可否如下证明0.999……＝1

elim

jzkyllcjl 的见解都跟屎有较大关系。楼上谬论的逻辑就是：否定 jzkyllcjl 没拉过屎的茅坑的存在性。呵呵

jzkyllcjl

对我20楼的论述，需要正面讨论、回答。不能骂人！  

春风晚霞

zkyllcjl 先生在20#贴文中提出的问题，我分两个层次回答于后：
一、正确认识极限理论中的无穷小量
１、“1、1/3,√２、√３、ln5、sin2都是定数。但我认为：这些定数的绝对准十进小数表达达式是不存在的。”
定数的绝对准十进小数表达式是存在的。“狗屎学派”通过对:0.9，0.99，0.999，……，0.999……9（共n个9），……这个0.999……的不足近似值数列的观察，从而得到 0.999……与1相差一个无穷小量1/n，就以此为据“炮轰”极限论，就以此为据把极限理论说成是“一坨狗屎”。 Zkyllcjl先生也是通过对:0.9，0.99，0.999，……，0.999……9（共n个9），……这个0.999……的不足近似值数列的观察，从而对0.999……＝1表示怀疑，无意间成为“狗屎学派”的帮凶。先生如果通过对0.999……的常规近值（即由四舍五入法得到近似值）{b（n）}：1.0，1.00，1.000，……1.000……0（小数点后边共n个０），……地观察来认识0.999……与1的关系也就不会有“定数的绝对准十进小数表达式不存在”地猜想了。
２、“华东师大 编数学分析上册 中76页说的论述“无穷小量不是一个数，而是一个特殊的函数（极限为0的函数）”
无需查阅华东师大编《数学分析》，任何大学的《数学分析》在首次介绍无穷小量时都有与此类似的说法，但在这句话的后边都有“常数中除0以外没有其它无穷小量”的补充说明。也就是说无穷小量除以0为极限的变量外，也包括常数中的无穷小量0，忽略这一点就将导致“狗屎学派”的“极限不可达性”。
二、用康托尔实数定义证明0.999……＝１
首先约定：为避免下标变量网上表示困难，我把数列通项写成离散函数式，如数列通项记为a(n）、极限采用威尔斯特拉斯“ε－Ｎ”语言记法
证明：取0.999……的不足近似值得数列{a(n)}:0.9，0.99，0.999，……，0.999……9（共n个9），……①，其通项为a(n)＝0.999……9（小数点后边共n个９），因为对任意预先给定的无论样小的正数ε（１），恒存在Ｎ（１），当m,n>N（１）恒有∣a(m)-a(n)∣<ε（１）所以数列{a(n)}（即数列①）康托尔一致收敛，所以数列①是康托尔基本数列。注意：数列的康托尔一致收敛，是数列哥西收敛的充分而不必要条件（下同）
取0.999……的常规近值（即由四舍五入法得到近似值）{b（n）}：1.0，1.00，1.000，……1.000……0（小数点后边共n个０），……②，因为对任意预先给定的无论样小的ε（２）＝ε（１）＝ε，恒存在Ｎ（２），当m,n>N（２）恒有∣b(m)-b(n)∣<ε（２）所以数列{b(n)}（即数列②）康托尔一致收敛，所以数列②也是康托尔基本数列。
由于对任意预先给定的无论样小的正数ε，存在N＝Max{N(1),N(2)}当n>N时有∣b(n)-a(n)∣<ε所以数列{a(n)}和数列{b(n)}等价；注意：两个数列等价，并不是这两个数列相等；根据等价的定义数列{a(n)}和数列{b(n)}只有当n趋于无穷时，才有对任意预先给定的无论样小的正数ε恒有∣b(n)-a(n)∣<ε，因为在n→∞时a（n）=0.999……,b(n)＝1。于是把彼此等价的基本数列归为一类得到集合{0.999……，1}。因为0.999……和1是同类，所以它们的极限相同。由“数列极限存在，则极限唯一”（该性质证明较易，此处从略）集合等式{0.999……，1}＝{1}成立。于是根据集合中元素互异，有0.999……＝1。故此命题得证。

jzkyllcjl

春风晚霞 发表于 2019-6-4 06:28
zkyllcjl 先生在20#贴文中提出的问题，我分两个层次回答于后：
一、正确认识极限理论中的无穷小量
１、“ ...

