\(\Large\textbf{没有无穷大自然数}\)

春风晚霞

由于自然数集\(\mathbb{N}\)与其真子集（如奇数集、偶数集）对等，所以自然数集\(\mathbb{N}\)是无限集（参见周民强著《实变函数论》P23页定理1.9)，所以自然数集\(\mathbb{N}\)必含\(\infty\)!根据Peano公理第二条自然数\(\displaystyle\lim_{n\to\infty} n\)必然存在唯一的后继\(\displaystyle\lim_{n\to\infty} (n+1)\);同理\(\displaystyle\lim_{n\to\infty} (n+1)\)必然存在唯一的后继\(\displaystyle\lim_{n\to\infty} (n+2)\)，……所以在超穷数理论中也有学者称\(\displaystyle\lim_{n\to\infty} (n+j)\)\((j\in\mathbb{N})\)为超穷自然数。其实，无论cantor的实正整数是不是自然数，只要它是数。都客观地证明了elim的\(\displaystyle\bigcap_{n=1}^{\infty} A_n=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\{n+1,n+2,…，\}=\phi\)是在耍无赖。因此，纵观整个论坛唯elim最孬！

春风晚霞

elim2025-1-15 23:02发表的帖子仍是一篇宿帖。该帖在错误解读自然数的截段理论的基础上，再次贩卖其【自然数皆有限数】的荒唐论调。对付elim的宿帖子，有效的方法仍是以宿帖对应！由于自然数集\(\mathbb{N}\)与其真子集（如奇数集、偶数集）对等，所以自然数集\(\mathbb{N}\)是无限集（参见周民强著《实变函数论》P23页定理1.9)，所以自然数集\(\mathbb{N}\)必含\(\infty\)!根据Peano公理第二条（每个自然数a都有一个唯一的后继数，记为S(a)：引入了“后继”的概念，即每个数都有一个“下一个”数。）自然数\(\displaystyle\lim_{n\to\infty} n\)必然存在唯一的后继\(\displaystyle\lim_{n\to\infty} (n+1)\);同理\(\displaystyle\lim_{n\to\infty} (n+1)\)必然存在唯一的后继\(\displaystyle\lim_{n\to\infty} (n+2)\)，……所以在超穷数理论中也有学者称\(\displaystyle\lim_{n\to\infty} (n+j)\)\((j\in\mathbb{N})\)为超穷自然数。其实，无论cantor的实正整数是不是自然数，只要它是数。都客观地证明了elim的\(\displaystyle\bigcap_{n=1}^{\infty} A_n=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\{n+1,n+2,…，\}=\phi\)是在耍无赖。因此，纵观整个论坛唯elim最孬！

春风晚霞

elim 2025-1-16 11:53发表的帖子仍是一篇宿帖。该帖在错误解读自然数的截段理论的基础上，再次贩卖其【自然数皆有限数】的荒唐论调。对付elim的宿帖，最有效的方法仍是以宿帖对应！由于自然数集\(\mathbb{N}\)与其真子集（如奇数集、偶数集）对等，所以自然数集\(\mathbb{N}\)是无限集（参见周民强著《实变函数论》P23页定理1.9)，所以自然数集\(\mathbb{N}\)必含\(\infty\)!根据Peano公理第二条（每个自然数a都有一个唯一的后继自然数，记为S(a)，即每个自然数都有一个“下一个”自然数。）自然数\(\displaystyle\lim_{n\to\infty} n\)必然存在唯一的后继\(\displaystyle\lim_{n\to\infty} (n+1)\);同理\(\displaystyle\lim_{n\to\infty} (n+1)\)必然存在唯一的后继\(\displaystyle\lim_{n\to\infty} (n+2)\)，……所以在超穷数理论中也有学者称\(\displaystyle\lim_{n\to\infty} (n+j)\)\((j\in\mathbb{N})\)为超穷自然数。其实，无论cantor的实正整数是不是自然数，都客观地证明了elim的\(\displaystyle\bigcap_{n=1}^{\infty} A_n=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\{n+1,n+2,…，\}=\phi\)是在耍流氓、耍无赖。elim根本知道自然数截段理论；根本不知道超穷自然数理论；也根本不知道Peano公理；【当然也就谈不上懂数系扩张，懂无穷，懂极限, 懂群环域了】；因此，elim根本【就是个数学白痴，是畜生中的孬种，孬种中的畜生】；所以纵观整个数学论坛唯elim最孬！

