相反数 佩尔方程

蔡家雄

蔡氏完全循环节问题

设 k , r 为非负整数，

若 30k+7 与 (30k+7)^(4r+1)*4+1 都是素数，

则 10 是素数 (30k+7)^(4r+1)*4+1 的原根。


设 k , r 为非负整数，

若 30k+7 与 (30k+7)^(4r+1)*4+1 都是素数，则 10 是素数 (30k+7)^(4r+1)*4+1 的原根。


若 30k+7 与 (30k+7)^1*4+1 都是素数，则 10 是素数 (30k+7)^1*4+1 的原根。

若 30k+7 与 (30k+7)^5*4+1 都是素数，则 10 是素数 (30k+7)^5*4+1 的原根。

若 30k+7 与 (30k+7)^9*4+1 都是素数，则 10 是素数 (30k+7)^9*4+1 的原根。

若 30k+7 与 (30k+7)^13*4+1 都是素数，则 10 是素数 (30k+7)^13*4+1 的原根。

若 30k+7 与 (30k+7)^17*4+1 都是素数，则 10 是素数 (30k+7)^17*4+1 的原根。

若 30k+7 与 (30k+7)^21*4+1 都是素数，则 10 是素数 (30k+7)^21*4+1 的原根。

若 30k+7 与 (30k+7)^25*4+1 都是素数，则 10 是素数 (30k+7)^25*4+1 的原根。

若 30k+7 与 (30k+7)^29*4+1 都是素数，则 10 是素数 (30k+7)^29*4+1 的原根。

蔡家雄

数学家只能证明指数为1的最简单的情形，

若 30k+7 与 (30k+7)^1*4+1 都是素数，则 10 是素数 (30k+7)^1*4+1 的原根。

蔡家雄

蔡氏完全循环节问题

设 k , r 为非负整数，

若 30k+7 与 (30k+7)^(4r+1)*4+1 都是素数，

则 10 是素数 (30k+7)^(4r+1)*4+1 的原根。

数学家只能证明指数为1的最简单的情形，

若 30k+7 与 (30k+7)^1*4+1 都是素数，则 10 是素数 (30k+7)^1*4+1 的原根。

证明指数为 5, 9, 13, 17, ... 的情形，可能需要循环群理论，

若 30k+7 与 (30k+7)^5*4+1 都是素数，则 10 是素数 (30k+7)^5*4+1 的原根。

若 30k+7 与 (30k+7)^9*4+1 都是素数，则 10 是素数 (30k+7)^9*4+1 的原根。

蔡家雄

若 \(8k+5\) 是质数，

则 \(x^2 - 2*(8k+5)^m*y^2= ±1\) 必有正整数解，，

设 \(8k+5\) 是质数，

若 \(x_1\) , \(y_1\) 是 \(x^2 - 2*(8k+5)^m*y^2= -1\) 的最小解，

则 \(x=2*x_1*x_1+1\) , \(y=2*(x_1*y_1)\) 是 \(x^2 - 2*(8k+5)^m*y^2= 1\) 的最小解，


若 \(8k+5\) 是质数，

则 \(x^2 - 2*(8k+5)^m*y^2= ±2*(8k+5)^m\) 必有正整数解，，

设 \(8k+5\) 是质数，

若 \(x_1\) , \(y_1\) 是 \(x^2 - 2*(8k+5)^m*y^2= 2*(8k+5)^m\) 的最小解，

则 \(x=2*(x_1*y_1)\) , \(y=2*y_1*y_1+1\) 是 \(x^2 - 2*(8k+5)^m*y^2= -2*(8k+5)^m\) 的最小解，

蔡家雄

设 \(p=r^2+t^2\) 是质数，

设 \(a\) , \(b\) 一奇一偶且互质，

若 \(a^2 - p*b^2= c\) ,

则 \(x^2 - p*y^2= - c\) 必有正整数解，，


简捷方法：k^2≡ 1, 4, 5, 6, 7, 9, 13, 16, 20, 22, 23, 24, 25, 28,  ( mod 29 )，


由 n^2≡ 21, 27, 33 都是奇合数，( mod 37 )，有解，

由 n^2≡ 3, 7, 11 都是奇质数，( mod 37 )，  ？？？

由 n^2≡ 15, 27, 39, 45, 57 都是奇合数，( mod 61 )，有解，

由 n^2≡ 3, 5, 13, 19, 41, 47 都是奇质数，( mod 61 )，有解，


由 n^2≡ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 17, 18, 20, 23, 24, 25, 27, 30, ... , 77, ... , 203, ... ,  ( mod 409 )，


由 n^2≡ 5, 13, 17, 19, 23, 31, 37, 43, 47, 71, 79, 97 都是质数，( mod 101 )

由 n^2≡ 7, 19, 23, 29, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 83, 97, 101, 107, 109, 127, 137, 157, 163, 173, 181, 191, 193 都是质数，( mod 197 )



由 n^2≡ 11, 13, 17, 23, 29, 31, 59, 61, 67, 73, 79, 89, 113, 137, 139, 157, 173, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 239, 241 都是质数，( mod 257 )

