\(\huge\color{red}{\textbf{实数集可数定理和证明}}\)

APB先生

      \(\left| \left\{ 0{,}1\right\}\right|=2\ \ \) 可数；
      \(\left| \left\{ 0.1{,}\ 0.2{,}\ \cdots{,}\ 0.9\right\}\right|=9\ \ \) 可数；
      \(\left| \left\{ 0.01{,}\ 0.02{,}\ \cdots{,}\ 0.99\right\}\right|=99\ \ \) 可数；
      \(\cdots\cdots\)
      \(\left| \left\{ 0.\dot{0}1{,}\ 0.\dot{0}2{,}\ \cdots{,}\ 0.\dot{9}9\right\}\right|=\dot{9}9\ \ \) 可数；
      因此 \(\left[ 0{,}1\right]\) 可数 ；\(\left[ 0{,}1\right]\) 不可数是错误的。

APB先生

      设区间 \(\left( 0{,}1\right)\) 的任一实数为：\(0.a_1a_2\cdots\) ；
      因为 \(0.a_1a_2\cdots\) 至少可与二个自然数 \(a_1a_2\cdots.0\wedge\cdots a_2a_1.0\) 建立一一对应：\[f:0.a_1a_2\cdots\longleftrightarrow\begin{cases}
a_1a_2\cdots.0\in\mathbb{N}\\
\cdots a_2a_1.0\in\mathbb{N}
\end{cases}\]
      例如\[f:0.499\cdots\longleftrightarrow\begin{cases}
499\cdots.0\in\mathbb{N}\\
\cdots994.0\in\mathbb{N}
\end{cases}\]
      所以任一实数 \(0.a_1a_2\cdots\) 都是可数的；
      所以 \(\left( 0{,}1\right)\) 是可数的。
      所以实数集 \(\mathbb{R}\) 是可数的。
   

APB先生

      设区间 \(\left( 0{,}1\right)\) 的任意 \(n\) 位小数集为：\(\left\{ 0.a_1a_2\cdots a_n\right\}_{n=1}^{\ \infty}\) ；
      因为 \(\left\{ 0.a_1a_2\cdots a_n\right\}_{n=1}^{\ \infty}\) 的基数（元素的个数）只是 \(10^n-1\) ： \[\left| \left\{ 0.a_1a_2\cdots a_n\right\}_{n=1}^{\ \infty}\right|=10^n-1\]
      例如\[\left| \left\{ 0.a_1a_2\right\}=\left\{ 0.01{,}0.02{,}\cdots{,}0.99\right\}\right|=10^2-1\]
      所以区间 \(\left( 0{,}1\right)\) 的任一 \(n\) 位小数集都是可数的；
      所以  \(\left( 0{,}1\right)\) 可数，当 \(n\to\infty\) 时：  \[\left| \left( 0{,}1\right)\right|=\dot{9}\]
      所以实数集 \(\mathbb{R}\) 是可数的。

APB先生

      设实数集 \(\mathbb{R}\) 的任一元素为\[\ a_na_{n-1}\cdots a_0.a_{-1}a_{-2}\cdots a_{-m}{,}\ \ \ \ \ \ \ \ \ a_n\ne0\ne a_{-m}\]      因为其可与任一自然数 \(n\in\mathbb{N}\) 建立一一对应：\[\ a_na_{n-1}\cdots a_0.a_{-1}a_{-2}\cdots a_{-m}\longleftrightarrow n\]
      所以实数集 \(\mathbb{R}\) 是可数的。