春风晚霞

elim 2025-1-16 11:53发表的帖子仍是一篇宿帖。该帖在错误解读自然数的截段理论的基础上，再次贩卖其【自然数皆有限数】的荒唐论调。对付elim的宿帖，最有效的方法仍是以宿帖对应！由于自然数集\(\mathbb{N}\)与其真子集（如奇数集、偶数集）对等，所以自然数集\(\mathbb{N}\)是无限集（参见周民强著《实变函数论》P23页定理1.9)，所以自然数集\(\mathbb{N}\)必含\(\infty\)!根据Peano公理第二条（每个自然数a都有一个唯一的后继自然数，记为S(a)，即每个自然数都有一个“下一个”自然数。）自然数\(\displaystyle\lim_{n\to\infty} n\)必然存在唯一的后继\(\displaystyle\lim_{n\to\infty} (n+1)\);同理\(\displaystyle\lim_{n\to\infty} (n+1)\)必然存在唯一的后继\(\displaystyle\lim_{n\to\infty} (n+2)\)，……所以在超穷数理论中也有学者称\(\displaystyle\lim_{n\to\infty} (n+j)\)\((j\in\mathbb{N})\)为超穷自然数。其实，无论cantor的实正整数是不是自然数，都客观地证明了elim的\(\displaystyle\bigcap_{n=1}^{\infty} A_n=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\{n+1,n+2,…，\}=\phi\)是在耍流氓、耍无赖。elim根本知道自然数截段理论；根本不知道超穷自然数理论；也根本不知道Peano公理；【当然也就谈不上懂数系扩张，懂无穷，懂极限, 懂群环域了】；因此，elim根本【就是个数学白痴，是畜生中的孬种，孬种中的畜生】；所以纵观整个数学论坛唯elim最孬！

春风晚霞

elim 发表于 2025-2-1 01:59
\(\mathbb{N}\) 是无穷集就必含\(\infty\)这个论断是错误的：
令 \(S = \{n\in\mathbb{N}: n 不是超穷数 ...

一、皮亚诺公理（Peano axioms）
1、0是一个自然数：这定义了自然数系统的起点。
2、每一个确定的自然数a都有一个确定的后继数a'，且a'也是自然数：这引入了“后继”的概念，即每个数都有一个“下一个”数。
3、0不是任何自然数的后继数：这确保了自然数系统的线性结构。
4、不同的自然数有不同的后继数：即如果a ≠ b，那么S(a) ≠ S(b)。
5、归纳公理：如果一个性质对0成立，且当它对自然数n成立时对S(n)也成立，那么它对所有自然数成立。这是整个系统的核心，保证了自然数的无限性和完整性。
二、\(\mathbb{N}\)是无限集，则必有\(\infty\subset\mathbb{N}\)
【证明】:\( \because\quad\mathbb{N}\)是无限集(由于\(\mathbb{N}\)与其真子集对等，故\(\mathbb{N}\)是无限集。)
\(\quad\quad\therefore\nu=\displaystyle\lim_{n\to \infty}n\in\mathbb{N}\)(自然数集的良序性)
\(\quad\quad\therefore\nu+1=\displaystyle\lim_{n\to \infty}(n+1)\in\mathbb{N}\)( Peano axioms第二条)
\(\quad\quad\therefore\nu+2=\displaystyle\lim_{n\to \infty}(n+2)\in\mathbb{N}\)( Peano axioms第二条)
…………
\(\quad\quad\therefore\nu+j=\displaystyle\lim_{n\to \infty}(n+j)\in\mathbb{N}\)( Peano axioms第二条)
\(\quad\quad\therefore\infty\subset\mathbb{N}\)(\(\infty\)的定义)
三、elim的一切胡说八道都是为其【无穷交就是一种臭骤变】张目。其论证均为徝环论证！所以论坛诸君千万要警惕elim欺己骗人的把戏！

