请教陆老师一个关于射影几何的问题

天茂

[这个贴子最后由天茂在 2012/04/08 00:19pm 第 3 次编辑]

请问陆老师：在下图中，有红、黄、蓝、绿、紫、黑 6 类封闭曲线，它们是否都属于射影平面中的直线？是否都可以通过射影变换，变成无穷远直线？

luyuanhong

下面引用由天茂在 2012/04/08 09:29am 发表的内容：
请问陆老师：在下图中，有红、黄、蓝、绿、紫、黑 6 类封闭曲线，它们是否都属于射影平面中的直线？是否都可以通过射影变换，变成无穷远直线？

天茂

[这个贴子最后由天茂在 2012/04/08 09:41pm 第 1 次编辑]

请问陆老师：在下图中，新增加的天蓝色和橙黄色这两条曲线，是否也属于射影平面上的直线？

luyuanhong

下面引用由天茂在 2012/04/08 09:39pm 发表的内容：
请问陆老师：在下图中，新增加的天蓝色和橙黄色这两条曲线，是否也属于射影平面上的直线？

天茂

[这个贴子最后由天茂在 2012/04/09 08:05am 第 1 次编辑]

第9楼的最后一个图（如下图所示）中的蓝色封闭曲线，正是我们这里的天蓝色曲线。
但是，当时这条线指的是无穷远直线，而这里它有不又直线。这个如何解释？

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2012/04/09 11:11am 第 1 次编辑]

下面引用由天茂在 2012/04/09 07:46am 发表的内容：
第9楼的最后一个图（如下图所示）中的蓝色封闭曲线，正是我们这里的天蓝色曲线。
但是，当时这条线指的是无穷远直线，而这里它有不又直线。这个如何解释？

天茂

26楼的回答仍然还是24楼的解释，不同的是更加详尽、更加严谨罢了。
我想问的是：这个解释为什么和9楼的解释是矛盾的？
换句话说：为什么同样的曲线，在9楼中是直线，而在24和26楼中却不是直线？
难道说，射影平面中的一条直线，通过射影变换，会变成非直线？

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2012/04/09 05:00pm 第 3 次编辑]

下面引用由天茂在 2012/04/09 00:54pm 发表的内容：
26楼的回答仍然还是24楼的解释，不同的是更加详尽、更加严谨罢了。
我想问的是：这个解释为什么和9楼的解释是矛盾的？
换句话说：为什么同样的曲线，在9楼中是直线，而在24和26楼中却不是直线？
难道说，射影平　...

第 9 楼与第 24 楼没有矛盾，只不过图像的画法，有些不同而已。
第 24 楼中的无穷远直线，位置在中间，看起来就像一条直线。到了第 9 楼中，所画的
无穷远直线的位置偏转了一点，看起来正好与第 24 楼图中的天蓝色闭曲线的位置相似。
第 24 楼的天蓝色闭曲线，如果画到第 9 楼图中，位置也要偏转一点，是无穷远直线
旁边的另一条闭曲线（即第 26 楼的左图中的那条蓝色闭曲线）。
不管是第 9 楼图还是第 24、26 楼图，原来是无穷远直线的还是无穷远直线，原来不是
直线的与无穷远直线有两个交点的闭曲线，仍然还是与无穷远直线有两个交点的闭曲线，
并没有发生“直线变成非直线”的事情。

天茂

我一直以为：9楼图中的线段AC（A';C';）就是后来的紫色线，实际上，这条紫色线是射影平面的封闭曲面上唯一的一条直线段，它正是这个曲面自相交的交线。这一点在14楼中的立体图中看得很清楚。

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2012/04/09 07:04pm 第 3 次编辑]

下面引用由天茂在 2012/04/09 06:35pm 发表的内容：
我一直以为：9楼图中的线段AC（A';C';）就是后来的紫色线，实际上，这条紫色线是射影平面的封闭曲面上唯一的一条直线段，它正是这个曲面自相交的交线。这一点在14楼中的立体图中看得很清楚。

对，第 9 楼图中的直线段 AC ，只不过是曲面自相交的交线。在交线处，两支曲面互相穿越，
但并不粘连。
无穷远直线（紫红色线）可以像 24、26 楼那样，画在交线处，成为 ABC、CDA 这样两条
看来重合在一起、其实不重合的直线段。
无穷远直线（紫红色线）也可以像第 9 楼那样，画成向两边拉开一点，不与自交线重合
的 ABC、CDA 两条弧线。
顺便说一句：第 9 楼的图，我画得有一点不对， ABC、CDA 两条弧线，不应该画成一条实线、
一条虚线。因为这两条弧线分别在互相穿越的曲面的不同的两支上，应该像第 26 楼左图那样，
将它们都画成实线（或者将它们都画成虚线）。