蔡家雄

相反数 佩尔方程问题

设 质数 \(p=a^2+b^2\) , 且 \(a\) 为 非1奇数，

若 \(2pk -a\) 是质数 或 \(2pk+a\) 是质数，

则 \(x^2 - p*y^2= ±a\) 必有正整数解，，

则 \(x^2 - p*y^2= ±(2pk -a)\) 必有正整数解，，

则 \(x^2 - p*y^2= ±(2pk+a)\) 必有正整数解，，



设 奇质数 D＝a^2＋4^r*(2t+1)^2，

且 a 与 (2t+1) 都是 >=3 的奇数，

则 素数模 D 的平方剩余奇质数，

必 含有奇数 a 与 (2t+1) 的素因子，，，


设 D=1328910909092970836741990520764198285631252318308342346576156667496920489，

=((3*5*7*11*13*17*19*23*29*31*37*41*43*47*53*59*61*67*71*73*79*83*89*97)^2+4^3*151^2) 是质数，

则 素数模 D 的平方剩余奇质数，必 含有奇数 a 与 (2t+1) 的素因子，，，

则 素数模 D 的平方剩余奇质数，

必 含有 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 151,


设 D=85050298181950133551487393328908690280400148371733910180874026719709570841，

=(229^2+4^3*(3*5*7*11*13*17*19*23*29*31*37*41*43*47*53*59*61*67*71*73*79*83*89*97)^2) 是质数，

则 素数模 D 的平方剩余奇质数，必 含有奇数 a 与 (2t+1) 的素因子，，，

则 素数模 D 的平方剩余奇质数，

必 含有 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 229,

蔡家雄

模 17 的平方剩余奇质数 p= 13 .

模 29 的平方剩余奇质数 p= 5, 7, 13, 23 .

模 41 的平方剩余奇质数 p= 5, 23, 31, 37 .

模 53 的平方剩余奇质数 p= 7, 11, 13, 17, 29, 37, 43, 47 .

模 61 的平方剩余奇质数 p= 3, 5, 13, 19, 41, 47 .

模 73 的平方剩余奇质数 p= 3, 19, 23, 37, 41, 61, 67, 71 .

模 89 的平方剩余奇质数 p= 5, 11, 17, 47, 53, 67, 71, 73, 79 .

模 97 的平方剩余奇质数 p= 3, 11, 31, 43, 47, 53, 61, 73, 79, 89 .

模 109 的平方剩余奇质数 p= 3, 5, 7, 29, 31, 43, 61, 71, 73, 83, 89, 97 .

模 149 的平方剩余奇质数 p= 5, 7, 17, 19, 29, 31, 37, 47, 53, 61, 67, 73, 103, 107, 113, 127 .

模 181 的平方剩余奇质数 p= 3, 5, 11, 13, 29, 37, 43, 59, 67, 73, 79, 101, 137, 139, 167 .

蔡家雄

平方剩余奇质数问题

设 \(4d+1\) 是奇质数，且 \(4d+1\) 不为 \(1+4^r*(2t+1)^2\) ，

设 \(n^2\)  \(mod\)  \((4d+1)=\)  \(p\) 是奇质数，

若 \(2*(4d+1)*k -p\) 是质数 或 \(2*(4d+1)*k+p\) 是质数，

则 \(x^2 - (4d+1)*y^2= ±p\) 必有正整数解，，

则 \(x^2 - (4d+1)*y^2= ±(2*(4d+1)*k -p)\) 必有正整数解，，

则 \(x^2 - (4d+1)*y^2= ±(2*(4d+1)*k+p)\) 必有正整数解，，



模 17 的平方剩余奇质数 p= 13 .

模 29 的平方剩余奇质数 p= 5, 7, 13, 23 .

模 41 的平方剩余奇质数 p= 5, 23, 31, 37 .

模 53 的平方剩余奇质数 p= 7, 11, 13, 17, 29, 37, 43, 47 .

模 61 的平方剩余奇质数 p= 3, 5, 13, 19, 41, 47 .

模 73 的平方剩余奇质数 p= 3, 19, 23, 37, 41, 61, 67, 71 .

模 89 的平方剩余奇质数 p= 5, 11, 17, 47, 53, 67, 71, 73, 79 .

模 97 的平方剩余奇质数 p= 3, 11, 31, 43, 47, 53, 61, 73, 79, 89 .



设 奇质数 D＝a^2＋4^r*(2t+1)^2，且 a 与 (2t+1) 都是 >=3 的奇数，

则 素数模 D 的平方剩余奇质数，必 含有奇数 a 与 (2t+1) 的素因子，，，

ysr

蔡家雄 发表于 2025-7-29 02:54
求 \(x^2 - 229*y^2= 15\) 的正整数解，

请输入一个数字：100000000
x= 106 y= 7
x= 413926 y= 27353
请输入一个数字：

ysr

蔡家雄 发表于 2025-7-29 02:55
求 \(x^2 - 229*y^2= - 15\) 的正整数解，

请输入一个数字：100000000
x= 121 y= 8
x= 362399 y= 23948
请输入一个数字：