数列 0.1，0.12，0.123，0.1234，0.12345，0.123456，…… 的极限存在吗？为什么？

ataorj · 发表于 2017-10-23 04:47

根据极限的定义，极限不是对象数列中的一项，否则必然是矛盾的，它在数列的外面，看起来就是数列项值的'尽头''端点'，它是个明确的常数，表达必须有限才行。
比如0.999.....的极限是1
你不能说0.999.....的极限仍是0.999....

elim · 发表于 2017-10-23 05:58

0.999...根据定义（当然不是 jzkyllcjl 的定义）就是 0.9，0.99, 0.999,... 的极限。于是 “0.999... 的极限” 就是对极限取极限，就是对常数取极限，不是不可以，只是很无聊：0.999.....的极限仍是0.999.... 没错，可以这么说，但就像 1 的极限是 1 一样，正常人不会这么说这么做。

ataorj · 发表于 2017-10-23 07:23

无尽数，你说它是常数，这不符合极限定义。
其实，无尽是因为它干不了那活，无能力表达某数所以永远收不了工
极限就是要求给它一个出路。按照极限的定义，常数的含义必须明确。否则要极限干什么。
实际上我们经常见到求出来的极限是无尽数。这其实是宽容的结果。严格讲不符合要求。
这通常是因为它比原来表达更接近'尽头''端点'，所以工作有价值，是因为宽容才称为极限的。
好比说，别人收留了你，让你住进了他家，然后你宣布，这是你家。喧宾夺主。
你必须要努力，有所进步才可宽容。

0.999.....的极限仍是0.999....，毫无道理。

ataorj · 发表于 2017-10-23 07:30

人们习惯了长久的宽容，把宽容当定义。喧宾夺主，雀占xx巢(这成语，那字不熟悉)

elim · 发表于 2017-10-23 08:11

“无尽数”本身就是需要明确定义的：
0.c1c2c3... = c1/10+c2/100+c3/1000+... 在标准分析中被定义为 0.c1,0.c1c2,... 的极限，而极限就是一个常数。不需要并且拒绝宽容。

极限理论(当然这不包括 jzkyllcjl 的“极限论”, 不过他其实从来没有严格的极限概念)没有什么歧义。查查数列极限的 ε-N 定义就清楚了。在这方面的出版物中找不出任何另类定义。都是说

lim a(n) = A 的意思是存在实数 A, 对任何 ε > 0, 存在正整数 N, 使得对一切 n > N 都有 |a(n) - A| < ε.

ataorj · 发表于 2017-10-23 08:25

0.999.....的极限仍是0.999....
0.999.....的极限是1
十进制表达同一个数居然是两个不同的模样，我早说过这个矛盾。过去就过了脑子，现在继续麻木的，我只能说这人缺脑子。
另外说 1 的极限是 1
按照极限定义，1需要求极限吗？，说这些浅显无多大价值的话意义太小了。

elim · 发表于 2017-10-23 08:43

这些东西有没有矛盾，还是要回到定义上来。 sin (pi/2) = 1 有没有矛盾？没有，为什么没有，要回到 sin 的定义。既然 0.999... = 1 ， 0.999...的极限是 0.999.. , 1 的极限是 1 就没有矛盾，为什么 0.999...≠1 是错的？求它们的差就知道了。数学的事情不是感情的事情，也不是感觉的事情，是逻辑说了算，算给大家看看1-0.999... 有没有可能是什么正实数，这才是硬道理。

ataorj · 发表于 2017-10-23 08:52

1 的极限是 1当然没错。
意义太小了，不是极限定义的初衷。
所以我的意思是尽量不要说这些话而已。

ataorj · 发表于 2017-10-23 08:53

比如1.0000....
这种表达有什么意思

王守恩 · 发表于 2017-10-23 09:09

本帖最后由王守恩于 2017-10-23 09:43 编辑

S(1)=1/10^(1)+2/10^(2)+3/10^(3)+......+8/10^(8)+9/10^(9)
S(2)=10/10^(11)+11/10^(13)+12/10^(15)+......+98/10^(187)+99/10^(189)
S(3)=100/10^(192)+101/10^(195)+102/10^(198)+......+998/10^(2886)+999/10^(2889)
S(4)=1000/10^(2893)+1001/10^(2897)+1002/10^(2901)+......+9998/10^(38885)+9999/10^(38889)
S(5)=10000/10^(38894)+10001/10^(38899)+10002/10^(38904)+......+99998/10^(488884)+99999/10^(488889)
S(6)=100000/10^(488895)+100001/10^(488901)+100002/10^(488907)+......+999998/10^(5888883)+999999/10^(5888889)
S(7)=1000000/10^(5888896)+1000001/10^(5888903)+1000002/10^(5888910)+......+9999998/10^(5888882)+9999999/10^(68888889)
...........
问：S(1)+S(2)+S(3)+S(4)+S(5)+S(6)+S(7)+.......+S(n)=?

		自动登录	找回密码
密码			注册