勾股数新公式

蔡家雄

求 \(x^2 - ((2n+1)^2+4)*y^2=1\) 的最小解

则 \(x=2*((2n+1)^2+4)*(n^2+(n+1)^2) -1\) ,

     \(y=(4n+2)*(n^2+(n+1)^2)*(n^2+(n+1)^2+1)\) .


求 \(x^2 - ((2n+1)^2+4)*y^2= -1\) 的最小解

则 \(x=(2n+1)*((2n+1)^2+3)/2\) , \(y=((2n+1)^2+1)/2\) .

蔡家雄

蔡氏完全循环节问题

若 3^(2n)+2^(2n+1) 是素数，

则 10 是素数 3^(2n)+2^(2n+1) 的原根。

简记为  \(g(3^{2n}+2^{2n+1})=10\) .

蔡家雄

求 \(x^2 - ((2n+1)^2+4)*y^2=±((2n+1)^2+4)\) 的最小解

\((2n+1)^2+4=5, 13, 29, 53, 85, 125, 173, 229, 293, 365, ..... \)

Treenewbee

蔡家雄 发表于 2023-3-19 10:38
求 \(x^2 - ((2n+1)^2+4)*y^2=±((2n+1)^2+4)\) 的最小解

\((2n+1)^2+4=5, 13, 29, 53, 85, 125, 173, 2 ...

(5,[5,2],[20,9])
(13,[65,18],[2340,649])
(29,[377,70],[52780,9801])
(53,[1325,182],[482300,66249])
(85,[3485,378],[2634660,285769])
(125,[7625,682],[10400500,930249])
(173,[14705,1118],[32880380,2499849])
(229,[25877,1710],[88499340,5848201])
(293,[42485,2482],[210895540,12320649])
(365,[66065,3458],[456905540,23915529])

蔡家雄

最小原根问题

若 (2n+1)^2+4 是素数，

则 2 是素数 (2n+1)^2+4 的最小原根。

简记为  \(g((2n+1)^2+4)=2\) .

蔡家雄

最小原根问题

若 16^k+3 是素数，

则 2 是素数 16^k+3 的最小原根。

简记为  \(g(16^k+3)=2\) .

蔡家雄

若 16^k+7 是素数，

则 5 是素数 16^k+7 的最小原根。

简记为  \(g(16^k+7)=5\) .

蔡家雄

若 16^k+13 是素数，

则 2 是素数 16^k+13 的最小原根。

简记为  \(g(16^k+13)=2\) .

蔡家雄

若 (6n+3)^2 -2 是素数，

则 3 是素数 (6n+3)^2 -2 的最小原根。

简记为  \(g((6n+3)^2 -2)=3\) .

若 (6n+3)^2+8 是素数，

则 3 是素数 (6n+3)^2+8 的最小原根。

简记为  \(g((6n+3)^2+8)=3\) .

Treenewbee

蔡家雄 发表于 2023-3-19 19:09
若 16^k+7 是素数，

则 5 是素数 16^k+7 的最小原根。

{{1, 5}, {2, 5}, {4, 5}, {5, 5}, {7, 5}, {11, 5}, {22, 5}, {40, 7}, {51, 10}}