|
本帖最后由 elim 于 2022-9-13 17:04 编辑
对由递归关系 \(a_{n+1}=ln(1+a_n), a_1>0\) 确定的序列, jzkyllcjl 断言
\(na_n-2,\;\;\frac{1}{3}a_n\) 是等价无穷小。但没有给出论证. 所以敦促其给出论证。
下面给出我对 jzkyllcjl 的论断的否证.
令 \(b_0 = 0, b_n = n-2/a_n\), 则 \(b_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n (b_k-b_{k-1}),\) 据Taylor 定理
\(b_k -b_{k-1}=1-2\big({\small\dfrac{1}{\ln(1+a_n)}-\dfrac{1}{a_n}}\big)=\frac{1}{6}a_n{\small+\rho(n)}a_n^2\quad\rho(n)\)有界.
\((^*)\quad n(na_n-2) = na_n b_n={\small\dfrac{na_n}{6}}{\small\displaystyle\sum_{k=1}^n} a_n\small+O(1).\quad\)这是因为
\({\large\frac{2}{n}}\sim a_n\implies\displaystyle|{\small\sum_{k=1}^n}\rho(n)a_n^2|\small\le M\sum_{n=1}^\infty\frac{4}{n^2}< \infty,\;\;(M=\sup|\rho(n)|)\).
进一步知道 \(\displaystyle{\small\sum_{k=1}^n} a_n\sim 2H_n\sim 2\ln n\) (jzkyllcjl 肯定不知道)
所以 \(n(na_n-2)\sim \frac{2}{3}\ln n\)
jzkyllcjl 90多岁了,这个极限摸爬滚打搞了七八年,没有算对过.可见吃狗屎做数学是不行的. |
|