“无穷小量不是一个数，而是一个特殊的函数（极限为0的函数）”的话说明，数列与其极限 不能等同。
数列{a(n)}:0.9，0.99，0.999，……，0.999……9（共n个9），……①，的极限是1，但数列{a(n)}:0.9，0.99，0.999，……，0.999……9（共n个9），……①不能等同于1，只有它的极限才是1.
数列{a(n)}:0.9，0.99，0.999，……，0.999……9（共n个9），……①中的每一个数 都小于1， 但这个数列的极限为1. 两者不能混淆。数列{a(n)}:0.9，0.99，0.999，……，0.999……9（共n个9），……①的用处，不仅是它的极限为 1，而且还可以在数列中找到 任意小误差界下的近似值。 还有数列{1.1，1.01，1.001，……}也与数…列①数列{b（n）}：1.0，1.00，1.000，……1.000…… 等价，它们的极限都是1，但各有各的不用用处。

春风晚霞

请先生先理解两康托尔基本数列等价的定义，其次请先生摆脱循环论证思维模式。再请先生思考0.999……的常规近似值所成的数列是不是也是0.999……的康托尔基本数列。第四请先生思考康托尔为什么要基本数列等价来定义实数。最后请问先生为什么不用1.0，1.00，1.000，……作为唯一的康托尔基本数列定义实数。如果先生对上面这些问题仍有疑问的话，我仍愿与先生交流探讨。

春风晚霞

请先生认认真阅读上面用康托尔定义证明0.999……＝1部分。对于0.999……＝1，先生还可用夹挤定理、单增有界的确界定理等给予证明。只要先生不囿于某一种错觉，兼听兼信，集众家之长，自然明白0.999……与1是同一个数的不同表示，也就不会对用康托尔实数定义产生怀疑了。

jzkyllcjl

春风晚霞 发表于 2019-6-4 14:08
请先生认认真阅读上面用康托尔定义证明0.999……＝1部分。对于0.999……＝1，先生还可用夹挤定理、单增有界 ...

谈论有好处。 我不用 康托尔的实数定义，在于：第一，数列0.999……是写不到底的事物，是无穷数列性质的变数；第二，收敛无穷数列 可以逐项相减， 你的数列{bn}1.0,1.00,1.000,……与 {an}=0.9,0.99,0.999,…… 逐项相减 得到 无穷小量 {cn}=-0.1,0.01,0.001,…… 这个无穷小量 不是数，不是 0， 所以 0.999…… 不能 用康托尔定义 把它看作1 。