春风晚霞

一、皮亚诺公理（Peano axioms）
1、0是一个自然数：这定义了自然数系统的起点。
2、每一个确定的自然数a都有一个确定的后继数a'，且a'也是自然数：这引入了“后继”的概念，即每个数都有一个“下一个”数。
3、0不是任何自然数的后继数：这确保了自然数系统的线性结构。
4、不同的自然数有不同的后继数：即如果a ≠ b，那么S(a) ≠ S(b)。
5、归纳公理：如果一个性质对0成立，且当它对自然数n成立时对S(n)也成立，那么它对所有自然数成立。这是整个系统的核心，保证了自然数的无限性和完整性。
二、\(\mathbb{N}\)是无限集，则\(\mathbb{N}\)必含超穷数！
【证明】:\( \because\quad\mathbb{N}\)是无限集(由于\(\mathbb{N}\)与其真子集对等，故\(\mathbb{N}\)是无限集。)
\(\quad\quad\therefore\nu=\displaystyle\lim_{n\to \infty}n\in\mathbb{N}\)(自然数集的良序性)
\(\quad\quad\therefore\nu+1=\displaystyle\lim_{n\to \infty}(n+1)\in\mathbb{N}\)( Peano axioms第二条)
\(\quad\quad\therefore\nu+2=\displaystyle\lim_{n\to \infty}(n+2)\in\mathbb{N}\)( Peano axioms第二条)
…………
\(\quad\quad\therefore\nu+j=\displaystyle\lim_{n\to \infty}(n+j)\in\mathbb{N}\)( Peano axioms第二条)
…………
\(\quad\quad\therefore\mathbb{N}\)必含超穷数！（Peano axioms）【证毕】
三、elim胡搅蛮缠，皆其【无穷交就是一种臭骤变】张目。其论证千篇一律均为徝环论证！所以论坛诸君千万要警惕elim欺己骗人的把戏！

春风晚霞

elim 发表于 2025-2-1 19:04
定义有限为\(\mathbb{N}\)的元素的一种性质：
\(\text{(i)}\;\;\)是有限数;\(\quad\text{(ii)}\;\;\)若\(n ...

elim于2025-2-1 19:04再发宿帖称【定义有限为\(\mathbb{N}\)的元素的一种性质：（i）有阴数；(ii) 若n是有限数, 则后继\(n’\)也是有限数.令\(S=\{n\in\mathbb{N};n是有限数\}\)，由上定义，易见\((0\in S）\bigwedge (n\in S\implies n’\in S)\). 据Peano 公理\(S=\mathbb{N}\).即即自然数皆有限数。
【注记】自然数皆有限数\(\displaystyle\bigcap_{n=1}^{\infty}\)\(\{m\in\mathbb{N}:m>n\}=\phi\).都是极其浅显的东西. 甚至没人把它们作为定理或习题提出来】不难证发现elim的【定义有限为\(\mathbb{N}\)的元素的一种性质：（i）有限数；(ii) 若n是有限数, 则后继\(n’\)也是有限数.令\(S=\{n\in\mathbb{N};n是有限数\}\)，由上定义，易见\((0\in S）\bigwedge (n\in S\implies n’\in S)\). 据Peano 公理\(S=\mathbb{N}\).即自然数皆有限数】这段陈述是典型的循环论证。即\(\color{red}{因为\mathbb{N}中的数是有限数}\)，\(\color{red}{所以\mathbb{N}中的数是有限数}\).并且也看不出elim【据Peano 公理】的哪哪条哪款得出的【自然数皆有限数】？其次就算【自然数皆有限数】也得不出【\(\displaystyle\bigcap_{n=1}^{\infty}\)\(\{m\in\mathbb{N}:m>n\}=\phi\)】！这是因为elim所给集列\(\{m\in\mathbb{N}:m>n\}\)单调递减，且有\(A_1\supset A_2\)\(\supset\)……\(\supset\)\(A_{\alpha}\supset A_{\beta}\)，根据求交运算的吸收律亦有
\(\displaystyle\bigcap_{n=1}^{\ \beta }\)\(\{m\in\mathbb{N}:m>n\}= A_{\beta }\ne\phi\),所以elim所期待的【自然数皆有限数\(\displaystyle\bigcap_{n=1}^{\infty}\)\(\{m\in\mathbb{N}:m>n\}=\phi\).都是极其浅显的东西】是不会有人把它们作为定理或习题提出来的！
最后正告elim数学命题的真伪只有通严谨的逻辑证明才能令人心服口服，靠耍赖撒泼得到的东西只能令人作呕！

