[原创]素数分布之美

qingjiao · 发表于 2012-10-13 22:31

下面引用由情钟素数分布在 2012/10/05 09:29pm 发表的内容：
素数的分布是否具有随机分布的特性，这一直是有争论的话题，虽然人们都知道素数的倍数是非常符合概率统计的特征：如2的倍数就相当于正反面硬币的抛掷，6的倍数就相当于一个骰子的抛掷，其特点是最后的概率都是1/ ...

所谓“争议”只是那些不懂何为“随机分布”的人才有“争议”。
什么叫“随机分布”？譬如10以内只有2，3，5，7四个素数，如果这四个数的位置是完全随机的，例如2可以出现在3的位置，或出现在5的位置，或出现在9的位置，等等，这才叫“随机分布”。
但这种情况完全不对。每一个素数的位置都是固定不变的，2只可能出现在2的位置，不可能出现在任何其他位置，所以素数的分布具有非常强的相关性，每个素数的位置都和前面所有素数有关，并影响后面素数的分布。因此素数完全不符合随机事件的特征。
正因为素数分布完全不符合随机事件的特征，所以才有下面一些确定的结论：x~2x之间必有素数，>5的素数间距至少为2，N!+2~N!+N的连续N-1个数都不是素数，等等。如果素数的分布是随机的，以上结论全部不成立。

qingjiao · 发表于 2012-10-13 22:43

还有些不会思考或者基本概念不清的人，看到某些数学著作说“x附近素数出现的概率大约为1/lnx”之类的话，就以为数学家也认可素数分布是随机的。
其实是他们没有理解这些数学家的真正意思。数学家们的真正意思是：如果在x附近“任取”一个正整数，则这个正整数是素数的概率大约是1/lnx。
注意是“任取”，“任取”就是随机地取。由于“任取”，本来不随机的序列也会变成随机。例如在1~10内任取一个数，它是1，2，3这三个数之一的概率为3/10，当然是对的，但显然序列1，2，3是严格递增的，完全不是随机序列。

情钟素数分布 · 发表于 2012-10-14 13:20

下面引用由qingjiao在 2012/10/13 10:21pm 发表的内容： 楼主可以歇菜了。以下帖子的55，56楼： http://www.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=12488&start=48&show=0&man= 图文并茂地说明，在x<100时，Li(x)-π(x)多次小于0.5√x/lnx ...

如果他的Lihn(x)不是拟合函数呢？况且他的计算好象不只1万哦，从上传的word里的数据表已经达到了10^22级别了，希望其数据不是拟合出来的！如下是上传的数据：t& ©数学中国 -- 数学中国 www.mathchina.com　　k\h 10^n π（x） Lihn（x） R（x） Li（x）" 1 4 3 3 6/5Cx]a 2 25 24 24 30+X&C 3 168 167 168 1786t9$ 4 1229 1225 1227 1246|aoz 5 9592 9584 9597 96304!/%,n 6 78498 78521 78469 786200='

e 7 664579 664650 664491 664918^^,Tb 8 5761455 5761504 5761358 5762209([h 2 9 50847534 50847325 50847613 50849235RXCX4 10 455052511 455050326 455054339 455055615&z 11 4118054813 4118051513 4118057131 41180664015Y5 12 37607912018 37607907843 37607913494 376079502818L 13 346065536839 346065523619 346065542612 346065645810B< 14 3204941750802 3204941710983 3204941770002 3204942065692d* 15 29844570422669 29844570438534 29844570349451 29844571475288t<}2A 16 279238341033925 279238341200675 279238340706873 279238344248557FG 17 2623557157654233 2623557156605724 2623557158252488 2623557165610022%W#$ 18 24739954287740860 24739954282971400 24739954291242226 24739954309690415E 19 234057667276344607 234057667296623000 234057667252460274 234057667376222382O"eA(5 20 2220819602560918840 2220819602545840000 2220819602565810665 22208196027836634841^"o: 21 21127269486018731928 21127269485895700000 21127269486105164132 21127269486616126182L-J77o 22 201467286689315906290 201467286688539000000 201467286689443038955 201467286691248261498.b`0 [br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 情钟素数分布 在时添加 -=-=-=-=- 是10^22，不是1000万，你有眼看不见？

