+CH和ZFC+非CH 两个公理体系。当我说到：非标准分析与标准分析矛盾时，他们说，两者等价都有用。他们强调形式公理体系的另一个思想是：公理化方法是把推理中的一些推理规则都加以明确化，合法化，使它具有逻辑格的地位，同时也把那些数学原则给以清晰化和合法化，把它们固定为逻辑格。对于测不准原理，他们强调说：“数学不是测量，数学不是实践、数学是概念、数学指导实践、实践不能改革数学、数学里没有实践、数学是形式逻辑、能够谈论真理性的数学只能是形式系统，这导致哲学语境下的数学只能是某些形式系统。数学正是违背了实践才对实践有用。”。看来他们是宁肯建立有矛盾的数学体系，也不愿意放弃纯形式公理化的研究方法。这样，他们就限制了许多可用的有效的现实数量研究方法，而且也无法解决希尔伯特提出的连续统假设的大难题与实数系统的无矛盾问题，无法彻底解决芝诺悖论与三次数学危机。本文，使用理论联系实践辩证逻辑方法叙述一下数学理论的基础问题。这就要求我们不仅要使用形式逻辑法则与规律，而且要使用辩证逻辑。“辩证逻辑则要求我们继续深入。要真正认识事物，就必须把握、研究它的一切方面，一切联系和‘中介’。我们永远不会完全做到这一点，但要求全面性，使我们防止错误和防止僵化，这是第一；第二，辩证逻辑要求从发展、‘自己运动’（如黑格尔有时所说的）和变化来观察事物

lkPark

数学逻辑只是现实的部分，它不必全等于现实。比如一米的长度是不变确定的现实，但它可以对应任何值，至于它被定义为何值需要人的意识加以确定。

elim

数学的一个本质是，jzkyllcjl 对 0.333... 的认识无法推销。

jzkyllcjl

elim 发表于 2017-10-11 20:19
数学的一个本质是，jzkyllcjl 对 0.333... 的认识无法推销。

你是不知道数学的本质的瞎说。

elim

数学的另一个本质是，jzkyllcjl 会认为所有从事数学的人都是不懂数学本质的。

jzkyllcjl

elim 发表于 2017-10-12 01:20
数学的另一个本质是，jzkyllcjl 会认为所有从事数学的人都是不懂数学本质的。

第一，我的主贴 一开始 就引用了数学本质是什么的争论问题，它有许多不同见解。
第二，至于你，你不会认真讨论这个问题。 只会捏造事实，污蔑人 。

elim

你要认真引用我的关于数学的某些本质的见解。否则你也不算认真讨论数学的本质。

你说话有语病，没有人知道事实怎么捏造. 没看你会啥，难道你会“捏造事实”？ 说我“捏造事实”就是对我的污蔑。懂了没有？

jzkyllcjl

elim 发表于 2017-10-12 03:13
你要认真引用我的关于数学的某些本质的见解。否则你也不算认真讨论数学的本质。

你说话有语病，没有人知 ...

你的话 “jzkyllcjl 会认为所有从事数学的人都是不懂数学本质的” 就是你的捏造。事实是，我没有说过“从事数学的人都是不懂数学本质”。我认为：河海大学任荣祖 教授 给我的好评 就是懂数学本质的。恩格斯的说法：“辩证唯物主义的哲学必须以自然科学和数学的全面知识为基础，而自然科学和数学也只有在辩证唯物主义的基础上才能得到良好的发展” 就是对数学本质的 很好说法。

elim

jzkyllcjl 发表于 2017-10-12 01:34
你的话 “jzkyllcjl 会认为所有从事数学的人都是不懂数学本质的” 就是你的捏造。事实是，我没有说过“从 ...

按照你的辩证法，我已经‘全能近似等于’得很厉害了。怎么还捏造？ 难道‘全能近似等于’就是捏造？

elim

对数学的本质及其基本研究方法永远也不会有定论的。辩证唯物主义大家们不知什么道理在数学上都没有什么成就。唯心主义的数学家有哪些我不清楚，但有一点可以肯定，所有的数学都不是出于喊唯物唯心的家伙的。其实唯物唯心的帽子到底制作出来给谁戴，本身就不是件科学的事，戴帽摘帽平反，打倒。叫口号最响的都是政治流氓，人渣和不学无术之徒。无有例外。

数学对象是观念世界的存在。研究这些东西不等于说它们是第一性的或者相反，所以在这个层次上谈唯物唯心没有设么意义。基本守则的是思维的一致性清晰性和系统性。换言之，jzkyllcjl 没有的品质都得坚持。