春风晚霞

elim,你是根据皮亚诺公理哪条哪款得到\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}(n+j)=\)\(\displaystyle\lim_{n \to \infty} n\)的?这个等式成立的依是什么？在现行的《实变函数论》中人们也只是说集合\(\{1，2，……，\nu\}\)与集合\(\{\omega+1，\omega+2，……，\omega+\nu\}\)等势（通俗的说是两集合的元素一样多），谁说这两个集合的对应项的极限值相等等了？真是数盲种孬，无知无畏！

春风晚霞

1、什么是自然数集的良序性原理？
自然数集良序原理是指自然数集的\(\color{red}{每个非空子集都有个最小元素}\)，即自然数在其标准的大小关系下构成一良序集。（参见清华大学出版的《集合论基础教程》P122页第七章[良序关系]
2、含超穷数的自然数集仍满足自然数集的良序原理
皮亚诺自然数系中，若用\(\mathbb{N}_P\)表示皮亚诺意义下自然的集，用\(\mathbb{N}_e\)表示elim认知的自然数集，则含超穷自然数的集合的一般靛示为：
\(\mathbb{N}_P=\)\(\{1，2，…,k，k+1，…，\displaystyle\lim_{n \to \infty} n\)，\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}（n+1)\),…，\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}（n+j），……、\}\),不难证明集合\(\mathbb{N}_P\)中任意两个数均可比较大小（即满足自然数集的良序性），且\(\mathbb{N}_P\)的任一子集（或称自然数的截段）都有最小元素（即满足良序原理）。【其最小超穷性使之不是任何自然数的后继】这只是elim的想当然，在自然数理论中\(\nu=\displaystyle\lim_{n \to \infty} n\)不是超穷数而是无穷数！它是一个“既表示把一个个单位放上去的确切计数，又表示它们汇集成的整体。”（参见康托尔《超穷数理论基础》42页第18-19行）。即\(\nu\)是一个理论上存在，数值上无界的且由逻辑确定的数。皮亚诺公理之归纳公理即皮亚诺公理第条5指出：如果一个性质对0成立，且当它对自然数n成立时对S(n)也成立，那么它对所有自然数成立。这是整个系统的核心，保证了\(\color{red}{自然数的无限性和完整性}\)。由归纳原理所保证的\(\color{red}{自然数的无限性和完整性。}\)亦证明了\(\nu=\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)的存在性和唯一性。所以根据皮亚诺公理，含超穷数的自然数集仍满足自然数集的良序原理！其他人不理解自然数集应欲望超穷尚情有可原，号称精通集合论，熟知皮亚诺公理的elim对这些基础知识一无所知，那就只能说是孬种是畜生不如了！