情钟素数分布 · 发表于 2012-10-14 14:29

10^n             π（x）             π（x）－ Lihn（x）          π（x）－R（x）                π（x）－ Li（x）       O(√x/㏑x)
1                            4                1                   1                               -2                   1
2                            25                1                   1                               -5                   2
3                         168                1                   0                               -10                   4
4                         1229                4                   2                               -17                   10
5                         9592                8                   -5                               -38                   27
6                         78498                -23                   29                               -130                72
7                      664579                -71                   88                               -339                196
8                      5761455                -49                   97                               -754                542
9                      50847534                209                   -79                            -1701                1525
10                   455052511             2185                -1828                            -3104                4342
11                   4118054813             3300                -2318                            -11588             12485
12                37607912018             4175                -1476                            -38263             36191
13                346065536839             13220                -5773                            -108971             105643
14                3204941750802             39819                -19200                         -314890             310210
15             29844570422669             -15865                73218                         -1052619             915573
16             279238341033925          -166750                327052                         -3214632             2714340
17             2623557157654233          1048509                -598255                         -7956589             8078586
18          24739954287740860          4769400             -3501366                         -21949555          24127471
19          234057667276344607          -20278000             23884333                         -99877775          72282091
20          2220819602560918840          15070000             -4891825                         -222744644          217147241
21       21127269486018731928          123000000             -86432204                      -597394254          653980827
22       201467286689315906290          776000000             -127132665                      -1932355208          1974065827
有人显然前后矛盾，一方面认为1、2、3任取时也会出现这种排列，（既然出现，就是随机的事件之一），一方面又说它是完全不是随机序列，却不知道，它其实是真实记录在案的随机事件，或者用陆老师的话是“凝固的随机事件”，另一个可笑之处就是以后硬币只能一枚一枚地抛掷，如果是一枚一枚地抛掷，它的出现概率自然是0.5，所以奇数和偶数出现的概率就各为0.5，只是素数硬币的抛掷却是每一次抛掷都要比前一次增加两枚硬币，而且每一次的抛掷都排除掉明确非素数的硬币（1²、2²、3²、4²、·····、n²、·····），而这正是素数为什么会在总体趋势上虽然是越来越稀少，但素数总量π（x）仍然会越来越多的根本原因！至于说的小区间的素数的准确数量，这最小的区间只能说是不能小于半次以上的抛掷，就好象1000.01～1000.99之间的整数点概率和999.99～1000.01之间的整数点是不能真正反映点数点出现的概率是一样的，概率的定义还请qingjiao先生先搞清楚！

情钟素数分布 · 发表于 2012-10-14 14:54

从平面几何的角度分析
从几何角度分析，
ⅰ  x/lnx，
ⅱ  Lihn(x)-√x/㏑x，
ⅲ  Lihn(x)，
ⅳ  Lihn(x)+(√x/㏑x，
ⅴ  Li(x)
这五条线趋于无穷时是永远不相交的，而且是光滑的连续的“硬直线”而π(x)是衍生于素数轴Lihn(x)“软直线”并且有：
Lihn（x)-√x/㏑x < π(x) < Lihn(x)+ √x/㏑x
所以最终只能是环绕它来回震荡而非英国数学家 John- Littlewood 所说的Li(x)!

qingjiao · 发表于 2012-10-15 11:21

Lihn（李海南？李河南？？）是怎样欺世盗名的？
http://www.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=16053&start=0#1

情钟素数分布 · 发表于 2012-10-15 13:57

本人曾经说过，只希望网友能只讨论数学，不应相互攻击，而且本人好象也没得罪这位qingjiao先生，徒然被说“欺世盗名”，所以还是回应一下，一、先从数学层面说，乍看Lihn(x)是相似于Li(x),但两个已经是性质完全不同的函数，Lihn(x)是一条完美的直线，所以如果说是剽窃，相信没人敢说这个东西是他的！二、qingjiao先生癔测，说本人想啊想，不知道怎么解释0.5这个缺点，却忘记了，函数是可以定义的，实用的就是合理的，难道qingjiao先生不知道，概率的事件也是可以任由人定义的吗？抛掷硬币莫非只能规定一枚一枚地抛掷？本人定义硬币的抛掷是每次比前一次增加两枚，而且每次抛掷硬币向上的概率只设定与(n+1)2（如你所说的f[(n+1)2]有关，不可以吗？三、结论Lihn(x)-x^0.5/logx<π(x)

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