春风晚霞

对zkyllcjl 先生在27#贴文我分以下三个层次和先生交流：
一、“数列0.999……是写不到底的事物，是无穷数列性质的变数”春风晚霞在1#用小学生熟知的逐位比较法和初中生都了解的反证法，给出了严格证明，那里没用“数列性质的变数”、“康托尔实数定义”以及“潜无穷”、“实无穷”这些前卫理念，仅用纯初等方法证明了0.999……＝1。这种纯初等证明不管0.999……和1属于哪一实数体系（康托尔、戴德金、威尔斯特拉斯三大标准分析实数系统以及鲁滨逊非标准分析的超实数体系），只要逐位比较法和反证法在该实数体系中有效，那么0.999……和1就是同一个数的不同表现形式，当然0.999……与1 之间也就不存在无穷小量之差异。先生用0.999……的不足近似值去逼近0.999……造成0.999……与1相差一个无穷小量，这当然是再正常不过了。因此先生列的“数列0.999……是写不到底的事物，是无穷数列性质的变数”有以下两错误：①0.999……虽然具有无穷无尽写不到底这一特点，但它仍然是一个数，而不数列，所以数列0.999……提法是错误的；②0.999……＝1这表明0.999……不是什么“无穷数列性质的变数”否则的话1这个数也就是“无穷数列性质的变数”了。
二、“收敛无穷数列可以逐项相减，你的数{bn}1.0,1.00,1.000,……，{an}=0.9,0.99,0.999,…… 逐项相减得无穷小量 {cn}=-0.1,0.01,0.001,…… 这个无穷小量不是数，不是 0，所以 0.999…… 不能 用康托尔定义把它看作1”这是对康托尔把两个康托尔性收敛数列合并的错误解读；百度“康托尔实数定义”，得与康托尔实数定义的一些基本知识：
（1）、柯西将实数定义为有理数序列的极限，但他并没有发觉，他的定义中事先承认了极限这个“数”的存在，所以它是个循环定义。
（2）、在康托尔定义中的康托尔基本序列和康托尔基本数列等价的概念如下：
①康托尔基本序列：对任意预先给定的无论样小的正数ε，恒存在Ｎ，当m,n>N时候恒有∣a(m)-a(n)∣<ε，则称数列{a(n)}为康托尔基本数列。
②、康托尔基本数列等价：对任意预先给定的无论样小的正数ε存在N，当n>N时恒有∣b(n)-a(n)∣<ε，则称数列{a(n)}和数列{b(n)}等价。（注意区别康托尔收敛和哥西收敛的异同。）
先生的“收敛无穷数列可以逐项相减，你把{bn}1.0,1.00,1.000,……，{an}=0.9,0.99,0.999,…… 逐项相减得无穷小量 {cn}=-0.1,0.01,0.001,……”序列{cn}收敛。根据定义正好说明康托尔基本序列{an}和康托尔基本序列{bn}序列等价。所以“把彼此等价的基本数列归为一类得到集合{0.999……，1}。因为0.999……和1是同类，所以它们的极限相同。由“数列极限存在，则极限唯一”（该性质证明较易，此处从略）集合等式{0.999……，1}＝{1}成立。于是根据集合中元素互异，有0.999……＝1。”注意：集合{0.999……，1}中0.999……是康托尔基本序列{an}通项0.999……9（n个9）在n→∞时的极限（注意康托尔收敛不要求预先知道该极限值），1是康尔基本序列{bn}的通项0.999……+（0.1）^n在n→∞时的极限。这是康托尔初数定义的根本区别。因为先生始终没有摆脱循环论证的思维模式，所以才会有康托尔“把彼此等价的基本数列归为一类，每一类称为一个实数，记号【an】 表示与{an} 等价的基本数列类构成的实数是 α，{an} 叫做α 的一个代表。”的说法不恰当”的、且对康托尔不公正的评价。应该特别强调的是只由{an}（或{bn}）的柯西收敛序列定义实数都是循环定义，故不可取。
　三、“ 我不用 康托尔的实数定义”这本身也没有什么不对，就算对康托尔实数定义有点微词也很正常。因为“春雨如膏，农夫喜其润泽，行人恶其泥泞；秋月如镜，佳人喜其玩赏，盗贼恨其光辉。”（参见《贞观政要》），人类对世间万事万都会根据自己需要作不同地取舍。“狗屎”学派走不出“因为0.999……<1所以0.999<1”这一循环论证怪圈，是为了“通过研究无限循环小数0.999…与整数1之间的关系，证明了无限循环小数不能是有理数而必须是无理数，有理数与无理数之间不能用等号连接。以此为契机，进一步证明高等数学中的‘极限理论’是完全错误的理论，必须彻底否定、坚决铲除。迷雾散尽之后，神秘的微积分终于露出了庐山真面目，回归初等数学并且加入了自然科学的光荣行列。而失去了‘极限理论’与‘微积分’两部分内容的高等数学只剩下一具空壳，退出历史舞台已经指日可待”（参见“狗屎 ”先生《炮轰极限，全解微积分》），先生摆脱不了“我说0.999…<1所以0.999……<1”的思维模式，大概（也许是小人之心度君子之腹）是为了使你的《全能近似分析数学理论基础及其应用》， “无限的概念与数学基础”、“实数理轮的问题与足够准分析简介”等理论有更加坚实的基础？倘若果真如此，那先生大可不必这么云遮雾罩、画蛇添足地生出那么多事端，不是有“把一个确定的数，例如把一个二项式，化为无穷级数，即化为某种不确定的东西，从常识来说，这是荒谬的。但是，如果没有无穷级数和二项式定理，那我们能走多远呢？”（参见《自然辩证法》2018年2月版人民出版社P195页）现成的真理吗？，这个现成的真理岂不是更能说明“全能近似分析”的必要性和重要性吗？这个现成的真理可比先生的“0.999……<1”更可靠，更“唯物”嘛。
最后多说一句：“无穷小量不是一个数，而是一个特殊的函数（极限为0的函数）”并没有把0排出无穷小之外，因为常值函数f(x)=0依然是以0为极限的函数嘛。

jzkyllcjl

第一，你1楼的证明，在 0.999…… 是无穷数列性质变数的意义下，也成立。不能因为你的证明 把 0.999…… 看作是定数1.
第二，我没有使用“因为0.999…<1所以0.999……<1”的思维模式 。我说的是0.999…… 是无穷数列0.9，0.99，0.999，…… 的简写， 这个数列中的 每一个数 都小于1，虽然这个数列的极限是1，  但不能说这个康托尔基本数列等于1， 这个 数列不是定数，是变数。 把这个变数 作为1  是康托尔 把 变数与常数 混淆了的 错误， 康托尔实数定义 不正确。
第三， 虽然0 是一个无穷小量不， 这个 无穷小量是常数， 但其他 无穷小量 都是变数性质的函数。 不能把无穷小量 数列{Cn)=0.1,0.01,0.001,…… 当作 无穷小量 0。 这两个无穷小量不同，其用处 也有不同。

jzkyllcjl

第一，你1楼的证明，在 0.999…… 是无穷数列性质变数的意义下，也成立。不能因为你的证明 把 0.999…… 看作是定数1.
第二，我没有使用“因为0.999…<1所以0.999……<1”的思维模式 。我说的是0.999…… 是无穷数列0.9，0.99，0.999，…… 的简写， 这个数列中的 每一个数 都小于1，虽然这个数列的极限是1，  但不能说这个康托尔基本数列等于1， 这个 数列不是定数，是变数。 把这个变数 作为1  是康托尔 把 变数与常数 混淆了的 错误， 康托尔实数定义 不正确。
第三， 虽然0 是一个无穷小量， 这个 无穷小量是常数， 但其它 无穷小量 都是变数性质的函数。 不能把无穷小量的数列{Cn)=0.1,0.01,0.001,…… 当作 无穷小量 0。 这两个无穷小量不同，其用处 也有不同。