春风晚霞

elim于2025-2-2 21:56再再次发帖说【若良序集\(\mathbb{N}\)有超限自然数，则有最小超限自然数v.。若自然数n的后继为v，那么n比最小超穷数 v更小因而是有限自然数．但有限自然数不能有超限后继．所以 v 不是任何自然数后继．据皮亚诺公理，只有0不是任何自然数的后继．所以 v 必然不是自然数。\(\{n+j\}\)是\(\{n\}\)．的子序列, 故两者极限相等,并无前驱后继或先后大小之分别．蠢疯混世百年仍为数盲实乃种孬使然，不足为怪。】
由于elim长期顽固坚持【自然数皆有限数】、【无穷交就是一种臭变】、【\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\{ n+1,n+2,…\}=\phi\)等非数学观点不仅拒绝接受\(\infty\subset\mathbb{N}\)，也拒绝接受超穷自然数的存在。下边我们以皮亚诺公理为依据，论证自然数集中无限，自然数集应包含超穷自然数。
1、自然数集是无限集
【证明:】因为自然数集\(\mathbb{N}\)与其真子集\(\{奇数集\}\)、\(\{偶数集\}\)对等。所以是无限集。【证毕】（注：自然数集是无限集，在现行数学教育的框架下，的是小学四年级必学必考的内容）
2、在皮亚诺自然数系中\(\infty\subset\mathbb{N}\)
【证明:】根据自然数列\(\{A_k=k\}\)递增数列，所以\(\displaystyle\lim_{n \to \infty} A_n、\displaystyle\lim_{n \to \infty} n\)存在，所以\(\infty\subset\mathbb{N}\)！【证毕】（注：这与小学生熟知的自然数中没有最大，只有更大是一致的）。
3、自然数集应包含超穷自然数。
【证明：】因为\(\displaystyle\lim_{n \to \infty} n\)的客观存，否则逆用皮亚诺公理，\(\displaystyle\lim_{n \to \infty} n\)的超前趋\(\displaystyle\lim_{n \to \infty} n\)-1=\(\displaystyle\lim_{n \to \infty} (n-1)\)亦不存在，同理\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}(n-1)\)的前趋\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}( n-2)\)亦不存在，……，同样的道理k+1不存在，k亦不存在，……，2不存在，1亦不存在，1不存在0也不存在，所以不含不含无穷大的自然数集是空集。这与皮亚诺意义下自然数非空矛盾。故\(\displaystyle\lim_{n \to \infty} n\)是逻辑确定的客观存在！由\(\displaystyle\lim_{n \to \infty} n\)的确定性知，它的后继\(\displaystyle\lim_{n \to \infty} n\)+1亦是客观存在的，\(\displaystyle\lim_{n \to \infty} n\)+1的后继\(\displaystyle\lim_{n \to \infty} n\)+1+1=\(\displaystyle\lim_{n \to \infty} (n+2)\)也是存在的。……，同理\(\displaystyle\lim_{n \to \infty} (n+j)\)也是存在的，……，所以自然数集应包含超穷自然数。【证毕】
4、由含超穷自然数的自然数集:
\(\mathbb{N}_P=\)\(\{1，2，…,k，k+1，…，\displaystyle\lim_{n \to \infty} n\)，\(\displaystyle\lim_{n \to \infty} n\)+1,…，\(\displaystyle\lim_{n \to \infty} n\)+j，……、\(\}\)一般表达式知最小超限自然数v.= \(\displaystyle\lim_{n \to \infty} n\)+1，所以不管\(n\in\mathbb{N}\)是否趋向无穷n都远小于\(\displaystyle\lim_{n \to \infty} n\)+1=v。须强调的是v.= \(\displaystyle\lim_{n \to \infty} n\)+1的前趋是\(\displaystyle\lim_{n \to \infty} n\)（这与康托尔实正整数理论略有一点区别），所以v是无穷自然数\(\displaystyle\lim_{n \to \infty} n\)的后继。因此v是自然数！注意在含超穷自然数的集合中\(\{\displaystyle\lim_{n \to \infty} (n+j)\}\)不是\(\{n\}\)的子列，故\(\{\displaystyle\lim_{n \to \infty} (n+j)\}\)与\(\{n\}\)的极限不相等！
elim无论是立论还是驳论,都没有现行数学的理论支撑，都有论题荒谬，论点扯淡，论据胡诌，论证乏力，逻辑混乱，语言流氓的的特点！所以elim才是十足的虽读大书【仍为数盲实乃种孬使然。】